专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握 的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模 型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型， 这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 .................................................................................................................................................2 模型1 猪蹄模型（M 型与锯齿型）...............................................................................................................2 模型2 铅笔头模型........................................................................................................................................... 3 模型3 牛角模型............................................................................................................................................... 4 模型4 羊角模型............................................................................................................................................... 4 模型5 蛇形模型（“5”字模型）...................................................................................................................5 .................................................................................................................................................6 模型1 猪蹄模型（M 型与锯齿型） 先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M 模型或锯齿模型的，都是根 据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。 ①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。 图1 图2 图3 条件：如图1，①已知：M∥B，结论：∠PB=∠+∠B；②条件：∠PB=∠+∠B，结论：M∥B 证明：如图1，过点P 作PQ∥M， ∵PQ∥M，M∥B，∴PQ∥M∥B，∴∠＝∠PQ，∠B＝∠BPQ， ∠ ∴ +∠B＝∠PQ+∠BPQ＝∠PB，即：∠PB＝∠+∠B． 条件：如图2，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3=∠+∠B+∠P2 证明：根据图1 中结论可得，∠+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 条件：如图3，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3++∠P2+1=∠+∠B+∠P2++∠P2 证明：由图2 的规律得，∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束 与 平行射入接收天 线，经反射聚集到焦点 处，若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2024 九年级下·辽宁·学业考试）如图， ， ，则 的度 数为 ． 例3．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，若 ，则 为（ ） ．23° B．33° ．44° D．46° 例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们 青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑 雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直 略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角 时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ） ． B． ． D． 例5．（23-24 七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识 后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线 ，直线 是直线 ， 的第三条截线， ， 分别是 ， 的平分线，并且相交于点K． 问题解决：（1） ， 的平分线 ， 所夹的 的度数为______； 问题探究：（2）如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系， 并说明理由； 拓展延伸：（3）在图3 中作 ， 的平分线相交于点K，作 ， 的平分线相交于 点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，求出 的度数． 例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线B∥D。（1）如图（1），点G 为B、D 间的一点，联结 G、G．若∠=140°，∠=150°，则∠G 的度数是多少？ （2）如图（2），点G 为B、D 间的一点，联结G、G．∠=x°，∠=y°，则∠G 的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BE、∠EF、∠EFG、∠FG、∠GD 之间有何关系？直接写出结论． 模型2 铅笔头模型（子弹模型） 因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才 是关键。 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 图1 图2 图3 条件：如图1，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。 证明：在图2 中，过P 作M 的平行线PF，∵B∥D，∴PF∥D， ∠ ∴ 1+∠PF＝180°，∠3+∠PF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 条件：如图2，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 证明：在图2 中，过P1作M 的平行线P1E，过点P2作M 的平行线P2F， ∵B∥D，∴P1E∥B∥P2F，∴∠1+∠P1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°， ∠ ∴ 1+∠2+∠3+∠4＝540°； 条件：如图3，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+…+∠=（－1）180° 证明：在图3 中，过各角的顶点依次作B 的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜的折射后，折射光线 和折射光线 交主光轴于点P，若 ， ，则 °． 例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线 ，点E，F 分别是直线 上的两点， 点P 在直线 和 之间，连接 和 的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形 为一张长方形纸片．如图② 所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则 （度）； （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ）， 则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 （度）． 例5．（2023 下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律， 探索问题的解． (1)如图1， ，点E 为 、 之间的一点．求证： ． (2)如图2， ，点E、F、G、为 、 之间的四点．则 ______． (3)如图3， ，则 ______． 模型3 牛角模型 因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。 图1 图2 条件：如图1，已知：B∥D，且∠E＝ ，∠BE＝ ，∠DE＝ ，结论： 证明：如图，延长B 交DE 于点F，∵B∥D，∴∠BFE＝∠DF＝ ， ∠ ∵ BE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠BE＝∠DF+∠E，∴ ； 条件：如图2，已知：B∥D，且∠E＝ ，∠BE＝ ，∠DE＝ ，结论： 证明：如图，延长B 交DE 于点F， ∵B∥D，∴∠BFD＝∠DF＝ ，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°- ， ∠ ∵ BE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠BE＝∠E+180°-∠BFD，∴ ； 例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1 是某同 学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2 的数学问题：在平面内，已知 ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ） ． B． ． D． 