第28讲 与圆有关的计算（讲义）（原卷版）

第28 讲 与圆有关的计算 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 正多边形与圆 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求线段长 题型08 正多边形与圆中求最值 题型09 尺规作图-正多边形 题型10 正多边形与圆的规律问题 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 题型01 求弧长 题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径 题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 题型04 求某点的弧形运动路径长度 题型05 求扇形面积 题型06 求图形旋转后扫过的面积 题型07 求圆锥侧面积 题型08 求圆锥侧面积 题型09 求圆锥底面半径 题型10 求圆锥的高 题型11 求圆锥侧面积展开图的圆心角 题型12 圆锥的实际问题 题型13 圆锥侧面上的最短路径问题 考点三 不规则面积的有关计算 题型01 直接公式法 题型02 直接和差法 题型03 构造和差法 题型04 等面积法 题型05 旋转法 题型06 对称法 题型07 全等法 考点要求 新课标要求 命题预测 正多边形与圆  了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 该板块内容以考查综合题为 主，也是考查重点，除了填空题 和选择题外，年年都会考查综合 题，对多数考生来说也是难点， 2024 年各地中考肯定还是会考查 弧长、扇形面积、 圆锥的有关计算  会计算圆的弧长、扇形的面积 不规则面积的有关 计算  考点一 正多边形与圆 1 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 2 正多边形的常用公式 边长 an=2 Rn⋅sin 180 0 n （R 为正多边形外接圆的半径） 周长 P=⋅ 外角/中心角度数 360° n 面积 S=1 2⋅r⋅ 对角线条数 n(n−3) 2 边心距 r=R⋅s180 0 n 内角和 （ -2 ）×180° 内角度数 （n−2）×180° n 边形的边数 （内角和÷180°）＋2 an、R n、r n 的关系 Rn 2=rn 2+ an 2 4 （ 、R、r 为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值 可以借助勾股定理求解） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正边形的外接圆半径和边心距把正边形分成2 个 全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正边形各元素间的关系，故可 以把正边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 :B:B 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 AOB=60° A O B 1:❑ √3: 2 1:2 正方形 AOB=45° A O B 1:1:❑ √2 1:❑ √2 正六边形 AOB=30° A O B ❑ √3: 1: 2 ❑ √3: 2 【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆 题型01 求正多边形中心角 【例1】（2021·辽宁沈阳·统考二模）在圆内接正六边形BDEF 中，正六边形的边长为2，则这个正六边形 的中心角和边心距分别是（ ） ．30° ,1 B．45° ,❑ √2 ．60° ,❑ √3 D．120° ,2 【变式1-1】（2022·四川广安·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中 心角∠COD的度数是（ ） ．72° B．60° ．48° D．36° 【变式1-2】（2020·上海金山·统考一模）正十边形的中心角等于 度． 题型02 求正多边的边数 【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边 形纸片的边数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【变式2-1】（2023·广东阳江·统考二模）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是 （ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【变式2-2】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，、B、、D 为一个正多边形的顶点，为正多边形的 中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（ ） ．7 B．8 ．9 D．10 【变式2-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，四边形BD 为 的内接正四边形， ⊙ △EF 为 的内接正三 ⊙ 角形，连接DF．若DF 恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ． 题型03 正多边形与圆中求角度 【例3】（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M 在´ AB上，则 ∠CME的度数为（ ） ．30° B．36° ．45° D．60° 【变式3-1】（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE ,CD相切于A ,C两 点，则∠AOC的度数是（ ） ．144° B．130° ．129° D．108° 【变式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形BDE 内接于 ， ⊙ 则∠D 的度数为 °． 题型04 正多边形与圆中求面积 【例4】（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2 的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分 的面积是（ ） ．3 ❑ √3 B．6 ❑ √3 ．6 D．12 【变式4-1】（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点为圆心， AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式4-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提 出了 割圆术 ，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设 “ ” ⊙O的半径为2，若用 ⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 ． 【变式4-3】．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知正六边形ABCDEF，⊙O是此正六边 形的外接圆，若AB=2，则阴影部分的面积是 ． 