专题24.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）（原卷版）

专题2410 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明 的综合问题的所有类型！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022 秋•柯桥区月考）如图，D 是⊙弦B 的中点，是⊙上的一点，与B 交于点E，已 知＝8，B＝12． （1）求线段D 的长； （2）当E¿ ❑ √2BE 时，求DE 的长． 2．（2022•市中区校级一模）如图，B 是⊙的直径，是^ BD的中点，E⊥B 于点E，BD 交E 于点F． （1）求证：F＝BF； （2）若D＝6，＝8，求⊙的半径及E 的长． 3．（2022 秋•岱岳区期末）已知⊙的直径为10，点、点B、点在⊙上，∠B 的平分线交⊙ 于点D． （1）如图①，若B 为⊙的直径，B＝6，求、BD、D 的长； （2）如图②，若∠B＝60°，求BD 的长． 1 4．（2022•济宁）如图，D 为△B 外接圆的直径，D⊥B，垂足为点F，∠B 的平分线交D 于 点E，连接BD，D． （1）求证：BD＝D； （2）请判断B，E，三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由． 5．（2022 秋•辛集市期末）如图1，在△B 中，B＝，⊙是△B 的外接圆，过点作D∥B 交⊙于 点D，连接D，延长D 至点F，使BF＝B． （1）求证：BF∥D； （2）如图2，当D 为直径，半径为1 时，求弧BD，线段BF，线段DF 所围成图形的面 积． 6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙的直径为B，点在⊙上，点D，E 分别在B，的延长线上， DE⊥E，垂足为E，D 与⊙相切于点． （1）求证：∠＝∠DE； （2）若B＝4，BD＝3，求D 的长． 1 7．（2022 秋•湛江校级月考）已知P、PB 分别切⊙于、B，E 为劣弧B 上一点，过E 点的 切线交P 于、交PB 于D． （1）若P＝6，求△PD 的周长． （2）若∠P＝50°求∠D． 8．（2022 秋•仪征市校级月考）如图，⊙是正方形BD 与正六边形EFG 的外接圆． （1）正方形BD 与正六边形EFG 的边长之比为 ； （2）连接BE，BE 是否为⊙的内接正边形的一边？如果是，求出的值；如果不是，请 说明理由． 9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形BD 中，对角线，BD 交于点，∠B＝30°，＝8．过点 作⊥B 于点，以点为圆心，为半径的半圆交于点M． （1）求图中阴影部分的面积； （2）点P 是BD 上的一个动点（点P 不与点B，D 重合），当P+PM 的值最小时，求 PD 的长度． 1 10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知B 是⊙的直径，点、D 在⊙上，∠D＝60°且B＝6， 过点作E⊥，垂足为E． （1）求E 的长； （2）若E 的延长线交⊙于点F，求弦F、和弧F 围成的图形（阴影部分）的面积S． 11．（2022 秋•如东县期末）如图，D 是⊙的直径，弦B⊥D 于点E，∠DB＝30°，B＝4❑ √3 ． （1）求D 的长； （2）求阴影部分的面积． 12．（2022 秋•松滋市期末）如图，B 是⊙的直径，弦DE 垂直平分半径，为垂足，弦DF 与半径B 相交于点P，连接E、F，若DE＝4❑ √3，∠DP＝45° （1）求⊙的半径． （2）若图中扇形EF 围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径． 1 13．（2022•沈阳）如图，⊙是△B 的外接圆，B 是⊙的直径，D 为⊙上一点，D⊥，垂足为 E，连接BD （1）求证：BD 平分∠B； （2）当∠DB＝30°时，求证：B＝D． 14．（2022•本溪）如图，△B 中，B＝，点E 是线段B 延长线上一点，ED⊥B，垂足为D， ED 交线段于点F，点在线段EF 上，⊙经过、E 两点，交ED 于点G． （1）求证：是⊙的切线； （2）若∠E＝30°，D＝1，BD＝5，求⊙的半径． 15．（2022•崇左）如图，正方形BD 的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG 的圆心依次为 点、B、． （1）求点D 沿三条弧运动到点G 所经过的路线长； （2）判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由． 1 16．（2022•凉山州二模）如图，B 是半圆的直径，、D 是半圆上的两点，且∠B＝20°， ^ AD=^ CD，求：∠BD 的度数． 17．（2022•白云区一模）如图，⊙的半径⊥，点D 在^ AC上，且^ AD=¿2^ CD，＝4． （1）∠D＝ °； （2）求弦D 的长； （3）P 是半径上一动点，连接P、PD，请求出P+PD 的最小值，并说明理由． （解答上面各题时，请按题意，自行补足图形） 18．（2022•西湖区校级一模）如图，B 是⊙的直径，是^ BD的中点，E⊥B 于E，BD 交E 于 F． （1）求证：F＝BF； （2）若D＝6，＝8，求BE、F 的长． 19．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙的直径为10，点、B、在⊙上，∠B 的平 分线交⊙于点D． （1）图①，当B 为⊙的直径时，求BD 的长． 1 （2）图②，当BD＝5 时，求∠DB 的度数． 20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙的内接四边形BD 两组对边的延长线分别交于点 E、F． （1）当∠E＝∠F 时，则∠D＝ °； （2）当∠＝55°，∠E＝30°时，求∠F 的度数； （3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β 的代数式表示∠的大小． 