专题17.2 勾股定理的应用【八大题型】（解析版）

专题172 勾股定理的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 勾股定理之大树折断模型】.....................................................................................................................1 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】.....................................................................................................................3 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】.....................................................................................................................5 【题型4 勾股定理之方向角问题】.........................................................................................................................8 【题型5 勾股定理之梯子问题】...........................................................................................................................12 【题型6 勾股定理之范围影响问题】................................................................................................................... 14 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】....................................................................................................19 【题型8 勾股定理应用之其他问题】.................................................................................................................... 22 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 【例1】（2022 春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城 中村）的一座高50m 的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除， 若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m 的地方最安全，那么按以上要求该烟 囱应从底部向上 24 米处折断． 【分析】根据题意设出从底部向上x 米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x， 10．利用勾股定理列出方程进行求解． 【解答】解：设从底部向上x 米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10 故102+x2＝（50﹣x）2 解得x＝24（米） 故烟囱应从底部向上24 米处折断． 故答为24． 【变式1-1】（2022 春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中 于离地面6 米B 处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为8 米，则这棵大树在折断前 的高度为（ ） ．10 米 B．12 米 ．14 米 D．16 米 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的 1 长与未断部分的和即可得出结论． 【解答】解：∵△B 是直角三角形，B＝6m，＝8m， ∴B¿ ❑ √A B 2+ A C 2= ❑ √6 2+8 2=¿10（m）， ∴大树的高度＝B+B＝6+10＝16（m）． 故选：D． 【变式1-2】（2022 春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高 度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离B＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索D 的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得＝（x 1 ﹣）m，利用勾股定理可得x2＝ 42+（x 1 ﹣）2． 【解答】解：在Rt△B 中， 2+B2＝B2， 设秋千的绳索长为xm，则＝（x 1 ﹣）m， 故x2＝42+（x 1 ﹣）2， 解得：x＝85， 答：绳索D 的长度是85m． 【变式1-3】（2022 春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点处拦腰折断，如 图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部处，已知B＝4 米，B＝13 米，两棵树的 水平距离为12 米，求这棵树原来的高度． 【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD 的长，进而求出的长，即可得出答． 【解答】解：如图所示：延长B，过点作D⊥B 延长线于点D， 1 由题意可得：B＝13m，D＝12m， 故BD¿ ❑ √13 2−12 2=¿5（m）， 即D＝9m， 则¿ ❑ √A D 2+C D 2= ❑ √9 2+12 2=¿15（m）， 故+B＝15+4＝19（m）． 答：这棵树原来的高度是19 米． 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 【例2】（2022 春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10 尺的正方形， 一棵芦苇B 生长在它的中央，高出水面的部分B 为1 尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂 直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 13 尺． 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10 尺的正方形，则B'＝5 尺， 设出B＝B'＝x 尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇 的长． 【解答】解：设芦苇长B＝B′＝x 尺，则水深＝（x 1 ﹣）尺， 因为边长为10 尺的正方形，所以B'＝5 尺 在Rt△B'中，52+（x 1 ﹣）2＝x2， 解之得x＝13， 即芦苇长13 尺． 