专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 高分线模型........................................................................................................................................... 2 模型2 双垂直模型........................................................................................................................................... 6 模型3 子母型双垂直模型（射影模型）.......................................................................................................8 ............................................................................................................................................... 11 模型1 高分线模型 三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ． 2）条件：如图2，F 为 的角平分线E 的延长线上的一点， 于D，结论： ． 图1 图2 1）证明：∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ； 2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例1．（23-24 八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD， 分别是 的角平分线和高线，且 ， ，则 ． 【答】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各 角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于 求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后根据 代入数据进行计算即 可得解． 【详解】解： ， ， ， 是 的角平分线， ， 是 的高线， ， ．故答为： ． 例2．（23-24 八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在 中， 为 的高， 为 平分 线交 于点E， ． (1)求 的度数；(2) 与 之间有何数量关系？ (3)若将题中的条件“ ”改为“ ”（如图②），其他条件不变，则 与 之间又有何数量关系？请说明理由． 【答】(1) (2) (3) ，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形中角与角之间的关系，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外 角的性质的应用．（1）首先根据三角形的内角和定理求得 ，再根据角平分线的定义求得 ， 再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得 ，最后根据直角三角形的两个锐角互余 即可求解，（2）根据（1）即可得出 与 、 之间的关系， （3）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ， ，∴ 又∵ 为 的平分线，∴ ∵ 为 的高，∴ ， ，∴ ； （2）解：由图知 ； （3）解： 理由如下：由三角形内角和知 ， ∵ 为 的平分线，∴ ∵ 为 的高，∴ 又∵ ，∴ ∴ ． 例3．（23-24 八年级上·广东·校考期中）已知：在 中， ， 平分 交 于点 ． (1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数； (2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）； (3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作 于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数； (4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？ 说明理由． 【答】(1) (2) (3) (4) 的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得 ，再结合角平分线的定义可知 ，然后由“直角三角形两锐角互余”可得 ， 进而可得 ，即可获得答；（2）结合（1）可得结论； （3）结合 ，易得 ，再证明 ，由“两直线平行，同位角相等” 可得 ，即可获得答； （4）证明 ，由“两直线平行，内错角相等”可得 ，即可获得答． 【详解】（1）解：∵在 中， ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， 当 时， ； （2）由（1）可知， ，∴当 时，∴ ； （3）∵ ，而 ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ； （4） 的度数大小不发生改变．理由如下： ∵ ， ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、 垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 模型2 双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之 间的关系。 条件：如图所示，在△B 中，BD，E 是两条高， 结论：①∠BD=∠E ；②∠=∠BE=∠D；③ 。 证明：∵BD，E 是两条高，∴∠E=∠BE=∠DB=∠DB=90°， ∠ ∴ BD+∠=90°，∠E+∠=90°，∠E+∠D=90°，∴∠BD=∠E，∠D=∠， ∠ ∵ D=∠BE，∴∠=∠BE=∠D。 ∵BD，E 是△B 的两条高，∴ ，∴ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得 的度数，再根据三角形的外角即可得． 【详解】解：∵ 是 边上的高，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ 是 边上的高，∴ ，∴ ，故选：． 【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 例2．（23-24 八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ， 是它的两条高，直线 交于点F， ． 【答】 或 【分析】分两种情况：当 为锐角三角形时，当 为钝角三角形时，用三角形内角和求解即可． 【详解】解：当 为锐角三角形时，如图， ∵ ， 是它的两条高，∴ ； 当 为钝角三角形时，如图，∵ ， 是它的高，∴ ， ∵ 是 的高，∴ ，综上所述： 或 ，故答为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360 度及分类讨论是 解题的关键． 例3．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若 ， ，则 的值为（ ）． ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可． 【详解】∵ ，∴ ，∴ ．故选B． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出 是解题关 键． 模型3 子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt 中，∠B=90°，D 是 的高线， 结论：①∠B=∠D；②∠=∠BD；③ 。 证明：∵∠B=90°，D 是高线，∴∠B=∠D=∠DB=90°， ∠ ∴ D+∠=90°，∠D+∠BD=90°，∠B+∠BD=90°，∴∠=∠BD，∠B=∠D， ∵∠B=90°，D 是高线，∴ ，∴ 。 例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证： ． 【答】见解析 【分析】根据 可得 ，再根据 ，即可求证． 【详解】证：∵ ， ∴ 又∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ 【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质． 例2．（2024 八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， 为 边 上的高．(1)求斜边 的长；(2)求 的长． 【答】(1)10(2)48 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键． （1）由勾股定理可求解；（2）由面积法可求解． 【详解】（1）在 中， ，∴ ； （2）∵ ，∴ ，∴ ． 例3．（23-24 八年级·江苏·假期作业）如图①，在 中， ， 是 边上的高． （1）求证： ；（2）如图②， 的角平分线 交 于点 ．求证： ； （3）在（2）的条件下， 的平分线分别与 ， 相交于点 、点 ，如图③，若 ， ， ，求 的长． 【答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）D=96． 