专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................1 模型1“8”字模型..............................................................................................................................................1 模型2“”字模型................................................................................................................................................4 模型3 三角板拼接模型................................................................................................................................... 5 .................................................................................................................................................8 模型1“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8 字模型（基础型） 条件：如图1，D、B 相交于点，连接B、D； 结论：① ；② 。 证明：在∆B 中，∠+∠B+∠B=180°；在∆D 中，∠+∠D+∠D=180°； ∠ ∵ B=∠D ∠ ∴ +∠B=∠+∠D；在∆B 中，B＜+B；在∆D 中，D＜+D； ∴B+D＜+B++D=D+B；∴ 。 2）8 字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段P 平分∠BD，线段P 平分∠BD； 结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段P 平分∠BD，线段P 平分∠BD ∠ ∴ BP=∠PD, ∠BP=∠PD ∠ ∵ BP+∠P=∠BP+∠B ① ∠PD+∠P=∠PD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，B 和D 相交于点，∠＝∠，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ） ．∠B＝∠D B．∠1＝∠＋∠D ．∠2＞∠D D．∠＝∠D 例2．（2023 春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求 的度数． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点，连接 ，则我们 把形如这样的图形称为“8 字型”．(1)求证： ；(2)如图2，若 和 的平分 线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．①若 ，求 的度数； ②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量 关系． 例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由； (2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证： ； (3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ． 例5．（2023 春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，则 ， ， ， 四个角的数量关系是______； (2)如图2，若 ， 的角平分线 ， 交于点 ，则 与 ， 的数量关系为 ___ ___； (3)如图3， ， 分别平分 ， ，当 时，试求 的度数（提醒：解 决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果 ， ，当 时，则 的度数为______． 模型2“”字模型 如图，B、分别是∠DE 两边上的点，连结B，形状类似于英文字母，故我们把它称为“”字模型。 条件：如图，在∆B 中，∠1、∠2 分别为∠3、∠4 的外角； 结论：①∠1+∠2=∠+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠+∠B ∠ ∴ 1=∠+180°-∠2 ∠ ∴ 1+∠2=∠+180°。 ②在∆B 中，∠+∠3+∠4=180°；在∆DE 中，∠+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ） ． B． ． D． 例2．（23-24 七年级下·福建泉州·期末）如图，在 中， ，若剪去 得到四边形 ，则 ． 例3．（23-24 七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合） (1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出 的度数(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明理 由； (3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分 和 ，直接写出 与 ， 的关系 模型3 三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、 60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023 春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 ． 例2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点落在 边上， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板 、 ，其中 ， ， ．如图，将三角板 的顶点E 放在 上，移动三角板 ，当点E 从点沿 向 点B 移动的过程中，点E、、D 始终保持在一条直线上．下列结论：①当 时， ；② 逐渐变小；③若直线 与直线 交于点M，则 为定值；④若 的一边与 的某一边平行，则符合条件的点E 的位置有3 个．正确的有 ．（填序号） 例4．（23-24 七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线 上，两个直角顶点重合在一 起，交直线 于点，其中 ， ． (1)如图2，将图1 中的三角板 绕点按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与 的数量关系 是___________；(2)将图1 中的三角板 绕点按逆时针方向旋转至图3 所示的位置，此时 在 的内部， 与 相交于点P，当 时，求 的度数；(3)将图1 中的三角板 绕点按逆 时针方向旋转，当 时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 的度数是（ ）． ． B． ． D． 2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中 ， ， 则 等于（ ） ． B． ． D． 3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一 个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ） ．540° B．500° ．460° D．420° 5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠+∠B+∠+∠D+∠E 的结果为（ ） ．90° B．