专题27.6 图形的位似变换【八大题型】（解析版）

专题276 图形的位似变换【八大题型】 【人版】 【题型1 位似图形的相关概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 判断位似中心】.........................................................................................................................................4 【题型3 求位似图形的相似比】.............................................................................................................................7 【题型4 求位似图形的长度】...............................................................................................................................10 【题型5 求位似图形的面积】...............................................................................................................................12 【题型6 求位似图形的周长】...............................................................................................................................15 【题型7 求位似图形的坐标】...............................................................................................................................17 【题型8 格点中作位似图形】...............................................................................................................................21 【知识点1 位似图形】 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 , 所在的直线都经过同一 点 ，且有 = ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描 出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同 一个数 ， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 【题型1 位似图形的相关概念辨析】 【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比 的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A ' B 'C '中， AB A ' B ' = AC A 'C ' ，∠A=∠A '，那么△ABC ∼△A ' B 'C '；④已知△ABC及位似中心，能 够作一个且只能作一个三角形与△ABC位似，使位似比为2 其中真命题的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可． 【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方； ②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； 1 ③正确，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：在△B 与△′B′′中， AB A ' B ' = AC A 'C ' ，∠=∠′，那么△B B ∼△′ ′′； ④错误，因为已知△B 及位似中心，能够作两个三角形与△B 位似，且位似比为2． 故选：． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟 记性质概念是解题的关键． 【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（ ） ．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形 ．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部 【答】B 【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可． 【详解】、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意； B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意； 、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意； D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键． 【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似； ②两个等腰三角形一定相似； ③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9； ④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断． 【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确； ②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误； ③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为❑ √2:❑ √3，本选项说法错误； ④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相 等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误； ∴正确的只有①； 1 故选：． 【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似 多边形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4 个表述中： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这 两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误； 位似图形一定有位似中心，②正确； 根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，③错误； 反例如下图, B △∽△1B11，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两 个三角形不是位似图形 位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误． 故选． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相 似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过 同一点；③对应边平行． 【题型2 判断位似中心】 【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形， 且点D 与点G 是一对对应点，点D (2，2)，点G (0，1)，则它们位似中心的坐标是 1 （ ） ．(−2，0) B．(−1，0) ．(0，0) D．(−3，0) 【答】 【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连 接DG 并延长，其与x 轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG 解析式，即可求解． 【详解】解；连接DG 并延长交x 轴于M， ∵点D 与点G 是一对对应点， 则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M， 设直线DG 解析式为；y=kx+b ， 将D (2，2)，G (0，1)代入得： ¿ ， 解得：¿ ， ∴直线DG 解析式为y=1 2 x+1 ， 令y=0，可得：x=−2 ， ∴M (−2，0) 即位似中心的坐标是(−2，0)． 1 故选． 【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位 似中心的定义是解题的关键． 【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们 的位似中心是（ ） ．点P B．点 ．点M D．点 【答】 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心 一定在对应点的连线上． 【详解】点P 在对应点M 和点所在直线上， ∴两个三角形的位似中心是：点P． 故选． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形， 它们的位似中心是（ ） ．点E B．点F ．点G D．点D 【答】D 【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进行判断． 【详解】四边形BD 和四边形EFGD 是位似图形，它们的位似中心是点D． 故选D． 