题型5 圆的相关证明与计算（复习讲义）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型五圆的相关证明与计算（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 长的弦． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优 弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 考点02 垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦 的垂线，构造直角三角形． 2．推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 考点03 圆心角、弧、弦的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等 量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等． 考点04 圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 考点05 与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙内； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)d=r⇔点在⊙上； (3)d>r⇔点在⊙外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0 个 1 个 2 个 数量关系 d>r d=r d<r 考点06 切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点07 三角形与圆 1 三角形外接圆 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点， 交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 2．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点，连接 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，连接 ， ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．设 的面积 为 的面积为 ，若 ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 5 如图，，B，是半径为1 的⊙上的三个点，若B＝ ，∠B＝30°，则∠B 的度数为（ ） ．95° B．100° ．105° D．110° 6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点． 若 ，则 等于（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 7 如图，B 是⊙的直径，，B 是⊙的弦，若 ，则 的度数为（ ） ．70° B．90° ．40° D．60° 8 如图， 中， ， ， ．点 为 内一点，且 满足 ．当 的长度最小时， 的面积是（ ） ．3 B． ． D． 9．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是直 径， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 11 如图，，B 是 上两点，且 ，连接B 并延长到点，使 ，连接． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求证：是 的切线． （2）点D，E 分别是，的中点，DE 所在直线交 于点F，G， ，求GF 的长． 12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且 ． (1)求证：EF 与 相切； (2)若 ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 13．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ， 与 轴相交于点 ．连接 ，过点 作 于点 ． (1)求证：四边形 为矩形． (2)已知 的半径为4， ，求弦 的长． 14 如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ， 若 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为8， ，求 的长． 15．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以 的边 为直径作 ，交 边于 点D，过点作 交 于点E，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 和 的长． 16 如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 是 的中点， 交 的延长线于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求证：直线 与 相切； （2）若 的直径是10， ，求 的长． 20 如图，已知点 是以 为直径的圆上一点， 是 延长线上一点，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，连结 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的半径． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 21（2023·上海·统考中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，点在 延长线上，且 ． (1)求 的半径； (2)求 的正切值． 22 如图，B 是⊙的直径，为⊙上一点，连接，E⊥B 于点E，D 是直径B 延长线上一点， 且∠BE＝∠BD． （1）求证：D 是⊙的切线； （2）若D＝8，BE CE =1 2 ，求D 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 23 如图，△B 内接于⊙，B 为⊙的直径，B＝10，＝6，连结，弦D 分别交，B 于点E， F，其中点E 是D 的中点． （1）求证：∠D＝∠B． （2）求E 的长． 24．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点， 为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点 ． (1)求 的度数； (2)如图2，过点 作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ． 若 ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 25．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点E 是斜边 上一点，以 为直径的 经过点D，交 于点 F，连接 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 26 如图，⊙的半径＝6，过点作⊙的切线P，且P＝8，连接P 并延长，与⊙交于点B、 D，过点B 作B∥，并与⊙交于点，连接、D． （1）求证：D∥P； （2）求的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 27．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 都是 的半径， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的半径． 28 如图，B 为⊙的直径，、D 为⊙上的两个点，^ AC=^ CD=^ DB，连接D，过点D 作 DE⊥交的延长线于点E． （1）求证：DE 是⊙的切线． （2）若直径B＝6，求D 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 29．（2023·湖南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是一条弦，D 是 的中 点， 于点E，交 于点F，交 于点， 交 于点G． (1)求证： ． (2)若 ，求 的半径． 30 如图，B 是半圆的直径，，D 是半圆上不同于，B 的两点，D＝B，与BD 相交于点 F．BE 是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点E． （1）求证：△B △DB ≌ ； （2）若BE＝BF，求证：平分∠DB． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 31 如图，B 为⊙的直径，为⊙上一点，D 与过点的直线互相垂直，垂足为D，平分 ∠DB． （1）求证：D 为⊙的切线． （2）若D＝3，D¿ ❑ √3，求⊙的半径． 32 如图，在△B 中，B＝，以B 为直径的⊙与B 相交于点D，过点D 作⊙的切线交于点 E． （1）求证：DE⊥； （2）若⊙的半径为5，B＝16，求DE 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1