360° ．180° D．无法确定 6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则 ． 7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ， ． 8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠 放在一起，当 ，且点E 在直线 的上方时，他发现若 ，则三角板 有一条 边与斜边 平行． 9．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若 ，则 ． 10．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳： （1）如图1，已知△B 为直角三角形，∠=90°，若沿图中虚线剪去∠，则∠1+∠2= °． （2）如图2，已知△B 中，∠=40°，剪去∠后成四边形，则∠1+∠2= °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2 与∠的关系是 ． 11．（2024·重庆·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，连 接 ，将 沿 翻折，使 点落在 边上的 点处，则 的度数为 度． 12．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，B、D 相交于点，∠＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE 平分∠BD 交D 于F，E 平分∠D 交B 于G，求∠BE 的度数； (2) 若直线BM 平分∠BD 交D 于F，M 平分∠D 交直线BF 于M，求∠BM 的度数． 13．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板 放置在 上（ 点在 内），三角板 的两条直角边 、 恰好分别经过点 和点 ．探究 与 是 否存在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若 ，则 _____度， __ ___度， _____度；(2)类比探索：请探究 与 的关系；(3)类比延伸：如图 ②，改变直角三角板 的位置，使 点在 外，三角板 的两条直角边 、 仍然分别经过 点 和点 ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 14．（2023 春·河南洛阳·七年级统考期末）如图， 与 的角平分线交于点 ． (1)若 ， ，求 的度数；(2)直接写出 ， ， 的数量关系；(3)若 与 的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子． 15．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其 中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方 向旋转，记旋转角 ． (1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ． (2)当 时，连接 ，利用图探究 值的大小变化情况，并说明理由． 16．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（ ， ）放置在 上（点 在 内），如图①所示，三角尺的两边 、 恰好经过点 和点 ，我们来研究 与 是否 存在某种数量关系．(1)特例探究：若 ，则 ________度， _______ _度． (2)类比探究： 、 、 的关系是 ___________________． (3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点 在 外，三角尺的两边 、 仍恰好经过 点 和点 ，探究 、 、 的关系(只要求直接写出结论)：____________________． 17．（2023 春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角 形”．例如，在图中， △B 的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与 为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质： ． (1)如图1，在“对顶三角形” 与 中，若 ，则 ； (2)如图2，在 中， 、 分别平分 和 ，若 ， 比 大 ，求 的度数．(3)如图3， 、 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相交于 点 ，设 ，直接写出 的度数（用含 的式子表示 ）． 18．（23-24 七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同 学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一 个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ ①尝试探究：如图1， 与 分别为 的两个外角，试探究 与 之间存在怎样的数量关系？ 为什么？ 解：数量关系： ． 理由：∵ 与 分别为 的两个外角， ∴ ．∴ ． ∵三角形的内角和为 ，∴ ． ∴ ． 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题． ②初步应用：（1）如图2，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则 ； （2）如图3，在 中， 分别平分外角 ，则 与 有何数量关系？ ； （直接填答）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形 中， 分别平分外角 ， 则 与 有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。 19．（2022 春·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传 统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△B 中，∠＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1 －∠2）与∠的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE 截去∠，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE 将∠翻折，使点落在B 上的点’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点落在点’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠的度数 (4)如图④，△B 纸片沿DE 折叠，使点落在点’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠的度数． 20．（2023 春·江苏·七年级专题练习）【问题背景】 （1）如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠+∠B=∠+∠D； 【简单应用】（2）如图2， P、P 分别平分∠BD． ∠BD，若∠B=46°，∠D=26°，求∠P 的度数； 【问题探究】（3）如图3，直线P 平分∠BD 的外角∠FD，P 平分∠BD 的外角∠BE，若∠B=36°，∠D=16°， 请猜想∠P 的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4） ①在图4 中，若设∠=α，∠B=β，∠P= ∠B，∠DP= ∠DB，试问∠P 与∠、∠B 之间的 数量关系为： （用α、β 表示∠P）； ②在图5 中，P 平分∠BD，P 平分∠BD 的外角∠BE， 猜想∠P 与∠B、 ∠D 的关系，直接写出结论．