故答是：13． 【变式2-1】（2022 春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高 度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离B＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索D 的长度． 1 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得＝（x 1 ﹣）m，利用勾股定理可得x2＝ 42+（x 1 ﹣）2． 【解答】解：在Rt△B 中， 2+B2＝B2， 设秋千的绳索长为xm，则＝（x 1 ﹣）m， 故x2＝42+（x 1 ﹣）2， 解得：x＝85， 答：绳索D 的长度是85m． 【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m 的岸边处，用绳子拉船靠 岸，开始时绳子B 的长为13m． （1）开始时，船距岸的距离是 12 m； （2）若淇淇收绳5m 后，船到达D 处，则船向岸移动 （ 12 −❑ √39） m． 【分析】（1）在Rt△B 中，利用勾股定理计算出B 长； （2）根据题意可得D 长，然后再次利用勾股定理计算出D 长，再利用BD＝B﹣D 可得 BD 长． 【解答】解：（1）在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝13m，＝5m， ∴AB= ❑ √13 2−5 2=12（m）， 故答为：12； （2）∵淇淇收绳5m 后，船到达D 处， ∴D＝8（m）， ∴D¿ ❑ √C D 2−A C 2= ❑ √8 2−5 2=❑ √39（m）， ∴BD＝B﹣D＝（12−❑ √39）m． 1 故答为：（12−❑ √39）． 【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直 径是9m，内壁高12m．若这支铅笔长为18m，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能 的是（ ） ．3m B．5m ．6m D．8m 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【解答】解：根据题意可得图形：B＝12m，B＝9m， 在Rt△B 中：¿ ❑ √A B 2+BC 2= ❑ √12 2+9 2=¿15（m）， 所以18 15 ﹣ ＝3（m），18 12 ﹣ ＝6（m）． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3m～6m 之间． 观察选项，只有选项D 符合题意． 故选：D． 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 【例3】（2022 春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10m，高B 为12m，B 是直 径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为（ ） ．17m B．13m ．12m D．14m 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10m， 则D＝10× 1 2=¿5（m）． 1 又因为D＝B＝12m， 所以¿ ❑ √12 2+5 2=13（m）． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是13m． 故选：B． 【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5m，3m 和1m， 和B 是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你 想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？ 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个 矩形，蚂蚁要从B 点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答． 【解答】解：将台阶展开，如下图， 因为＝3×3+1×3＝12，B＝5， 所以B2＝2+B2＝169， 所以B＝13（m）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13m． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13m． 【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高1的端点到达1，若圆柱底面半径为 6 π ，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 13 ． 1 【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可． 【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π× 6 π =¿12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5 的矩形， 根据勾股定理，对角线长为❑ √5 2+12 2=¿13． 故蚂蚁爬行的最短距离为13． 【变式3-3】（2022 春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6m，4m 和3m 的 长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） ．（3+❑ √13） m B．❑ √97 m ．❑ √85 m D．❑ √109 m 【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾 股定理即可计算． 【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9 和4， 则所走的最短线段是❑ √4 2+9 2=❑ √97； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 1 则这个长方形的长和宽分别是7 和6， 所以走的最短线段是❑ √7 2+6 2=❑ √85； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10 和3， 所以走的最短线段是❑ √3 2+10 2=❑ √109； 三种情况比较而言，第二种情况最短． 故选：． 【题型4 勾股定理之方向角问题】 【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔的东北方向8 海里处有一轮船，在灯塔的 东南方向6 海里处有一渔船B，则B 间的距离为（ ） ．9 海里 B．10 海里 ．11 海里 D．12 海里 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三 角形即可． 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠B＝90°， 又∵＝8 海里，B＝6 海里， ∴B¿ ❑ √O A 2+O B 2= ❑ √8 2+6 2=¿10（海里）． 故选：B． 