专题15.4 分式方程的应用【八大题型】（解析版）

专题154 分式方程的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 行程问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 工程问题】................................................................................................................................................. 5 【题型3 销售利润问题】.........................................................................................................................................8 【题型4 航行问题】............................................................................................................................................... 12 【题型5 和、差、倍、分问题】...........................................................................................................................15 【题型6 数字问题】............................................................................................................................................... 19 【题型7 图形问题】............................................................................................................................................... 21 【题型8 方问题】................................................................................................................................................... 25 【题型1 行程问题】 【例1】（2022·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家 分别距离时代广场1800m 和2400m 两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是 2:3，结果小丽比小颖晚4m 到达剧院． （1）求两人的速度． （2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/m 【答】（1）小丽和小颖的速度分别为50 m/m 和75 m/m；（2）625 【分析】（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/m 和3x m/m，根据题意，小丽所用时间-小 颖苏勇时间=4 分钟，列出分式方程，解答即可 （2）设小丽速度需要提高 m/m，根据题意，小丽所用时间=小颖所用时间，列出分式方程， 解答即可 【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/m 和3x m/m,根据题意，得: 1800 2 x −2400 3 x =4 解得：x=25 经检验x=25 是原分式方程的解， 则2x=2×25=50（m/m），3x=3×25=75（m/m） 答：小丽和小颖的速度分别为50m/m 和75m/m （2）设小丽速度需要提高 m/m，根据题意，得： 1 1800 50+a=2400 75 解得：a=6.25 经检验a=6.25是原分式方程的解 答：小丽速度需要提高625 m/m 故答为625 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题干，找到等量关系是解题关键 【变式1-1】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿 平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即 沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4 倍，已知小伟家 到银行的平路距离为2800 米，小伟从离家到返回家共用50 分钟． (1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ (2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一 条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9 分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平 路上跑步的平均速度的5 7 ，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5 4 ，且上坡路程是 下坡路程的2 倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【答】(1)280 米/分钟 (2)2100 米 【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x 米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平 均速度是平路上步行的平均速度的4 倍，往返时间共用50 分钟，列方程2800 x + 2800 4 x =50， 解得x=70，检验后求出4 x=280，回答问题； （2）设这段坡路的下坡路程是y 米，根据小伟上坡的平均速度是280× 5 7 =200，下坡的 平均速度是280× 5 4 =350，上坡路程是下坡路程的2 倍，上坡下坡共用时9 分钟，列方程 2 y 200 + y 350=9，解得y=700，推出这段坡路的总路程是700+2×700=2100． 【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x 米/分钟, 根据题意得，2800 x + 2800 4 x =50， 解得，x=70， 经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意， ∴4 x=280， 1 答：小伟在平路上跑步的平均速度是280 米/分钟； （2）设这段坡路的下坡路程是y 米， ∵上坡的平均速度是，280× 5 7 =200，下坡的平均速度是280× 5 4 =350， ∴根据题意得，2 y 200 + y 350=9， 解得，y=700， ∴700+2×700=2100， 答：这段坡路的总路程是2100 米． 【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用——行程问题，解决问题的关键 是熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用 题注意设未知数和回答问题． 【变式1-2】（2022·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演， 走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家 取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑 车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【答】（1）小明步行的速度为76米¿分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由 见详解． 【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x 米，则小明骑车的速度是每分钟5x 米，根据 时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20 分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4 分钟，即可得出小明回家取票后 到达科技馆所需时间，将其与23 分钟比较后即可得出结论． 【详解】解：(1)设小明步行的速度为x米¿分钟，则小明骑车的速度为5 x米¿分钟．根据题 意，得1900 x −1900 5 x =20， 解得：x=76． 经检验，x=76是原分式方程的解． 答：小明步行的速度为76米¿分钟． （2）1900 5×76 + 1 2 ×1900 76 +4=21.5<23， 所以小明能在表演开始前赶到科技馆． 1 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式1-3】（2022·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大 道进行跑步锻炼． （1）周六早上6 点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 4500 米和1200 米的滨江大道入口汇合，结果同时到达若小明每分钟比小强多行220 米， 求小明和小强的速度分别是多少米/分？ （2）两人到达滨江大道后约定先跑1000 米再休息小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍， 两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟． ①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？ ②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）． 【答】（1）小强的速度为80 米/分，小明的速度为300 米/分；（2）①小强跑的时间为3 分；②1000(m−1) mn ． 【分析】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以 速度等于时间得到方程，解方程即可得到答； （2）①设小明的速度为y 米/分，由m＝3，＝6，根据小明的时间-小强的时间=6 列方程解 答； ②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度 =路程除以时间得到答 【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200 x ＝4500 x+220． 解得：x＝80． 经检验，x＝80 是原方程的根，且符合题意． x+220 ∴ ＝300． 