例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知B∥D，P 为直线B，D 外一点，BF 平分∠BP，DE 平分 ∠DP，BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝，试用表示∠P 为______． 例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内 的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数： (2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由： (3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值． 例5．（2023 下·辽宁大连·七年级统考期末）如图， ． (1)如图，求证 ；(2)如图 ，点 在 上， 平分 ，交 于点 ， 探究 的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图 交 延长线于点 ，求 的度数． 模型4 羊角模型 因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。 图1 图2 条件：如图1，已知：B∥DE，且∠＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： 证明：∵B∥DE，∴∠F＝∠D＝ ， ∠ ∵ F＝∠B+∠（外角定理），∴∠D＝∠B+∠，∴ ； 条件：如图2，已知：B∥DE，且∠＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： 证明：∵B∥D，∴∠BFD+∠D＝180° ∠ ∴ BFD＝180°-∠D＝180°- ， ∠ ∵ BFD＝∠B+∠（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠，∴ ； 例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知 ，如果 ， ，那么 的度数 为 ． 例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶点 分别在 上，当 时， ． 例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为 （ ） ． B． ． D． 例4．（23-24 七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的角平分线 交 的角平分线的 反向延长线于点P，直线 交 于点，若 ，则 ° 例5．（2023 七年级下·江苏·专题练习）已知 ． (1)如图1，求证： ； (2)若F 为直线 、 之间的一点， ， 平分 交 于点G， 交 于点． ①如图2，若 ，且 ，求 的度数；②如图3，若点K 在射线 上，且满足 ，若 ， ，直接写出 的度数． 模型5 蛇形模型（“5”字模型） 因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。 图1 图2 条件：如图1，已知：B∥DE，∠＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： 证明：在图2 中，过作B 的平行线F，∴∠BF＝∠B， ∵B∥DE，∴F∥DE，∴∠FD+∠D＝180°，∴∠BF+∠FD+∠D＝∠B+180°， ∠ ∴ BD+∠D＝∠B+180°，∴ 条件：如图2，已知：B∥DE，∠＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： 证明：在图2 中，过作B 的平行线F，∴∠B+∠BF＝180°， ∵B∥DE，∴F∥DE，∴∠FD＝∠D，∴∠B+∠BF+∠FD＝∠D+180°， ∠ ∴ BD+∠D＝∠B+180°，∴ 例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、、D 三点，拐弯后与原来方向相同， 如图，若 ，则 等于（ ） ．50° B．40° ．30° D．20° 例2．（23-24 七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 交于点F， ，则 ． 例3．（23-24 七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点 ， ， 不在同一条直线上， ． (1)求证 ；(2)如图2， ， 分别为三等分 、 所在直线， ， ，试探究 与 的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下， 且有 ，直线 、 交于点 ， ，请直接写出 _________． 例4．（23-24 七年级下·广东广州·期末）如图， ， ． (1) 如果 ，求 的度数； 设 ， ，直接写出 、 之间的数量 关系： ；(2)如图 ， 、 的角平分线交于点 ，当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的度数； (3)在（2）的条件下，若 ，点 为射线 上的一个动点，过点 作 交直线 于点 ，连接 ．已知 ，求 的度数． 1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若 ， ， ，则 的度数是 （） ．115° B．130° ．140° D．150° 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行 若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ．若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京 景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的 历史至少在 年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若 ， ， ， ，那么 的度数 为（ ） ． B． ． D． 6．（24-25 九年级上·湖北·课后作业）①如图①， ，则 ； ②如图②， ，则 ；③如图③， ，则 ； ④如图④，直线 ，点 在直线 上，则 ．以上结论正确的是（ ） ．①②③④ B．③④ ．①②④ D．②③④ 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴车的几何示意图，若 ， ， ， 则 的度数是 °． 8．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的 角平分线 交于点 ， ，则 ． 9．（23-24 七年级下·江苏无锡·期中）如图， ， 为 上方一点， 、 分别为 、 上的 点， 、 的角平分线交于点 ， 的角平分线与 的延长线交于点 ，若 ， ，则 的度数等于 ． 10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线 、 平行，则 ． 11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， B D． （1）分别说出图1、图2、图3、图4 中，∠1 与∠2、∠3 三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题：（3）如图5 所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出两束光线B、经灯碗反射后 平行射出．如果∠B=57°，∠D=44°，那么∠B=_______°． 12．（2023 春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点、、B 不在同一条直线， (1)求证： ：(2)如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究 与 的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点P， ，直接写出 ． 13．（24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知： ，点 在 上，点 、 在 上，点 在 、 之间，连接 、 、 ， ， ，垂足为点 ． (1)如图1，求 的度数；(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 、 交于点 ，求 的度数；(3)如图3，在（2）的条件下， 平分 交 于点 ，若 ， 与 所在直线交于点 ，若射线 从射线 的位置开始绕着点 逆时针以每秒 的速度进行旋转， 射线 交直线 于点 ，旋转时间为秒，当为何值时， 第一次与 平行？并求此时 的度 数． 14．（24-25 八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知 ， ， ，则 求 的度数；（2）如图2，在（1）的条件下， 平分 ， 平分 ，则 的度 数． （3）如图2，已知 ， 平分 ， 平分 ，．当点P、M 在直线同侧时，直接写出 与 的数量关系： ； （4）如图3，已知 ， 平分 ， 平分 ．当点P、M 在直线 异侧时，直接写 出 与 的数量关系： ． 15．（23-24 七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线 ，点 为平面上一点，连接 与 ． (1)如图1，点 在直线 之间，当 ， 时，求 的度数． (2)如图2，点 在直线 之间， 与 的角平分线相交于点 ，写出 与 之间 的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ，请直 接写出 与 的数量关系． 16．（23-24 七年级下·湖北武汉·期中） ，点E、F 分别在 、 上；点在直线 、 之间，