【点睛】本题考查了位似变换：两位似图形的对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 【变式2-3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩 形BD 与矩形EFG 是位似图形，位似中心在y 轴上，对应点B、F 的坐标分别为（﹣4， 4）、（2，1），则位似中心的坐标为（ ） 1 ．（0，1） B．（0，2） ．（0，3） D．（0，4） 【答】B 【分析】如图，连接BF 交y 轴于P，根据位似图形的定义可得点P 为位似中心，根据点 B、F 坐标可得点、G 坐标，可得G 的长，根据相似三角形的性质可求出GP 的长，即可求 出点P 的坐标． 【详解】如图，连接BF 交y 轴于P， ∵矩形BD 与矩形EFG 是位似图形，位似中心在y 轴上，点B、F 为对应点， ∴点P 为位似中心， ∵四边形BD 和四边形EFG 是矩形，点B，F 的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点的坐标为（0，4），点G 的坐标为（0，1），B=4，GF=2，G=1， ∴G＝3， ∵B∥GF， BP FGP ∴△ ∽△ ， ∴GP PC ＝GF BC ＝1 2，P=G-PG， 解得：GP＝1， ∴P=G+GP=2， ∴点P 的坐标为（0，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟 练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【题型3 求位似图形的相似比】 【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1 的正方形格中，△B 与△DEF 是位似图形， 则△B 与△DEF 的相似比为（ ）． 1 ．1 2 B．1 3 ． ❑ √2 2 D．2 【答】D 【分析】△B 与△DEF 是位似图形，所以△B∽△DEF，根据勾股定理求出B 和DE 即可解答． 【详解】解：∵△B 与△DEF 是位似图形， ∴△B∽△DEF， 由图可知B=❑ √2 2+2 2=2❑ √2，DE=❑ √1 2+1 2=❑ √2， ∴AB DE =2❑ √2 ❑ √2 =2 ∴△B 与△DEF 的相似比为2， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的性质． 【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△≝¿位似，位似中心为 点，△ABC的面积与△≝¿面积之比为16：9，则CO:OF的值为（ ） ．3：4 B．4：7 ．4：3 D．7：4 【答】 【分析】根据位似图形的概念得到∥DF，进而证明△∽△DF，根据相似三角形的性质解答 即可． 【详解】解：∵△B 与△DEF 位似， ∴△B∽△DEF，∥DF， ∵△B 的面积与△DEF 面积之比为16：9， ∴AC DF = 4 3 ， 1 ∴△∽△DF， ∴OC OF = AC DF = 4 3 ， 故选：． 【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似 比的平方是解题的关键． 【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则 △AOB与△COD的相似比为______． 【答】5:2 【分析】根据位似变换的性质，三角形的相似比等于OB OD =5 2即可得出结论． 【详解】解：如图所示，D (2,0)、B (5,0)， ∵把△AOB缩小后得到△COD， ∴位似比为OB OD =5 2，则△AOB与△COD的相似比为5:2， 故答为：5:2． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原 点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k 是解题的关键． 【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、 C(2,−1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ' B' C '三个顶点分别为A '(1,2)， B'(2, 2 3 )，C( 2 3 ,−1 3 )，则△A ' B' C '与△ABC的位似比是________． 【答】1:3 【分析】由△B 三个顶点（3，6）、B（6，2）、（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的 位似图形△′B′′三个顶点分别为′（1，2），B′（2，2 3），（2 3，﹣1 3），根据位似图形的性 质，即可求得△′B′′与△B 的位似比． 1 【详解】解：∵△B 三个顶点（3，6）、B（6，2）、（2，﹣1），以原点为位似中心，得 到的位似图形△′B′′三个顶点分别为′（1，2），B′（2，2 3），（2 3，﹣1 3），∴△′B′′与△B 的 位似比是：1：3． 故答为1：3． 【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形 的位似比是对应点的对应坐标的比． 【题型4 求位似图形的长度】 【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△≝¿是位似图形，且位似中心为， OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE 的长为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【答】 【分析】利用位似图形的概念得到AB∥DF，△ABC ∽△DFE，进而求出AB DF = 3 2，求 解即可． 【详解】解：∵△ABC与△≝¿是位似图形， ∴AB∥DF，△ABC ∽△DFE， ∴AB DF = OB OF =3 2，AC DE = AB DF ， ∵AC=9， ∴9 DE = 3 2，解之得：DE=6， 故选：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，根据位似图形概念得 到AB∥DF，△ABC ∽△DFE，是解题的关键． 1 【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△B 与△′B′′是以坐标原点为位似中心 的位似图形，且OA OA ' =1 2，若点（﹣1，0），点（1 2，1），则′′=_____． 【答】❑ √13 【分析】根据位似图形的性质和已知求出′、′的坐标，根据两点间的距离公式求出′′即可． 【详解】∵△B 与△′B′′是以坐标原点为位似中心的位似图形，且OA OA ' =1 2，点（﹣1，0）， 点（1 2，1），∴′（﹣2，0），′（1，2），∴′′=❑ √(−2−1) 2+(0−2) 2=❑ √3 2+2 2=❑ √13． 故答为❑ √13． 【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点′和′ 的坐标是解答此题的关键． 【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6,3)、B(6,0) 两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为1 3，把线段AB缩小后得到线段A ' B'，则 A ' B'的长度等于________． 【答】1 【分析】已知（6，3）、B（6，0）两点则B=3，以坐标原点为位似中心，相似比为1 3， 则′B′：B=1：3．即可得出′B′的长度等于1． 【详解】∵（6，3）、B（6，0），∴B=3． 又∵相似比为1 3，∴′B′：B=1：3，∴′B =1 ′ ． 【点睛】本题主要考查位似的性质，位似比就是相似比． 【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若 矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F 在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点、F 之 间的距离为_________． 1 【答】❑ √5 【分析】连接，先由勾股定理求得=4，再根据矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F 在矩形 ABCD的内部，且相似比为3:4，得AF AC = 3 4 ，即可求出F 长，然后由F=-即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形ABCD， ∴∠B=90° = ∴❑ √A B 2+BC 2= ❑ √8 2+4 2=4 ❑ √5， ∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F 在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4， ∴点F 在上， ∴AF AC = 3 4 ，即AF 4 ❑ √5= 3 4 ， ∴F=3❑ √5， ∴F=-F=4❑ √5-3❑ √5=❑ √5， 故答为：❑ √5． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是 解题的关键． 【题型5 求位似图形的面积】 【例5】（2022·河北·石家庄外国语育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位 似图形，位似中心为点A，若AD: AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（ ） 1 ．1:2 B．1:3 ．1:9 D．1:16 【答】 【分析】根据三角形面积比与位似比的关系求解． 【详解】解：由题意得△DE 与 △B 的位似比为1：3， DE ∴△ 与 △B 面积之比为( 1 3) 2 =1 9=1：9， 故选 ． 【点睛】本题考查位似三角形的应用，熟练掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是 解题关键． 【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A ' B' C '位似，位 似中心为点，OA '=2 AA '，△ABC的面积为9，则△A ' B' C '面积为（ ） ．4 B．6 ．9 2 D．9 4 【答】 【分析】