第28讲 与圆有关的计算（讲义）（解析版）

第28 讲 与圆有关的计算 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 正多边形与圆 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求线段长 题型08 正多边形与圆中求最值 题型09 尺规作图-正多边形 题型10 正多边形与圆的规律问题 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 题型01 求弧长 题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径 题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 题型04 求某点的弧形运动路径长度 题型05 求扇形面积 题型06 求图形旋转后扫过的面积 题型07 求圆锥侧面积 题型08 求圆锥侧面积 题型09 求圆锥底面半径 题型10 求圆锥的高 题型11 求圆锥侧面积展开图的圆心角 题型12 圆锥的实际问题 题型13 圆锥侧面上的最短路径问题 考点三 不规则面积的有关计算 题型01 直接公式法 题型02 直接和差法 题型03 构造和差法 题型04 等面积法 题型05 旋转法 题型06 对称法 题型07 全等法 考点要求 新课标要求 命题预测 正多边形与圆  了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 该板块内容以考查综合题为 主，也是考查重点，除了填空题 和选择题外，年年都会考查综合 题，对多数考生来说也是难点， 2024 年各地中考肯定还是会考查 弧长、扇形面积、 圆锥的有关计算  会计算圆的弧长、扇形的面积 不规则面积的有关 计算  考点一 正多边形与圆 1 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 2 正多边形的常用公式 边长 an=2 Rn⋅sin 180 0 n （R 为正多边形外接圆的半径） 周长 P=⋅ 外角/中心角度数 360° n 面积 S=1 2⋅r⋅ 对角线条数 n(n−3) 2 边心距 r=R⋅s180 0 n 内角和 （ -2 ）×180° 内角度数 （n−2）×180° n 边形的边数 （内角和÷180°）＋2 an、R n、r n 的关系 Rn 2=rn 2+ an 2 4 （ 、R、r 为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值 可以借助勾股定理求解） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正边形的外接圆半径和边心距把正边形分成2 个 全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正边形各元素间的关系，故可 以把正边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 :B:B 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 AOB=60° A O B 1:❑ √3: 2 1:2 正方形 AOB=45° A O B 1:1:❑ √2 1:❑ √2 正六边形 AOB=30° A O B ❑ √3: 1: 2 ❑ √3: 2 【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆 题型01 求正多边形中心角 【例1】（2021·辽宁沈阳·统考二模）在圆内接正六边形BDEF 中，正六边形的边长为2，则这个正六边形 的中心角和边心距分别是（ ） ．30° ,1 B．45° ,❑ √2 ．60° ,❑ √3 D．120° ,2 【答】 【分析】由正六边形的性质得∠D＝60°，再证△D 是等边三角形，得B＝D＝＝2，再由垂径定理和含30° 角的直角三角形的性质求出G 即可． 【详解】解：在圆内接正六边形BDEF 中，∠D＝360°÷6＝60°， ∵＝D， ∴△D 是等边三角形， ∴B＝D＝＝2， ∵G⊥B， ∴G＝1 2B＝1， ∵∠G＝1 2∠D＝30°， ∴G＝❑ √3G＝❑ √3， 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角 形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式1-1】（2022·四川广安·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中 心角∠COD的度数是（ ） ．72° B．60° ．48° D．36° 【答】 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360° n 计算即可． 【详解】解： 五边形 ∵ BDE 是 的内接正五边形， ⊙ ∴五边形BDE 的中心角∠D 的度数为360° 5 =72°， 故选：． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 360° n 是解题的关键． 【变式1-2】（2020·上海金山·统考一模）正十边形的中心角等于 度． 【答】36 【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解． 【详解】正十边形的中心角等于360°÷10=36° 故答为：36． 【点睛】此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正边形的中心角等于360° n ． 题型02 求正多边的边数 【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边 形纸片的边数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【答】 【分析】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解． 【详解】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如下图； 有图形得：这个正多边形纸片是六边形， 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【变式2-1】（2023·广东阳江·统考二模）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是 （ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【答】 【分析】根据正多边形的边数¿周角÷中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是360°÷ 45°=8， 故选：． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 【变式2-2】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，、B、、D 为一个正多边形的顶点，为正多边形的 中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（ ） ．