【分析】（1）据三角形高的定义及直角三角形两锐角互余的关系即可得结论；（2）根据角平分线的定义 及直角三角形两锐角互余的关系可得∠FE=∠ED，根据对顶角相等的性质即可得结论；（3）根据等腰三角 形“三线合一”的性质可得⊥EF，根据勾股定理可求出G 的长，进而可得G 的长，利用面积法即可得答． 【详解】（1）∵ ，∴ ， 是 边上的高，∴ ，∴ ． ∴ ，∴ ． （2）∵F 是 的角平分线，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ． （3）由（2）可知：∠FE=∠EF，∴F=E， ∵G 平分∠BD，G 分别与 ， 相交于点 、点 ，∴⊥EF， ∵=8，G=10，∴G= =6， ∵=6，∴G=+G=12，∴S△G= G·= G·D，即12×8=10D，解得：D=96． 【点睛】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，直角三角形两锐 角互余；等腰三角形底边的中线、底边上的高及顶角的角平分线“三线合一”；直角三角形的两条直角边 的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质和定理是解题关键． 1．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如果 ， ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 【答】D 【分析】先根据勾股定理求出B，再利用三角形面积求出BD 即可． 【详解】解：∵ ， ， ，∴根据勾股定理 ， ∵ ，∴S△B= ，即 ，解得： ．故选择D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理， 三角形面积等积式是解题关键． 2．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最后利用三角形内 角和定理建立方程解决问题． 【详解】解：∵ 中， ，∴设 ，那么 ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ．故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角 形内角和定理． 3．（23-24 八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在 中， ， ， ，垂 足分别为点D、E，D、E 交于点， ．下列结论：① ；② ；③ ； ④ ．你认为正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角． ①根据 ，若 ，则 ，而 ，很明显不成立；②③可以通过证明 得到；④延长 交 于点L，则 ，所以 ． 【详解】解：假设 成立，∵ ，∴ ， ∵ ，矛盾，∴ 不成立，故①错误． ∵ ， ，∴ ， 在 和 中， ∴ ∴ 故②正确． ∵ ，∴ 故③正确．延长 交 于点L， ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，故④正确．故选：B． 4．（23-24 八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于 点， 交 于E， 交 于F，过点作 于D，下列三个结论：① ；② 当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是（ ） ．①② B．②③ ．①②③ D．①③ 【答】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线 证得 ，得到 ，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内 角和的可求解 与 的关系，进而判断①；在 上取一点，使 ，证得 ，得 到 ，再证得 ，得到 ，进而判断②正确；作 于， 于M，根据三角形的面积可证得③错误． 【详解】解：∵ 和 的平分线相交于点，∴ ， ， ∴ ，故①正确． ∵ ，∴ ， ∵ ， 分别是 和 的平分线，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，如图，在 上取一点，使 ， ∵ 是 的角平分线，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ，故②正确． 作 于， 于M， ∵ 和 的平分线 ， 相交于点，∴点在 的平分线上，∴ ， ∵ ，∴ ． 故③错误．故选：． 5．（2023 下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角 中， 为钝角， 为 边上的高， 为 的平分线，则 与 、 之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关 系，你发现的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论． 【详解】解：由三角形内角和知∠B=180°-∠2-∠1， ∵E 为∠B 的平分线，∴∠BE= ∠B= （180°-∠2-∠1）． ∵D 为B 边上的高，∴∠D=90°=∠DB+∠BD． 又∵∠BD=180°-∠2，∴∠DB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°， ∠ ∴ ED=∠DB+∠BE=∠2-90°+ （180°-∠2-∠1）= （∠2-∠1）．故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义， 解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系． 6．（2023 下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中线 与 相交于 ， 以下结论正确的有（ ） ① ；② ；③ ；④ ； ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】解：由高的定义，得 ，①正确；由中线得 ，两三角形 等底同高，于是 ,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得 ，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E 作 ， 垂足为，，根据角平分线性质，得 ，可证得 ．④ 正确． 【详解】解：∵ 是高，∴ ．∴ ，①正确； ∵ 是中线，∴ ．令 中 边上的高为，∴ ,②正确； ∵ ∴ ∵ 是角平分线，∴ ． ∴ ，③正确； 如图，过点E 作 ，垂足为，，∵ 是角平分线，∴ ． ．④正确．故选：D． 【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性 质；熟练掌握相关定义是解题的关键． 7．（2023 下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在 中， ， ， 分别是高和角平分 线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论中不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据垂直的定义可得 ，然后根据同角的余角相等即可判定；根据角平分 线的定义可得 ，由三角形外角的性质可得 ，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形 外角的性质可得 ,再结合 可判定；先说明 ， 然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故正确； ∵ 、 分别是高和角平分线，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ；故B 正确；∵ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 由得： ，∴ ，故错误； ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故D 正确．故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角 形内角和定理是解题的关键． 8．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上取 一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长为 ． 【答】6 【分析】过点G 作 交 于点M，过点M 作 ，根据等腰三角形各角之间的关系得出 ，再由垂直及等量代换得出 ，利用等角对等边确定 ， ，再由全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：过点G 作 交 于点M，过点M 作 ，如图所示： ∵ ， ， ，∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ， 在 与 中， ，∴ ∴ ，∴ ，故答为：6． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟 练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键． 9．（2024·重庆·三模）如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，已 知 ， ，则 的面积为 ． 【答】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据 证明 ，得到 ，再根 据 的面积 解答即可求解，证明 是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ，