专题24.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）（解析版）

专题2410 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明 的综合问题的所有类型！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022 秋•柯桥区月考）如图，D 是⊙弦B 的中点，是⊙上的一点，与B 交于点E，已 知＝8，B＝12． （1）求线段D 的长； （2）当E¿ ❑ √2BE 时，求DE 的长． 【分析】（1）连接B，先根据垂径定理得出D⊥B，BD¿ 1 2B，在Rt△BD 中，根据勾股 定理即可得出结论； （2）在Rt△ED 中，设BE＝x，则E¿ ❑ √2x，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）连接B． ∵D 过圆心，且D 是弦B 中点， ∴D⊥B，BD¿ 1 2B， 在Rt△BD 中，D2+BD2＝B2． ∵B＝＝8，BD＝6． ∴D＝2❑ √7； （2）在Rt△ED 中，D2+ED2＝E2． 设BE＝x，则E¿ ❑ √2x，DE＝6﹣x． （2❑ √7）2+（6﹣x）2＝（❑ √2x）2， 解得x1＝﹣16（舍），x2＝4． 则DE＝2． 1 2．（2022•市中区校级一模）如图，B 是⊙的直径，是^ BD的中点，E⊥B 于点E，BD 交E 于点F． （1）求证：F＝BF； （2）若D＝6，＝8，求⊙的半径及E 的长． 【分析】（1）要证明F＝BF，可以证明∠EB＝∠DB；B 是⊙的直径，则∠B＝90°，又知 E⊥B，则∠EB＝90°，则∠DB＝90°﹣∠E＝∠，∠EB＝∠，则∠EB＝∠DB； （2）在直角三角形B 中，B2＝2+B2，又知，B＝D，所以可以求得B 的长，即可求得圆 的半径；再利用面积法求得E 的长． 【解答】（1）证明：∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∴∠＝90°﹣∠B． ∵E⊥B， ∴∠EB＝90°， ∴∠EB＝90°﹣∠B， ∴∠EB＝∠． 又∵是^ BD的中点， ∴^ CD=^ CB， ∴∠DB＝∠， ∴∠EB＝∠DB， ∴F＝BF； （2）解：∵^ BC=^ CD， ∴B＝D＝6， 1 ∵∠B＝90°， ∴B¿ ❑ √BC 2+ A C 2= ❑ √6 2+8 2=¿10， ∴⊙的半径为5， ∵S△B¿ 1 2B•E¿ 1 2B•， ∴E¿ BC ⋅AC AB =6×8 10 =24 5 ． 3．（2022 秋•岱岳区期末）已知⊙的直径为10，点、点B、点在⊙上，∠B 的平分线交⊙ 于点D． （1）如图①，若B 为⊙的直径，B＝6，求、BD、D 的长； （2）如图②，若∠B＝60°，求BD 的长． 【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△B 和△DB 是直角三角形，利用勾股定理可以求 得的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同 样得到BD＝D＝5❑ √2； （2）如图②，连接B，D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知 △BD 是等边三角形，则BD＝B＝D＝5． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 如 图 ① ， ∵ B 是 ⊙ 的 直 径 ， ∴∠B＝∠BD＝90°． ∵在直角△B 中，B＝10，B＝6， ∴由勾股定理得到：¿ ❑ √BC 2−A B 2= ❑ √10 2−6 2=¿8． ∵D 平分∠B， ∴^ CD=^ BD， ∴D＝BD． 1 在直角△BD 中，B＝10，D2+BD2＝B2， ∴易求BD＝D＝5❑ √2； （2）如图②，连接B，D， ∵D 平分∠B，且∠B＝60°， ∴∠DB¿ 1 2∠B＝30°， ∴∠DB＝2∠DB＝60°． 又∵B＝D， ∴△BD 是等边三角形， ∴BD＝B＝D． ∵⊙的直径为10，则B＝5， ∴BD＝5． 4．（2022•济宁）如图，D 为△B 外接圆的直径，D⊥B，垂足为点F，∠B 的平分线交D 于 点E，连接BD，D． （1）求证：BD＝D； （2）请判断B，E，三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由． 【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明． （2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BD＝∠BD 再等量代换得出∠DBE＝∠DEB，从而证 明DB＝DE＝D，所以B，E，三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上． 【解答】（1）证明：∵D 为直径，D⊥B， ∴由垂径定理得：^ BD=^ CD ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝D． 1 （2）解：B，E，三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上． 理由：由（1）知：^ BD=^ CD， 1 ∴∠＝∠2， 又∵∠2＝∠3， 1 ∴∠＝∠3， ∴∠DBE＝∠3+ 4 ∠，∠DEB＝∠1+ 5 ∠， ∵BE 是∠B 的平分线， 4 ∴∠＝∠5， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE． 由（1）知：BD＝D ∴DB＝DE＝D． ∴B，E，三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上． 5．（2022 秋•辛集市期末）如图1，在△B 中，B＝，⊙是△B 的外接圆，过点作D∥B 交⊙于 点D，连接D，延长D 至点F，使BF＝B． （1）求证：BF∥D； （2）如图2，当D 为直径，半径为1 时，求弧BD，线段BF，线段DF 所围成图形的面 积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠D＝∠DB，进而可以解决问 题； （2）连接，B，由（1）得∠B＝∠BD＝∠D，所以^ AC=^ AB=^ BD，可得△和△B 是等边三 1 角形，可以求出BF 的长，进而可得S△BF和S 扇形BD，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∵D∥B， ∴∠B＝∠DB， ∴∠B＝∠DB， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠DB， ∵BF＝B ∴∠F＝∠BD， ∴∠F＝∠D， ∴BF∥D； （2）解：连接，B， ∵D 为直径，半径为1， ∴D＝2，D＝B＝＝＝1， 由（1）知：∠B＝∠BD＝∠D， ∴^ AC=^ AB=^ BD， ∴∠＝∠B＝∠BD＝60°， ∴△和△B 是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠D＝30°， ∴∠F＝30°， ∴∠FB＝90°，B＝1， ∴BF¿ ❑ √3， 弧BD，线段BF，线段DF 所围成图形的面积为： S△BF﹣S 扇形BD¿ 1 2 ×B•BF−60 π ×1 2 360 = ❑ √3 2 −π 6 ． 1 6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙的直径为B，点在⊙上，点D，E 分别在B，的延长线上， DE⊥E，垂足为E，D 与⊙相切于点． （1）求证：∠＝∠DE； （2）若B＝4，BD＝3，求D 的长． 【分析】（1）连接，根据三角形的内角和得到∠ED+∠ED＝90°，根据等腰三角形的性 质得到∠＝∠，得到∠D＝90°，于是得到结论； （2）根据已知条件得到＝B¿ 1 2B＝2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， ∵D 与⊙相切于点， ∴∠D＝90°， + ∴∠∠DE＝90°， ∵DE⊥E， ∴∠E＝90°， ∴∠ED+∠ED＝90°， ∴∠ED＝∠， ∵＝， ∴∠＝∠， ∴∠＝∠DE． （2）解：∵B＝4，BD＝3， ∴OC=OB=1 2 AB=2， ∴D＝2+3＝5， 1 ∴CD= ❑ √O D 2−OC 2= ❑ √5 2−2 2=❑ √21． 