题型05 正多边形与圆中求周长 【例5】（2023·广西钦州·统考一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（ ） ．5 B．6 ．30 D．36 【变式5-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为24，则图中阴影部分图形 的周长是 （结果保留π）． 【变式5-2】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距 OG等于3 ❑ √3，则⊙O的周长等于 ． 【变式5-3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，顺次连接AB、 BC、CD、DE、EF、FA的中点A1、B1、C1、D1、E1、F1，则六边形A1B1C1 D1 E1 F1的周长是 ． 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 【例6】（2023·河北衡水·衡水桃城中学校考模拟预测）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正 五边形的边长为，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ） ．r=R cos36° B．a=2 R sin36° ．a=2r tan36° D．a=r sin36° 【变式6-1】（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形 边心距为 ． 【变式6-2】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是❑ √3， 则正六边形的边长为 ． 【变式6-3】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知圆的半径为R，那么它的内接正三角形的边长是 ． 【变式6-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）半径为4 的正六边形的边心距为 ． 题型07 正多边形与圆中求线段长 【例7】（2023·安徽六安·统考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点是其中心，点P 是AB上一 点，且AP:BP=1:2，连接OP，则OP=¿（ ） ．2 B．2❑ √7 ．4 D．6 【变式7-1】（2023·河北石家庄·统考二模）如图，在边长为6 ❑ √3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF ，相交于点，若点M ，N分别为OB，OF的中点，则MN的长为（ ） ．6 B．6 ❑ √3 ．8 D．9 【变式7-2】（2023·浙江·统考二模）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b 至少 为（ ） ．2a B．❑ √3a ．3 2 a D． ❑ √3 2 a 【变式7-3】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则 AB AE 的值为（ ） ． ❑ √6 2 B． ❑ √3 2 ． ❑ √2 3 D． ❑ √6 3 题型08 正多边形与圆中求最值 【例8】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将一个正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合， 则n的最小值是（ ） ．6 B．8 ．12 D．24 【变式8-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在边长为2 的正六边形纸片ABCDEF上剪一个正方形 GHIJ，若GH ∥AB，则得到的正方形边长最大为( ) ．❑ √6 B．2❑ √3 ．3−❑ √3 D．6−2❑ √3 【变式8-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，为AD的中点，以为 圆心，❑ √3为半径作⊙O，M 为⊙O上一动点，设点M 到正六边形上的点的距离为d． （1）OA=¿ ． （2）当△BCM面积最小时，点M 到BC的距离为 ，d 的最大值为 ． 【变式8-3】（2022·陕西西安·统考一模）如图，点P 为⊙O上一点，连接P，且OP=4，点为P 上一动点， 点B 为⊙O上一动点，连接B，以线段B 为边在⊙O内构造矩形BD，且点在⊙O上，则矩形BD 面积的最 大值为 ． 题型09 尺规作图-正多边形 【例9】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一 个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式9-1】（2019·江西南昌·校联考三模）已知正八边形BDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要 求作图． （1）在图①中，作一个正方形； （2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形． 【变式9-2】（2022·江西九江·统考模拟预测）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF=1 3 BC， 请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹． (1)在图1 中的边DE上求作点G，使DG=CF； (2)在图2 中的边DE上求作点H，使EH=CF． 题型10 正多边形与圆的规律问题 【例10】（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原 点 重合，顶点，E 在y 轴上，顶点G，在x 轴上，连接OB，过点作OB 的垂线，垂足为P，将△APB绕 点顺时针旋转，每次旋转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P 的坐标为（ ） ．( 3 2 ,−3 2) B．( −3 2 , 3 2) ．(0, 3 2) D．( 3 2 ,0) 【变式10-1】（2023·河南南阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x 轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，AB=2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°， 经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ） ．(−3,−2❑ √3) B．(−2,−2❑ √3) ．(−3,−3) D．(−2,−3) 【变式10-2】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正六边形BDEF 的中 心与原点重合，AB∥x轴，交y 轴于点P．将△P 绕点顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022 次旋转结束 时，点的坐标为（ ） ．(❑ √3,−1) B．(−1,−❑ √3) ．(−❑ √3,−1) D．