7 B．8 ．9 D．10 【答】 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=40°，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接OA，OB， ∵、B、、D 为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、B、、D 在以点为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB=20°， ∴∠AOB=2∠ADB=40°， ∴这个正多边形的边数¿ 360° 40° =9， 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 【变式2-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，四边形BD 为 的内接正四边形， ⊙ △EF 为 的内接正三 ⊙ 角形，连接DF．若DF 恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ． 【答】12 【分析】连接、D、F，如图，利用正多边形与圆，分别计算 的内接正四边形与内接正三角形的中心角得 ⊙ 到∠D=90°，∠F=120°，则∠DF=30°，然后计算360° 30° 即可得到的值． 【详解】解：连接、D、F，如图，设这个正多边形为边形， ∵D，F 分别为 的内接正四边形与内接正三角形的一边， ⊙ ∴∠D=360° 4 =90°，∠F=360° 3 =120°， ∴∠DF=∠F-∠D=30°， = ∴360° 30° =12，即DF 恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故答为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成（是大于2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多 边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念． 题型03 正多边形与圆中求角度 【例3】（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M 在´ AB上，则 ∠CME的度数为（ ） ．30° B．36° ．45° D．60° 【答】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接、D、E，如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠D= 360 6 =60°，则∠E=120°， ∴∠ME= 1 2∠E=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正多边形的中心角为360 n 是解答的关键． 【变式3-1】（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE ,CD相切于A ,C两 点，则∠AOC的度数是（ ） ．144° B．130° ．129° D．108° 【答】 【分析】根据切线的性质，可得∠E＝90°，∠D＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解． 【详解】解： ∵E、D 切 于点、， ⊙ ∴∠E＝90°，∠D＝90°， ∴正五边形BDE 的每个内角的度数为： (5−2)×180° 5 =108° ， ∴∠＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°， 故选：． 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理 是解题的关键． 【变式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形BDE 内接于 ， ⊙ 则∠D 的度数为 °． 【答】54 【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解： 多边形 ∵ BDE 是正五边形， ∴∠D=360° 5 =72°， = ∵D， ∴∠D=1 2×（180°-72°）=54°， 故答为：54． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中 心角的度数． 题型04 正多边形与圆中求面积 【例4】（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2 的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分 的面积是（ ） ．3 ❑ √3 B．6 ❑ √3 ．6 D．12 【答】 【分析】由正六边形从性质可得阴影部分的面积等于正六边形面积的一半，可得△ABC为等边三角形， 再计算正六边形的面积即可得到答 【详解】解：如图， 正六边形， ∵ ∴图形①，②，③，④，⑤， 与上半部分的阴影部分的图形分别对应相等， ⑥ ∴整个阴影部分的面积为正六边形的面积的一半， ∵正六边形， ∴正六边形的面积等于6 S△ABC,△ABC为等边三角形，AD⊥BC, ∴AB=BC=AC=2,BD=DC=1， ∴AD=❑ √3， ∴正六边形的面积为：6 S△ABC=6× 1 2 ×2×❑ √3=6 ❑ √3， ∴阴影部分的面积为：3 ❑ √3 故选 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，正六边形的性质，熟记正六边形是轴对称图 形是解本题的关键 【变式4-1】（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点为圆心， AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 【答】24 5 π 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷5=72°， ∴正五边形的每个内角为180°−72°=108°， ∵正五边形的边长为4， ∴S阴影=108⋅π ×4 2 360 =24 5 π， 故答为：24 5 π． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数 并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 【变式4-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提 出了 割圆术 ，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设 “ ” ⊙O的半径为2，若用 ⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 ． 