7．（2022 秋•湛江校级月考）已知P、PB 分别切⊙于、B，E 为劣弧B 上一点，过E 点的 切线交P 于、交PB 于D． （1）若P＝6，求△PD 的周长． （2）若∠P＝50°求∠D． 【分析】（1）根据切线长定理得到P＝PB，＝E，BD＝DE，根据三角形的周长公式计 算即可； （2）证明Rt Rt △ △ ≌ E，得到∠＝∠E 和∠DE＝∠BD，计算即可． 【解答】解：（1）连接E， ∵P、PB 与圆相切， ∴P＝PB＝6， 同理可得：＝E，BD＝DE， △PD 的周长＝P+PD+D＝P+PD+E+DE＝P+PB＝12； （2）∵P PB 与圆相切， ∴∠P＝∠BP＝90°∠P＝50°， ∴∠B＝360° 90° 90° 50° ﹣ ﹣ ﹣ ＝130°， 在Rt△和Rt△E 中， { OA=OE OC=OC， Rt Rt ∴ △ △ ≌ E（L）， ∴∠＝∠E， 同理：∠DE＝∠BD， ∴∠D¿ 1 2∠B＝65°． 8．（2022 秋•仪征市校级月考）如图，⊙是正方形BD 与正六边形EFG 的外接圆． 1 （1）正方形BD 与正六边形EFG 的边长之比为 ❑ √2： 1 ； （2）连接BE，BE 是否为⊙的内接正边形的一边？如果是，求出的值；如果不是，请 说明理由． 【分析】（1）计算出在半径为R 的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出； （2）首先求得∠EB 的度数，然后利用360°除以∠EB 度数，若所得的结果是整数的即可． 【解答】解：（1）设此圆的半径为R， 则它的内接正方形的边长为❑ √2R， 它的内接正六边形的边长为R， 内接正方形和内接正六边形的边长比为❑ √2R：R¿ ❑ √2：1． 故答为：❑ √2：1； （2）BE 是⊙的内接正十二边形的一边， 理由：连接，B，E， 在正方形BD 中，∠B＝90°， 在正六边形EFG 中，∠E＝60°， ∴∠BE＝30°， ∵¿ 360° 30° =¿12， ∴BE 是正十二边形的边． 9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形BD 中，对角线，BD 交于点，∠B＝30°，＝8．过点 作⊥B 于点，以点为圆心，为半径的半圆交于点M． （1）求图中阴影部分的面积； （2）点P 是BD 上的一个动点（点P 不与点B，D 重合），当P+PM 的值最小时，求 PD 的长度． 1 【分析】（1）解直角三角形求出，，根据S 阴＝S△﹣S 扇形M，求解即可． （2）作点M 关于BD 的对称点M′，连接M′交BD 于P，连接PM，连接PM，此时 P+PM 的值最小，解直角三角形求出P，D 即可． 【解答】解：（1）∵四边形BD 是菱形， ∴⊥BD，＝＝4， ∵⊥B， ∴∠＝90°， ∵∠＝30°， ∴∠＝60°，¿ 1 2＝2，¿ ❑ √3＝2❑ √3， ∴S 阴＝S△﹣S 扇形M¿ 1 2 ×2×2❑ √3−60⋅π ⋅2 2 360 =¿2 ❑ √3−2 3π． （2）作点M 关于BD 的对称点M′，连接M′交BD 于P，连接PM，此时P+PM 的值最小． ∵＝M′， ∴∠M′＝∠M′， ∵∠＝∠M′+∠M′＝60°， 设P＝m，则PM＝2m， ∵PM2＝M2+P2， 4 ∴m2＝m2+22， ∴m¿ 2❑ √3 3 ， ∴PD＝D+P¿ 4 ❑ √3 3 + 2❑ √3 3 =¿2❑ √3． 1 10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知B 是⊙的直径，点、D 在⊙上，∠D＝60°且B＝6， 过点作E⊥，垂足为E． （1）求E 的长； （2）若E 的延长线交⊙于点F，求弦F、和弧F 围成的图形（阴影部分）的面积S． 【分析】（1）根据∠D＝60°，可得出∠B＝60°，继而求出B，判断出E 是△B 的中位线， 就可得出E 的长； （2）连接，将阴影部分的面积转化为扇形F 的面积． 【解答】解：（1）∵∠D＝60°， ∴∠B＝60°（圆周角定理）， 又∵B＝6， ∴B＝3， ∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∵E⊥， ∴E∥B， 又∵点是B 中点， ∴E 是△B 的中位线， ∴E¿ 1 2B¿ 3 2； （2）连接， 1 则易得△E≌△FE， 故阴影部分的面积＝扇形F 的面积， S 扇形F¿ 60 π ×3 2 360 =3 2π． 即可得阴影部分的面积为3 2π． 11．（2022 秋•如东县期末）如图，D 是⊙的直径，弦B⊥D 于点E，∠DB＝30°，B＝4❑ √3 ． （1）求D 的长； （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据垂径定理和题意，可以求得D 和DE 的长，再根据有一个角是60°的 等腰三角形是等边三角形即可得到D 的长，从而可以求得D 的长； （2）根据图形可知△BE 和△E 全等，阴影部分的面积等于扇形D 的面积，本题得以解决． 【解答】解：（1）连接， ∵D 是⊙的直径，弦B⊥D 于点E，∠DB＝30°，B＝4❑ √3， ∴E＝2❑ √3，∠ED＝90°， ∴ED＝2，D＝4，∠D＝60°， ∵＝D， ∴△D 是等边三角形， ∴D＝D＝4， ∴D＝2D＝8； （2）∵D 是⊙的直径，弦B⊥D 于点E，∠DB＝30°，B＝4❑ √3， ∴＝B，E＝BE，E＝E， ∴△E≌△EB， 1 ∴阴影部分的面积是：60×π ×4 2 360 =8 π 3 ． 12．（2022 秋•松滋市期末）如图，B 是⊙的直径，弦DE 垂直平分半径，为垂足，弦DF 与半径B 相交于点P，连接E、F，若DE＝4❑ √3，∠DP＝45° （1）求⊙的半径． （2）若图中扇形EF 围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径． 【分析】（1）利用垂径定理得到E＝D¿ 1 2DE＝2❑ √3，¿ 1 2E，则∠E＝30°，然后利用含 30 度的直角三角形三边的关系求出E 即可； （2）利用圆周角定理得到∠EF＝2∠D＝90°，设这个圆锥的底面圆的半径为r，利用弧 长公式得到2πr¿ 90⋅π ⋅4 180 ，然后解关于r 的方程即可． 【解答】解：（1）∵弦DE 垂直平分半径， ∴E＝D¿ 1 2DE＝2❑ √3，¿ 1 2E， ∴∠E＝30°， ∴¿ CE ❑ √3 =¿2， ∴E＝2＝4， 即⊙的半径为4； （2）∵∠DP＝45°， ∴∠D＝45°， ∴∠EF＝2∠D＝90°， 设这个圆锥的底面圆的半径为r， 2π ∴ r¿ 90⋅π ⋅4 180 ，解得r＝1， 即这个圆锥的底面圆的半径为1． 13．（2022•沈阳）如图，⊙是△B 的外接圆，B 是⊙的直径，D 为⊙上一点，D⊥，垂足为 E，连接BD （1）求证：BD 平分∠B； 1 （2）当∠DB＝30°时，求证：B＝D． 【分析】（1）由D⊥D 为半径，根据垂径定理，即可得^ CD=^ AD，又由在同圆或等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD 平分∠B； （2）首先由B＝D，易求得∠D 的度数，又由D⊥于E，可求得∠的度数，然后由B 是⊙ 的直径，根据圆周角定理，可得∠B＝90°，继而可证得B＝D． 【解答】证明：（1）∵D ⊥D 为半径， ∴^ CD=^ AD， ∴∠BD＝∠BD， ∴BD 平分∠B； （2）∵B＝D， ∴∠BD＝∠0DB＝30°， ∴∠D＝∠BD+∠DB＝30°+30°＝60°， 又∵D⊥于E， ∴∠E＝90°， ∴∠＝180°﹣∠E﹣∠D＝180° 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°， 又∵B 为⊙的直径， ∴∠B＝90°， 在Rt△B 中，B¿ 1 2B， ∵D¿ 1 2B， ∴B＝D． 14．