答：小强的速度为80 米/分，小明的速度为300 米/分． （2）①设小明的速度为y 米/分，∵m＝3，＝6， ∴1000 y −1000 3 y =6，解之得y=1000 9 经检验，y=1000 9 是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：1000÷(3× 1000 9 )=3（分） ②小强跑的时间： n m−1分钟，小明跑的时间： n m−1 +n= mn m−1分钟， 1 小明的跑步速度为： 1000÷ mn m−1=1000(m−1) mn 分． 故答为：1000(m−1) mn ． 【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方 程解答是解题的关键 【题型2 工程问题】 【例2】（2022·全国·七年级专题练习）湖州市在2017 年被评为“全国文明城市”，在评 选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420 千米城市道路的清扫工作，现有环卫工 人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式已知20 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时可 以清扫20 千米马路，30 名环卫工人和3 辆道路清扫车每小时可以清扫42 千米的马路 （1）1 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？ （2）已知2017 年环卫处安排了50 名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日 的420 千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017 年环卫工人与清扫车 每天工作时间为6 小时）？ （3）为了巩固文明城市创建成果，从2018 年5 月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工 作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作． 2018 年6 月市环卫处扩大清扫范围60 千米，同时又增加了20 名环卫工人直接参与清扫， 此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5 月份相同，那么2018 年5 月环卫处增加了多少 名环卫工人参与直接清扫？ 【答】（1）1 名环卫工人每小时清扫06 千米，1 辆道路清扫车每小时8 千米；（2）派出5 辆道路清扫车参与工作；（3）2018 年5 月环卫处增加了10 名环卫工人参与直接清扫 【分析】（1）设1 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时分别清扫x 千米和y 千米，由题意 可得¿，进行求解即可； （2）设派出m 辆道路清扫车参与工作，则(50×06+8m)×6=420，进行求解即可； （3）设2018 年5 月环卫处增加了名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行求 解即可 【详解】（1）设1 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时分别清扫x 千米和y 千米， 由题意可得¿，解得¿， 答：1 名环卫工人每小时清扫06 千米，1 辆道路清扫车每小时8 千米； （2）设派出m 辆道路清扫车参与工作, 则(50×06+8m)×6=420，解得m=5， 答：派出5 辆道路清扫车参与工作； （3）设2018 年5 月环卫处增加了名环卫工人参与直接清扫，由题意得 1 420 0.6 (50+n)+6×8= 420+60 0.6 (50+n+20)+6×8；解得:=10 答：2018 年5 月环卫处增加了10 名环卫工人参与直接清扫 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用综合性 强，有一定难度关键是理解题文，列出方程求解这里涉及到工作效率问题以及合作问题， 要求学生对这类模型比较熟练 【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一 名工人做要80 完成，现计划由一部分工人先做2 然后增加5 名工人与他们一起做8 小时， 完成这项工作的3 4 。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 【答】应该先安排2 名工人工作． 【分析】设安排x 人先做2，然后根据先后两个时段完成这项工作的3 4 ，可列方程求解． 【详解】解：设应该先安排x 名工人工作， 由题意得：2 x 80 + 8( x+5) 80 = 3 4 解得x=2， 经检验x=2是原方程的解且符合题意， ∴应该先安排2 名工人工作， 答：应该先安排2 名工人工作． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解． 【变式2-2】（2022·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠 民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化 带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数 的15 倍 ， 若甲队先做10 天，剩下两队合作30 天完成． （1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为84 万元，乙对每天的施工费用为56 万元，工程施工的预 算费用为500 万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用， 需追加预算多少万元？请说明理由． 【答】（1）甲队单独完成此项工程需要60 天，乙队单独完成此项工程需要90 天；（2） 工程预算的施工费用不够用，需追加预算4 万元． 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各 自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成这项工程需15x 天．由题意： 1 10+30 x + 30 1.5 x =1 解得：x=60． 经检验，x=60 是原方程的解，且适合题意． 15x=15×60=90． 答：甲队单独完成此项工程需要60 天，乙队单独完成此项工程需要90 天． （2）因为需要缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需 y 天，根据题意得： y 60 + y 90=1 解得：y=36． 所以需要施工费用36×（84+56）=504（万元）． 因为504＞500，所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4 万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方决策问题，综合性较强． 【变式2-3】（2022·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派 遣了一号施工队进场施工，计划用30 天完成整个工程．当一号施工队施工10 天后，由于 实际需要，要求整个工程比原计划提前8 天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号 施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程 (1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？ 【答】(1)x=45 (2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18 天 【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x 天，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）直接列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x 天， 根据题意得：30−8 30 + 30−8−10 x =1， 解得：x=45， 经检验，x=45是原分式方程的解． 答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45 天． （2）根据题意得：1÷( 1 30 + 1 45)=18（天）， 答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18 天． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意正确的列出分式方程是解题的关键．注意验 1 根 【题型3 销售利润问题】 【例3】（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较 强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶 两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30 元，其中购买海绵飞盘 花费4000 元，购买橡胶飞盘花费3200 元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的 2 倍． (1)求一个海绵飞盘的进价是多少元； (2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80 个， 但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的 基础上打9 折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800 元，那么此次 最多可购买多少个橡胶飞盘？ 【答】(1)50 元，； (2)11 【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x 元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题 意：购买海绵飞盘花费4000 元，购买橡胶飞盘花费3200 元，且购买海绵飞盘的数量是购 买橡胶飞盘数量的2 倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设此次可购买个橡胶飞盘，则购买\(80-a \)个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价比 第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9 折，商家 此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800 元，列出一元一次不等式，解不等式即 可． （1） 解：设一个海绵飞盘的进价为x 元，则一个橡胶飞盘的进价为