【变式4-1】（2022 春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2 小时的军事演习， 一海舰以120 海里/时的速度从港口出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90 海里/时的速度同时从港口出发，向南偏东30°方向航行到达，则此时两艘海舰相距多少 海里？ 1 【分析】根据题意可得∠B＝90°，分别求出2 小时两辆海舰走过的路程B 和，然后利用 勾股定理求得两艘海舰的距离B 的长度． 【解答】解：由题意知，∠B＝90°，B＝2×120＝240，＝2×90＝180， 由勾股定理得B¿ ❑ √A B 2+ A C 2= ❑ √24 0 2+180 2=¿300， 答：此时两艘海舰相距300 海里． 【变式4-2】（2022 春•合肥期末）某船从港口出发沿南偏东32°方向航行15 海里到达B 岛， 然后沿某方向航行20 海里到达岛，最后沿某个方向航行了25 海里回到港口，判断此时 △B 的形状，该船从B 岛出发到是沿哪个方向航行的，请说明理由． 【分析】利用勾股定理的逆定理可得△B 为直角三角形，且∠B＝90°，再利用直角三角形 的性质可求解∠BD＝32°，进而可求解． 【解答】解：该船从B 岛出发到是沿西偏南32°方向航行的． 理由：由题意得：B＝15 海里，B＝20 海里，＝25 海里， 15 ∵ 2+202＝252， ∴△B 为直角三角形，且∠B＝90°， 由题意得∠BD＝32°，∠DB＝90°， 1 ∴∠BD＝90° 32° ﹣ ＝58°， ∴∠BD＝90° 58° ﹣ ＝32°， 故该船从B 岛出发到是沿西偏南32°方向航行的． 【变式4-3】（2022 春•潮南区期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海 里，“海天”号每小时航行12 海里． （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于、B 处，且相距30 海里．如果知道“远 航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名 乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80 海里． 他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△B 是直角三角形，进而解答即可； （2）过点作D⊥PE 于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵＝16×15＝24，B＝12×15＝18，B＝30， ∴2+B2＝B2， ∴△B 是直角三角形， ∴∠B＝90°， “ ∵远航”号沿东北方向航行， ∴∠＝45°， ∴∠B＝90° 45° ﹣ ＝45°， 1 “ ∴海天”号沿西北方向航行； （2）过点F 作FD⊥PE 于D， F＝16×2＝32， ∵∠F＝60°， ∴∠FD＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∴FD¿ 1 2 OF=1 2 ×32=16， 16÷80 ∴ ＝02（小时）， 02 ∵ ＜05， ∴能在半小时内回到海岸线． 【题型5 勾股定理之梯子问题】 【例5】（2022 春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为07 米，顶端距离地面24 米．如果保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，则小巷的宽度为 22 米． 【分析】先根据勾股定理求出B 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论． 【解答】解：在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝07 米，＝24 米， ∴B2＝072+242＝625（米2）， ∵B＞0， ∴B＝25（米）， 在Rt ′ △BD 中，∠′DB＝90°，′D＝2 米，'B＝B＝25 米， ∴BD2+′D2＝′B2， 即BD2+22＝252（米2）， ∵BD＞0， ∴BD＝15（米）， 1 ∴D＝B+BD＝07+15＝22（米）， 故答为：22． 【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5 米的梯子的底端距离墙脚2 米，这个 梯子的顶端能达到45 米的墙头吗？ 【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比 较． 【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：❑ √5 2−2 2=❑ √21， 因为❑ √21＞45， 所以这个梯子的顶端能达到45 米的墙头． 【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从学楼4 楼掉落在离地面高为 23 米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为25 米的梯子，架在树干上，梯子底端离 树干15 米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯 子底端向树干靠近08 米，问此时这位同学能拿到衣服吗？ 【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和23 米比较即可得到答． 【解答】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为： ❑ √2．5 2−1．5 2=¿2（米）， 2 米＜23 米， 故这位同学不能拿到衣服； 15 08 ﹣ ＝07（米）， ❑ √2．5 2−0．7 2=¿24（米）， 23 米＜24 米， 故如果再把梯子底端向树干靠近08 米，此时这位同学能拿到衣服． 【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离 墙7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 1 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4 米后，可得出梯子的顶端距离地面的高 度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7 米，可以得出，梯子底端水 平方向上滑行的距离． 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：❑ √25 2−7 2=¿24 米； （2）梯子下滑了4 米， 即梯子距离地面的高度为'B＝B ′ ﹣＝24 4 ﹣＝20， 根据勾股定理得：25¿ ❑ √20 2+(7+CC ' ) 2， 解得′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8 米． 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 【例6】（2022 春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路B 由点向点B 行驶，已知 点为一所学校，且点与直线B 上两点，B 的距离分别为150m 和200m，又B＝250m，环 卫车周围130m 以内为受噪声影响区域． （1）学校会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50 米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分 钟？ 【