21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△B 中，B＞，E 是其外接圆的切线，D 为B 上的点， 且D＝＝E．求证：直线DE 过△B 的内心． 22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图分别是⊙的内接正三角形 B，正四边形BD、正五边形BDE、…、正边形BD…，点M、分别从点B、开始以相同 的速度在⊙上逆时针运动． （1）求图1 中∠P 的度数是 ；图2 中，∠P 的度数是 ，图3 中∠P 的度数是 ． （2）试探索∠P 的度数与正多边形边数的关系（直接写答） ． 1 23．（2022•温州一模）如图，在⊙上依次有、B、三点，B 的延长线交⊙于E，^ AE=^ CE ，过点作D∥B 交BE 的延长线于D，D 交⊙于点F． （1）求证：四边形BD 是菱形； （2）连接、F，若∠F＝3∠FE，且F＝3，求劣弧^ CF的长． 24．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙中，直径D⊥弦B 于E，M⊥B 于M，交D 于，连 D． （1）求证：D＝； （2）若B＝4❑ √2，＝1，求⊙的半径． 25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙中，D、B 相交于点E，E 平分∠E． （1）求证：B＝D； （2）如果⊙的半径为5，D⊥B，DE＝1，求D 的长． 26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，点P 在的延长线 上，∠D＝45°． （1）若B＝4，求弧D 的长； 1 （2）若弧B＝弧D，D＝P，求证：PD 是⊙的切线． 27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙中，弦D 与直径B 交于点． （1）当∠B+∠D＝90°时，求证：是D 的中点； （2）若为D 的中点，且D＝2❑ √2，BD¿ ❑ √3，求B 的长． 28．（2022•苏州模拟）如图，点和动点P 在直线l 上，点P 关于点的对称点为Q，以Q 为 边作Rt△BQ，使∠BQ＝90°，Q：B＝3：4，作△BQ 的外接圆．点在点P 右侧，P＝4， 过点作直线m⊥l，过点作D⊥m 于点D，交B 右侧的圆弧于点E．在射线D 上取点F， 使DF¿ 3 2 CD，以DE，DF 为邻边作矩形DEGF．设Q＝3x． （1）用关于x 的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ． （2）当点P 在点右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求P 的长． （3）当点P 在点右侧时，作直线BG 交⊙于点，若B 的弦心距为1，求P 的长． 29．（2022•福建模拟）如图1，△B 中，B＝，⊙是△B 的外接圆，过点B 作BE⊥，交⊙于 点D，垂足为E，连接D． （1）求证：∠B＝2∠D； （2）如图2，连接D，点F 在线段BD 上，且DF＝2D，G 是^ BC的中点，连接FG，若 FG＝2，D＝2❑ √2，求⊙的半径． 1 30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D 是△B 外接圆⊙上的一点，⊥BD 于G，连接D，过 点B 作直线BF∥D 交于E，交⊙于F，若点F 是弧D 的中点，连接G，D，D （1）求证：∠DBF＝∠B； （2）若G¿ ❑ √6 2 GE，试探究∠GD 与∠D 之间的数量关系，并证明． 31．（2022•莱芜）如图，△B 是⊙的内接三角形，＝B，D 为⊙中^ AB上一点，延长D 至点 E，使E＝D． （1）求证：E＝BD； （2）若⊥B，求证：D+BD¿ ❑ √2D． 32．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为（4，0），以点为 圆心，4 为半径的圆与x 轴交于，B 两点，为弦，∠＝60°，P 是x 轴上的一动点，连接 P． （1）求∠的度数； （2）如图①，当P 与⊙相切时，求P 的长； （3）如图②，当点P 在直径B 上时，P 的延长线与⊙相交于点Q，问P 为何值时，△Q 1 是等腰三角形？ 33．（2022•昆明）（1）如图（1），、B 是⊙的两条半径，且⊥B，点是B 延长线上任意 一点，过点作D 切⊙于点D，连接D 交于点E． 求证：D＝E； （2）若将图（2）中的半径B 所在直线向上平行移动交于F，交⊙于B′，其他条件不变， 那么上述结论D＝E 还成立吗？为什么？ （3）若将图（3）中的半径B 所在直线向上平行移动到⊙外的F，点E 是D 的延长线与 F 的交点，其他条件不变，那么上述结论D＝E 还成立吗？为什么？ 34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙中，直径D⊥弦B 于E，M⊥B 于M，交D 于，连接 D． （1）求证：D＝； （2）若B＝8，＝1，求⊙的半径． 35．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道， 需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面． （2）若这个输水管道有水部分的水面宽B＝16m，水面最深地方的高度为4m，求这个 圆形截面的半径． （3）在（2）的条件下，小明把一只宽12m 的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里， 已知船高出水面13m，问此小船能顺利通过这个管道吗？ 1 36．（2022•泰州模拟）如图，B 是⊙的直径，弦D⊥B，垂足为，已知D＝8，＝3． （1）求⊙的半径； （2）若E 是弦D 上的一点，且∠EB＝∠EB，求线段BE 的长． 37．