专题19.5 一次函数的应用【八大题型】（原卷版）

专题195 一次函数的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 行程问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 工程问题】................................................................................................................................................. 2 【题型3 利润最大问题】.........................................................................................................................................4 【题型4 费用最低问题】.........................................................................................................................................6 【题型5 调运问题】................................................................................................................................................. 7 【题型6 体积问题】................................................................................................................................................. 9 【题型7 几何图形问题】.......................................................................................................................................10 【题型8 其他问题】............................................................................................................................................... 11 【题型1 行程问题】 【例1】（2022 春•大足区期末）甲、乙两车分别从，B 两地同时相向匀速行驶，当乙车到 达地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶，而甲车到达B 地后立即掉头，并保持原速 与乙车同向行驶，经过12 小时后两车同时到达距地300 千米的地（中途休息时间忽略 不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y 与x 之间的 函数关系如图所示，则当乙车到达地时，甲车距地 150 千米． 【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发， 1 以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（） 的对应关系如图所示： （1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？ （2）求乙车出发多长时间追上甲车？ （3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km． 1 【变式1-2】（2022 秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的、B 两地出发相向匀 速而行，已知甲比乙先出发6 分钟，两人在地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回地， 乙继续向地前行，约定先到地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米） 与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60 米/分 钟，乙的速度是80 米/分钟；②甲出发30 分钟时，两人在地相遇；③乙到达地时，甲与 地相距450 米，其中正确的说法有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【变式1-3】（2022 春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方 向匀速跑步560 米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1 秒，两运动员之间的 距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①＝7； ②b＝63；③＝80．其中正确的是（ ） ．①②③ B．②③ ．①② D．①③ 【题型2 工程问题】 【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等 的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施 工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间 1 关系的部分图象，请解答下列问题： （1）求乙队在2≤x≤6 的时间段内，y 与x 的函数关系式； （2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6 小时后，施工速度增加到12 米/时，结果两队 同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米． 【变式2-1】（2022 春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克 需运费060 元，由公路运输，每千克需运费030 元，另需补助600 元． （1）设该公司运输的这批牛奶为x 千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公 路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x 之间的关系式； （2）若公司只支出运费1500 元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500 千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？ 【变式2-2】（2022 春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面， 乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继 续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象 为线段，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线B﹣﹣D﹣﹣ DE，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式； （2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？ 【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300 个零件的加工任务，甲比乙 每小时加工的数量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续 按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时 间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题： 1 （1）其中一人因故障，停止加工 小时，点表示的实际意义是 ．甲每小时 加工的零件数量为 个； （2）求线段B 对应的函数关系式和D 点坐标； （3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75 个零件？ （4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80 个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在 图中用虚线画出丙帮助后y 与x 之间的函数关系的图象． 【题型3 利润最大问题】 【例3】（2022 春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门 票在300 600 ﹣ 元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓 友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的 门票为450 元5 小时，回鱼标准为56 斤以内为12 元/斤，超过56 斤的部分7 元/斤：云 门鱼塘门票为320 元5 小时，回鱼标准是律按8 元/斤．（斤是重量单位，1 斤05 千克） 设钓友获得的利润为y 元，鱼的重量为x 斤． （1）求在两家鱼塘钓鱼时y 欢乐、y 云门与x 之间的函数关系式； （2）如图，在平面直角坐标系中，M，为图象的交点，m，分别为点M，的横坐标，写 出图中m，的值分别为 、 ； （3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们 1 分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？ 【变式3-1】（2022 春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6 元/件，售价为 8 元/件，销售人员对该产品一个月（30 天）销售情况记录绘成图象． 图中的折线DE 表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE 表 示的函数关系中，时间每增加1 天，日销量减少5 件． （1）第25 天的日销量是 件，这天销售利润是 元； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）日销售利润不低于640 元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？ 【变式3-2】（2022•济宁二模）某商店购进了，B 两种家用电器，相关信息如下表： 家用电器 进价（元/件） 售价（元/件） m+200 1800 B m 1700 已知用6000 元购进的种电器件数与用5000 元购进的B 种电器件数相同． （1）求表中m 的值． （2）由于，B 两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000 元的资金再购进，B 两种 电器总件数共20 件，且获利不少于13300 元．