【答】6 ❑ √3 【分析】连接OA、OB，根据正多边形和圆的关系可判断出△OAB为等边三角形，过点O作OM ⊥AB于 点M，再利用勾股定理即可求出OM长，进而可求出△AOB的面积，最后利用⊙O的面积约为6 S△AOB即 可计算出结果． 【详解】解：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60° ∵OA=OB=2 ∴△OAB为等边三角形， ∴AB=2 过点O作OM ⊥AB于点M，则AM=BM=1 在Rt △AOM中，OM= ❑ √2 2−1 2=❑ √3 ∴S△AOB=1 2 ×2×❑ √3=❑ √3 ∴⊙O的面积约为6 S△AOB=6 ❑ √3 故答为：6 ❑ √3． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键． 【变式4-3】．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知正六边形ABCDEF，⊙O是此正六边 形的外接圆，若AB=2，则阴影部分的面积是 ． 【答】2❑ √3+ 4 3 π 【分析】如图，连接OA ,OB ,OF ,OD，OA交BF于G，由正六边形的性质可得出△AOB是等边三角形， △OFB≅△ODB，进而可得阴影部分的面积=三角形OBF的面积×2+扇形OFED的面积，然后根据三角 形的面积和扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接OA ,OB ,OF ,OD，OA交BF于G， ∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆， ∴OA=OB=OF=OD ,∠BOF=∠BOD=∠DOF=120° ,∠AOB=60°，OG⊥BF， ∴△AOB是等边三角形，△OFB≅△ODB， ∴OA=OB=AB=2， ∴阴影部分的面积=三角形OBF的面积×2+扇形OFED的面积， 在直角三角形OBG中，OG=OB⋅cos60°=1,BG=OB⋅sin 60°=❑ √3， ∴阴影部分的面积=1 2 ×1×❑ √3×2×2+ 120 π ×2 2 360 =2❑ √3+ 4 π 3 ； 故答为：2❑ √3+ 4 3 π 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆 的相关知识是解题的关键． 题型05 正多边形与圆中求周长 【例5】（2023·广西钦州·统考一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（ ） ．5 B．6 ．30 D．36 【答】 【分析】连接CD、EF，交于点O，则点O是正六边形ACEBDF的中心，先根据正六边形的性质可得 ∠AOC=60°，OC=OA=1 2 AB=5，再根据等边三角形的判定与性质可得AC=OA=5，由此即可得． 【详解】解：如图，连接CD、EF，交于点O， 则点O是正六边形ACEBDF的中心， ∵六边形ACEBDF是正六边形，AB=10， ∴∠AOC=360° 6 =60°，OC=OA=1 2 AB=5， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC=OA=5， ∴正六边形ACEBDF的周长为5×6=30， 故选：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 【变式5-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为24，则图中阴影部分图形 的周长是 （结果保留π）． 【答】4 3 π+4 【分析】连接OA，OB，根据正六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形得出 AB=BC=CD=DE=EF=AF，求出圆心角∠AOB的度数，再求出弧AB的长度，最后求出答即可． 【详解】解：连接OA、OB， ∵六边形ABCDEF是正六边形，圆内接正六边形的周长为24， ∴AB=BC=CD=DE=EF=AF， ∴正六边形ABCDEF的边长为4， ∴AB=4， ∴∠AOB=1 6 ×360°=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4， ∴阴影部分的周长是60 π×4 180 +4= 4 3 π+4． 故答为：4 3 π+4． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，扇形的面积公式等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题 的关键． 【变式5-2】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距 OG等于3 ❑ √3，则⊙O的周长等于 ． 【答】12π 【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD=60°，OC=OD，根据等腰三角形的性质得 到CG=DG，∠COG=1 2 ∠COD=30°，利用三角函数解直角三角形得到求出半径，再根圆的周长计算 即可解题． 【详解】解：如图，连接OC、OD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD=60°，OC=OD， ∵OG⊥CD， ∴CG=DG，∠COG=1 2 ∠COD=30°， ∵OG=3 ❑ √3， ∴OC= OG cos∠COG =3 ❑ √3÷cos30°=6， ∴⊙O的周长2×6 π=12π． 故答为：12π． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆的周长计算等知识，熟练 掌握正六边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式5-3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，顺次连接AB、 BC、CD、DE、EF、FA的中点A1、B1、C1、D1、E1、F1，则六边形A1B1C1 D1 E1 F1的周长是 ． 【答】12❑ √3 【分析】连接AC，过点B作BM ⊥A1B1于点M，先说明六边形A1B1C1 D1 E1 F1为正六边形，然后根据 等腰三角形的性质，三角函数求出A1B1=2❑ √3，即可得出周长． 【详解】解：连接AC，过点B作BM ⊥A1B1于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴BC=CD=DE=EF=FA=AB=4，∠ABC=180°−360° 6 =120°， ∵A1、B1为AB、BC的中点， ∴A1B1=1 2 AC， 同理可得：B1C1=1 2 BD，C1 D1=1 2 CE，D1 E1=1 2 DF，E1 F1=1 2 AE，F1 A1=1 2 FB， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AC=BD=CE=DF=EA=FB， ∴A1B1=B1C1=C1 D1=D1 E1=E1 F1=F1 A1， ∵A1B=1 2 AB=2，B1B=1 2 BC=2，