（2022•本溪）如图，△B 中，B＝，点E 是线段B 延长线上一点，ED⊥B，垂足为D， ED 交线段于点F，点在线段EF 上，⊙经过、E 两点，交ED 于点G． （1）求证：是⊙的切线； （2）若∠E＝30°，D＝1，BD＝5，求⊙的半径． 1 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠B，∠E＝∠E，推出∠＝90°，根据切线 的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到∠F＝30°，解直角三角形得到DF¿ ❑ √3 AD=❑ √3，EF＝3E＝4 ❑ √3，即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，如图： ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∵＝E， ∴∠E＝∠E， ∵DE⊥B， ∴∠BDE＝90°， ∴∠B+∠E＝90°， ∴∠B+∠E＝90°， ∴∠＝90°， ∴⊥， ∴是⊙的切线； （2）解：∵∠E＝30°， ∴∠E＝30°， ∴∠FE＝120°， ∴∠F＝30°， ∴∠FD＝∠F＝30°， ∴DF¿ ❑ √3 AD=❑ √3， ∵BD＝5，∴DE＝5❑ √3， ∵F＝2， ∴EF＝3E＝4❑ √3， ∴E¿ 4 ❑ √3 3 ， 1 即⊙的半径¿ 4 ❑ √3 3 ． 15．（2022•崇左）如图，正方形BD 的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG 的圆心依次为 点、B、． （1）求点D 沿三条弧运动到点G 所经过的路线长； （2）判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据弧长的计算公式，代入运算即可． （2）先证明△FD≌△GB，得出∠G＝∠F，从而利用等量代换可得出∠GD＝90°，即 GB⊥DF． 【解答】解：（1）根据弧长公式得所求路线长为：90 π ×1 180 + 90 π ×2 180 + 90 π ×3 180 =¿ 3π． （2）GB⊥DF． 理由如下： 在△FD 和△GB 中， ∵{ CF=CG ∠FCD=∠GCB CD=CB ， ∴△FD≌△GB（SS）， ∴∠G＝∠F， ∵∠F+∠FD＝90°， ∴∠G+∠FD＝90°， ∴∠GD＝90°， 1 ∴GB⊥DF． 16．（2022•凉山州二模）如图，B 是半圆的直径，、D 是半圆上的两点，且∠B＝20°， ^ AD=^ CD，求：∠BD 的度数． 【分析】连接B，如图，根据圆周角定理得∠B＝90°，则利用互余可计算出∠B＝70°，再 根据圆内接四边形的性质计算出∠D＝180°﹣∠B＝110°，接着根据圆周角定理和三角形 内角和定理，由弧D＝弧D 得到∠D＝∠D＝35°，然后得到∠DB＝∠D+∠B＝125°． 【解答】解：∵B 是半圆的直径， ∴∠B＝90°， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝70°， ∵四边形BD 是圆的内接四边形， ∴∠D＝180°﹣∠B＝110°， ∵^ AD=^ CD， ∴∠D＝∠D¿ 1 2（180° 110° ﹣ ）＝35°， ∴∠DB＝∠D+∠B＝125°． 17．（2022•白云区一模）如图，⊙的半径⊥，点D 在^ AC上，且^ AD=¿2^ CD，＝4． （1）∠D＝ 30 °； （2）求弦D 的长； （3）P 是半径上一动点，连接P、PD，请求出P+PD 的最小值，并说明理由． （解答上面各题时，请按题意，自行补足图形） 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠＝90°，由已知条件得到∠D＝2∠D，即可得到结论； （2）连接D、D，如图1 所示：由（1）知∠D＝2∠D＝2×30°＝60°，推出△D 为等边三 角形，根据等边三角形的性质得到； （3）过点D 作DE⊥，交⊙于点E，连接E，交于点P，则此时，P+PD 的值最小，延长 1 交⊙于点B，连接BE，得到P+PD 最小值＝P+PE＝E，根据圆周角定理得到∠E