(1,❑ √3) 【变式10-3】（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，正六边形A1B1C1 D1 E1 F1的边长为2，正六边形 A2B2C2 D2 E2 F2的外接圆与正六边形A1B1C1 D1 E1 F1的各边相切，正六边形A3 B3C3 D3 E3 F3的外接圆 与正六边形A2B2C2 D2 E2 F2的各边相切 按这样的规律进行下去， … … A10 B10C10 D10 E10 F10的边长为 ． 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 设⊙ 的半径为R，°圆心角所对弧长为l，为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 l=nπR 180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且表示 1°的圆心角的倍数，和180 都不要带单位．） 扇形面积公式 S 扇形=nπ R 2 360 =1 2 lR 圆锥侧面积公式 S 圆锥侧=πrl （其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S 圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高，圆锥 的底面半径r r 2+h 2=l 2 n° l R O n° l h r 1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长 公式l=nπR 180 中，已知l，，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长， 然后直接代入公式S 扇形=nπ R 2 360 或 S 扇形 =1 2 lR 中求解即可． 3）扇形面积公式S 扇形=1 2 lR 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角 形、把弧长l 看成底，R 看成底边上的高即可 4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S 扇形，l，，R 中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长， 即 2πr=nπR 180 ，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R 和侧面展开图扇形圆心角°之间的关系，有时也根 据圆锥的侧面积计算公式来解决问题． 6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇 形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和 题型01 求弧长 【例1】（2023·河北沧州·校考一模）如图，在Rt△B 中， ＝ ∠ 90°，∠B＝30°，B＝8，以点为圆心，的长 为半径画弧，交B 于点D，则弧D 的长为（ ） ．π B．4 3 π ．5 3 π D．2π 【变式1-1】（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，⊙O的半径为2，点，B，都在⊙O上，若∠B=30°． 则´ AC的长为 （结果用含有π的式子表示） 【变式1-2】（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，边长为4 的正方形BD 内接于⊙O，则´ AB的长是 （结果保留π） 【变式1-3】（2023·湖南长沙·长沙市第十一中学校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，为⊙O上一点， 弦AE的延长线与过点的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC． （1）求∠B的度数； （2）若AB=2，求´ EC的长． 【变式1-4】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1 的三个 圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（ ） ．3π B．2π ．π D．1 2 π 题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径 【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长 12π，则扇形半径是 ． 【变式2-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）一个扇形的圆心角为36°，面积为π 10m2，则该扇形的半径 为 m． 【变式2-2】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为 45°．若´ AB，´ AC，´ CD的长分别为π，π和3 π，则⊙O的半径是（ ） ．4 B．4.5 ．5 D．5.5 【变式2-3】（2020·甘肃酒泉·统考二模）已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4 π，则它的半径为 ． 题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 【例3】（2021·山东德州·统考二模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10m，当重物上升10m 时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） ．120° B．60° ．180° D．450° 【变式3-1】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知一条弧的半径为9，弧长为8 π，那么这条弧所对 的圆心角为 ． 【变式3-2】（2021·浙江金华·统考一模）一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，则最小扇 形的圆心角为 ． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【例4】（2022·河北·校联考一模）如图，已知´ AB的半径为5，所对的弦B 长为8，点P 是´ AB的中点，将 ´ AB绕点逆时针旋转90°后得到´ AB'，则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是（ ） ． ❑ √5 2 π B．❑ √5π ．2❑ √5π D．2π 【变式4-1】（2021·贵州遵义·校考二模）如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它在水平直线上 向右无滑动滚动到O ' A ' B '的位置时，则点O到点O '所经过的路径长为 ． 【变式4-2】（2023·陕西·模拟预测）在活动课上， 雄鹰组 用含 “ ” 30°角的直角三角尺设计风车．如图， ＝ ∠ 90°，∠B＝30°，＝2，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到△B′′，使点 落在 ′ B 边上，以此方法做下去 则 … … B 点通过一次旋转至B′所经过的路径长为