专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 高分线模型........................................................................................................................................... 2 模型2 双垂直模型........................................................................................................................................... 4 模型3 子母型双垂直模型（射影模型）.......................................................................................................5 .................................................................................................................................................7 模型1 高分线模型 三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ． 2）条件：如图2，F 为 的角平分线E 的延长线上的一点， 于D，结论： ． 图1 图2 1）证明：∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ； 2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例1．（23-24 八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD， 分别是 的角平分线和高线，且 ， ，则 ． 例2．（23-24 八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在 中， 为 的高， 为 平分 线交 于点E， ．(1)求 的度数；(2) 与 之间有何数量关系？ (3)若将题中的条件“ ”改为“ ”（如图②），其他条件不变，则 与 之间又有何数量关系？请说明理由． 例3．（23-24 八年级上·广东·校考期中）已知：在 中， ， 平分 交 于点 ． (1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数； (2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）； (3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作 于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；(4)在（3）的条件下， 若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？说明理由． 模型2 双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之 间的关系。 条件：如图所示，在△B 中，BD，E 是两条高， 结论：①∠BD=∠E ；②∠=∠BE=∠D；③ 。 证明：∵BD，E 是两条高，∴∠E=∠BE=∠DB=∠DB=90°， ∠ ∴ BD+∠=90°，∠E+∠=90°，∠E+∠D=90°，∴∠BD=∠E，∠D=∠， ∠ ∵ D=∠BE，∴∠=∠BE=∠D。 ∵BD，E 是△B 的两条高，∴ ，∴ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（23-24 八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ， 是它的两条高，直线 交于点F， ． 例3．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若 ， ，则 的值为（ ）． ． B． ． D． 模型3 子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt 中，∠B=90°，D 是 的高线， 结论：①∠B=∠D；②∠=∠BD；③ 。 证明：∵∠B=90°，D 是高线，∴∠B=∠D=∠DB=90°， ∠ ∴ D+∠=90°，∠D+∠BD=90°，∠B+∠BD=90°，∴∠=∠BD，∠B=∠D， ∵∠B=90°，D 是高线，∴ ，∴ 。 例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证： ． 例2．（2024 八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， 为 边 上的高．(1)求斜边 的长；(2)求 的长． 例3．（23-24 八年级·江苏·假期作业）如图①，在 中， ， 是 边上的高． （1）求证： ；（2）如图②， 的角平分线 交 于点 ．求证： ； （3）在（2）的条件下， 的平分线分别与 ， 相交于点 、点 ，如图③，若 ， ， ，求 的长． 1．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如果 ， ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 2．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 3．（23-24 八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在 中， ， ， ，垂 足分别为点D、E，D、E 交于点， ．下列结论：① ；② ；③ ； ④ ．你认为正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 4．（23-24 八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于 点， 交 于E， 交 于F，过点作 于D，下列三个结论：① ；② 当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是（ ） ．①② B．②③ ．①②③ D．①③ 5．（2023 下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角 中， 为钝角， 为 边上的高， 为 的平分线，则 与 、 之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关 系，你发现的是（ ） ． B． ． D． 6．（2023 下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中线 与 相交于 ， 以下结论正确的有（ ） ① ；② ；③ ；④ ； ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 7．（2023 下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在 中， ， ， 分别是高和角平分 线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论中不正确的是（ ） ． B． ． D． 8．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上取 一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长为 ． 9．（2024·重庆·三模）如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，已 知 ， ，则 的面积为 ． 10．（23-24 八年级上·安徽六安·期中）如图，在 中， ，两条高 交于点，连接 ，则 ． 11．（2023 春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是 的高和角平分线，点E 为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ． 12．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，交 于F．(1)如果 ，求 的度数；(2)试说明： ． 13．（23-24 七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 为线段 上的一个 点， 交直线 于点 ．(1)若 ， ，求 的度数．(2)猜想 与 、 的数量关系． 14．（23-24 八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt△B 中，∠B=90°，D⊥B，垂足为D，求证： ∠D=∠B；（2）如图②，在Rt△B 中，∠=90°，D、E 分别在，B 上，且∠DE=∠B，判断△DE 的形状？并说 明理由？（3）如图③，在Rt△B 和Rt△DBE 中，∠=90°，∠E=90°，点，B，E 在同一直线上，若B⊥BD， B=BD，则E 与，DE 有什么等量关系，并证明． 15．（23-24 七年级下·河南周口·阶段练习）已知在 中， 于点D． (1)如图1，若 的平分线交 于点E， ， ，则 的度数为______． (2)如图2，点M、分别在线段 、 上，将 折叠，点B 落在点F 处，点落在点G 处，折痕分别 为 和 ，点G、F 均在直线 上，若 ，试说明 ． 16．（22-23 八年级上·广西桂林·期中）如图， 中， ， ， 平分 ， 于D， ，交 于F，求：(1) 的度数；(2)当 平分 时， ，若 ， ， ，请用含m，，的代数式表示 的长． 17．（2024·河北邢台·八年级校考期中）在 中， ，D，E 分别是边 和 延长线上 的点，连接 ， ， ．(1)如图1，若 ， ，求 的度数；(2)如 图2，已知 ．①判断 是否平分 ，并说明理由；②F 为射线 上一点（不与点D 重合），过点F 作 ，垂足为G．若 ， ，直接用含 ， 的式子表示出 的 度数． 18．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、 上， 、 相交于点 ． (1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两 个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示） 19．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角， 那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分 割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”， 我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”； (2)如图2，在 中， 为 的平分线， ， ．求证： 为 的“等角分割 线”； (3)在 中，若 ， 是 的“等角分割线”，请求出所有可能的 的度数． 20．（2023 下·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线 段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在 中， ， ，作 的平分线 交 于点 ． ①操作一：在下图中，用三角尺作 边上的高 ，垂足为点 ，求 的度数； ②操作二：如图1，在 上任取点 ，作 ，垂足为点 ，直接写出 的度数； (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在 上任取点 ”改为“在 的延长线上任取点 ”其 他条件不变，判断 的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4 在 中， ， ， 是 的平分线，在直线 上任取 点 ，过点 作 与直线 交于点 ，请直接写出 与 ， 之间的数量关系．