请问：有几种进货方？哪一种方才能获 得最大利润？最大利润是多少？ 【变式3-3】（2022•长垣市模拟）某营业厅销售3 部型号手机和2 部B 型号手机的营业额 为10800 元，销售4 部型号手机和1 部B 型号手机的营业额为10400 元． （1）求每部型号手机和B 型号手机的售价； （2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50 部，其中B 型号手机的进货数量不超 过型号手机数量的3 倍．已知型手机和B 型手机的进货价格分别为1500 元/部和1800 元 /部，设购进型号手机部，这50 部手机的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该营业厅购进型号和B 型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多 1 少元？ 【题型4 费用最低问题】 【例4】（2022 春•前郭县期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～ 10km 的出行市场现有、B 品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示， 其中品牌收费方式对应y1，B 品牌的收费方式对应y2． （1）请求出两个函数关系式． （2）如果小明每天早上需要骑行品牌或B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品 牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择 哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （3）直接写出第几分钟，两种收费相差15 元． 【变式4-1】（2022 春•碑林区校级期末）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外 出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400 元，经协商，甲旅行 社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客 全部享受6 折优惠．”则： （1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两 家旅行社的收费各是多少？ （2）哪家旅行社收费较为优惠？ 【变式4-2】（2022 春•滦南县期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印 的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情 况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 元；甲复印社每张收费是 元； （2）求出乙复印社收费情况y 关于复印页数x 的函数解析式，并说明一次项系数的实际 意义； （3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同； （4）如果每月复印200 页时，应选择哪家复印社？ 1 【变式4-3】（2022 春•石河子期末）某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280 元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300 元/克，但若买的黄金饰品重量超过3 克， 则超出部分可打八折出售． （1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的 函数关系，并写出定义域； （2）李阿姨要买一条重量不超过10 克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说 明理由． 【题型5 调运问题】 【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260 吨从该 市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20 辆，恰好能一次性运完这批物资． 已知这两种货车的载重量分别为16 吨/辆和10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车 型 运往地 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，前 往甲、乙两地的总运费为元，求出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132 吨，请你设计出使总运费最少的 货车调配方，并求出最少总运费． 【变式5-1】（2022 春•扎鲁特旗期末）某农机租赁公司共有50 台收割机，其中甲型20 台， 乙型30 台，现将这50 台联合收割机派往，B 两地区收割水稻，其中30 台派往地区，20 台派往B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 1800 元 1600 元 B 地区 1600 元 1200 元 （1）设派往地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50 台联合收割机一天获得的租金为 1 y 元，求y 关于x 的函数关系式； （2）试问有无可能一天获得总租金是80050 元？若有可能，请写出相应的调运方；若 无可能，请说明理由． 【变式5-2】（2022 春•海淀区校级期末）某市，B 两个蔬菜基地得知四川，D 两个灾民安 置点分别急需蔬菜240t 和260t 的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬 菜200t，B 蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运，D 两个灾民安置点从地运往， D 两处的费用分别为每吨20 元和25 元，从B 地运往，D 两处的费用分别为每吨15 元和 18 元．设从B 地运往处的蔬菜为x 吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x 的值： D 总计/t 200 B x 300 总计/t 240 260 500 （2）设，B 两个蔬菜基地的总运费为元，求出与x 之间的函数关系式，并求总运费最小 的调运方； （3）经过抢修，从B 地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 m 元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方． 【变式5-3】（2022 春•巴南区月考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12 辆和6 辆， 现要调往县10 辆，调往B 县8 辆，已知调运一辆农用车的费用如表： 县名 费用 仓库 B 甲 40 80 乙 30 50 （1）设从乙仓库调往县农用车x 辆，求总运费y 关于x 的函数关系式． （2）若要求总运费不超过900 元．共有哪几种调运方？ （3）求出总运费最低的调运方，最低运费是多少元？ 【题型6 体积问题】 【例6】（2022 秋•邗江区月考）某水池的容积为90m3，水池中已有水10m3，现按8m3/的 流量向水池注水． （1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间t（）之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围； （2）当t＝1 时，求y 的值；当y＝50 时，求t 的值． 1 【变式6-1】（2022 春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10m， 水面面积是100m2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每 秒02m 的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度，注水量V 随对应的注水 时间t 的变化而变化，则与t，V 与t 满足的函数关系分别是（ ） ．正比例函数关系，正比例函数关系 B．正比例函数关系，一次函数关系 ．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，正比例函数关系 【变式6-2】（2022 春•梁子湖区期末）水龙头关闭不严会造成漏水浪费，已知漏水量与漏 水时间之间满足一次函数关系，八年级同学进行了以下实验：在漏水的水龙头下放置一 个能显示水量的容器，每10 分钟记录一次容器中的水量．下表是一位同学的记录结果， 老师发现有一组数据记录有较大偏差，它是（ ） 组别 1 2 3 4 5 时间t （m） 0 10 20 30 40 水量 （ml） 1 24 38 52 68 ．第2 组 B．第3 组 ．第4 组 D．第5 组 【变式6-3】（2022•宣城模拟）某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4 分钟内只进水不出水，在随后的8 分钟内既进水又出水，12 分钟后关闭进水管，放空容 器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y （升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（ ） 1 ．4 升 B．15 2 升 ．15 4 升 D．13 4 升 【题型7 几何图形问题】 【例7】（2022 春•交城县期末）菜农张大叔要用63 米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在 菜地的一边B 边上留有1 米宽的入口．设B 边的长为x，B 边的长为y，则y 与x 之间的 函数关系式是（ ） ．y=63−2 x 2 B．y=63−2 x+1 2 ．y＝63 2 ﹣x D．y=63 2 −1 2 x 【变式7-1】（2022 春•阿荣旗期末）已知等腰三角形周长为20 （1）写出底边长y 关于腰长x 的函数解析式（x 为自变量）； （2）写出自变量的取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 【变式7-2】（2022 秋•富民县校级期末）如图，正方形BD 的边长为6m，动点P 从点出发， 在正方形的边上由⇒B⇒⇒D 运动，设运动的时间为t（s），△PD 的面积为S（m2），S 与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题： （1）点P 在B 上运动的速度为 ，在D 上运动的速度为 ； （2）求出点P 在D 上时S 与t 的函数关系式； （3）t 为何值时，△PD 的面积为10m2？ 【变式7-3】（2022 春•泰和县期末）如图1 是一个大型的圆形花坛建筑物（其中B 与D 是 一对互相垂直的直径），小川从圆心出发，按图中箭头所示的方向匀