（2022•河北）图1 是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚 顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2 是车棚顶部截面的示意图，^ AB所在 圆的圆心为．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝 等因素，计算结果保留π） 38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完 成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙中，是劣弧B 的中点， 直线D⊥B 于点E，则E＝BE．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P， PB 组成⊙的一条折弦．是劣弧B 的中点，直线D⊥P 于点E，则E＝PE+PB．可以通过 延长DB、P 相交于点F，再连接D 证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，P．PB 组成⊙的一条折弦，若是优弧B 的中点，直线D⊥P 于点E，则 E，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明． 1 39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙中，直径B＝4，D＝2，直线D，B 相交于点 E． （1）∠E 的度数为 ； （2）如图2，B 与D 交于点F，请补全图形并求∠E 的度数； （3）如图3，弦B 与弦D 不相交，求∠E 的度数． 40．（2022•安徽一模）如图，，P，B，是⊙上的四个点，∠P＝∠PB＝60°． （1）判断△B 的形状，并证明你的结论． （2）证明：P+PB＝P． 41．（2022•和平区一模）Rt△B 中，∠B＝90°，以B 为直径作⊙交边于点D，E 是边B 的中 点，连接DE，D． （Ⅰ）如图①，求∠DE 的大小； （Ⅱ）如图②，连接交DE 于点F，若F＝F，求∠的大小． 1 42．（2022•和平区二模）已知B 是⊙的直径，B＝2，点，点D 在⊙上，D＝1，直线D，B 交于点E． （Ⅰ）如图1，若点E 在⊙外，求∠EB 的度数． （Ⅱ）如图2，若点E 在⊙内，求∠EB 的度数． 43．（2022•南开区二模）如图，⊙的直径B 的长为2，点在圆周上，∠B＝30°，点D 是圆 上一动点，DE∥B 交的延长线于点E，连接D，交B 于点F． （Ⅰ）如图1，当∠D＝45°时，请你判断DE 与⊙的位置关系并加以证明； （Ⅱ）如图2，当点F 是D 的中点时，求△DE 的面积． 44．（2022•红桥区二模）已知⊙是△B 的外接圆，过点作⊙的切线，与的延长线于点P，P 与⊙交于点D． （1）如图①，若P＝，求∠B 的大小； （2）如图②，若P∥B，∠P＝42°，求∠B 的大小． 1 45．（2022 秋•镇海区期末）如图，在△B 中，D 在边上，圆为锐角△BD 的外接圆，连结并 延长交B 于点E． （1）若∠DB＝α，请用含α 的代数式表示∠DE； （2）如图2，作BF⊥，垂足为F，BF 与E 交于点G，已知∠BD＝∠BF． ①求证：EB＝EG； ②若E＝5，＝8，求FG+FB 的值． 46．（2022 秋•虹口区校级期末）如图，等边△B 内接于⊙，P 是^ AB上任一点（点P 与点、 B 重合），连接P、BP，过点作M∥BP 交P 的延长线于点M． （1）求∠P 和∠BP 的度数； （2）求证：△M≌△BP； （3）若P＝1，PB＝2，求四边形PBM 的面积； （4）在（3）的条件下，求^ AB的长度． 47．（2022 秋•赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边 长为16m 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好 是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方一，发现这种方不可行，于是他们调整 了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方二．（两个方的图中，圆与正方形相邻两边及 1 扇形的弧均相切．方一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算． （1）请说明方一不可行的理由； （2）判断方二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l 及其底面圆半径r；若不可行， 请说明理由． 48．（2022•浙江校级自主招生）如图，已知圆的圆心为，半径为3，点M 为圆内的一个定 点，M¿ ❑ √5，B、D 是圆的两条相互垂直的弦，垂足为M． （1）当B＝4 时，求四边形DB 的面积； （2）当B 变化时，求四边形DB 的面积的最大值． 49．（2022•浙江校级自主招生）如图，为等边△B 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧B 上 运动（不与点，B 重合），连接D，DB，D．若点M，分别在线段，B 上运动（不含端 点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的 位置，△DM 的周长有最小值t，随着 点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值． 50．（2022•枣庄校级模拟）如图，在△B 中，以B 为直径的⊙分别交、B 于点D、E，点F 在的延长线上，且＝F，∠BF＝∠FB． （1）求证：直线BF 是⊙的切线； （2）若点D，点E 分别是弧B 的三等分点，当D＝5 时，求BF 的长和扇形DE 的面积； （3）填空：在（2）的条件下，如果以点为圆心，r 为半径的圆上总存在不同的两点到 点的距离为5，则r 的取值范围为 ． 1 1