专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、 风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................1 模型1 飞镖模型（燕尾）模型.......................................................................................................................1 模型2 风筝（鹰爪）模型............................................................................................................................... 5 模型3 角内（外）翻模型............................................................................................................................... 7 .................................................................................................................................................9 模型1 飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖 （回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形BD； 结论：① ；② 。 证明：连接并延长至点P；在△B 中，∠BP=∠B+∠B；在△D 中，∠DP=∠D+∠D； 又∵∠BD=∠B+∠D，∠BD=∠BP+∠DP；∴∠BD+∠B+∠D=∠BD。 延长B 交D 于点P；在△BQ 中， ；在△DQ 中， 。 即： ，故 。 拓展模型1：条件：如图2，B 平分∠B，D 平分∠D； 结论：∠= （∠+∠）。 证明：∵B 平分∠B，D 平分∠D；∴∠B= ∠B；∠D= ∠D； 根据飞镖模型：∠BD=∠B+∠D+∠= ∠B+ ∠D+∠；∠BD=∠B+∠D+∠； ∴2∠BD=∠B+∠D+2∠=∠BD+∠；即∠= （∠+∠）。 拓展模型2：条件：如图3，平分∠DB，平分∠BD； 结论：∠= （∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型： = + + ，∴∠DB-∠DB=∠D+∠B， ∵平分∠DB，平分∠BD，∴∠D= ∠DB，∠D= ∠DB， ∠ ∴ D-∠D= （∠DB-∠DB）= （∠D+∠B）， ∠ ∵ DE=∠E，∴∠D+∠D=∠+∠D，∴∠D-∠=∠D-∠D， ∠ ∴ D-∠= （∠D+∠B）,即∠= （∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹 四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是 一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠DB=∠+∠B+∠）理由如下： 方法一：如图2，连结B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠=180°， 又：在△BD 中，∠1+∠2+∠DB=180°， ∠ ∴ DB=∠3+∠4+∠，即∠DB=∠D+∠BD+∠． 方法二：如图3，连结D 并延长至F， ∠ ∵ 1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如 果 ， ，那么 的度数是（ ）． ． B． ． D． 例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，则 ；②如图3， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ， ，求 的度数； 拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020 等分线（ ），它们的 交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度． 例4（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形B 中， ，为三角形内任意一点，连结P，并 延长交B 于点D 求证：（1） ；（2） 模型2 风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠+∠=∠1+∠2； 证明：∵∠1 是三角形B 的外角，∴∠1=∠B+∠B； 同理，∠2=∠+∠； ∠ ∴ 1+∠2=∠B+∠B+∠+∠=∠B+∠+∠B+∠=∠B+∠B=∠+∠。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠+∠=∠2-∠1。 证明：∵∠1 是三角形B 的外角，∴∠1=∠B+∠B； 同理，∠2=∠D+∠D； ∠ ∴ 2-∠1=∠D+∠D-（∠B+∠B）=（∠D-∠B)+（∠D-∠B） =∠BD+∠BD=∠+∠。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形BD 中， 、 、 分别为 、 、 的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知 ，在 的两边上分别取点B、， 在 的内部取一点，连接 、 ．设 ， ，探索 与 、 、 之间 的数量关系． 【初步感知】如图1，当点在 的边 上时， ，此时 ，则 与 、 、 之间的数量关系是 ． 【问题再探】（1）如图2，当点在 的内部时，请写出 与 、 、 之间的数量关系并说 明理由；（2）如图3，当点在 的外部时， 与 、 、 之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4， 、 的外角平分线相交于点P． ①若 ， ，则 ________°；②若 且 ，则 ________°； ③直接写出 与 、 之间的数量关系； （2）如图5， 的平分线与 的外角平分线相交于点Q，则 ________（用 、 表示）． 例3．（23-24 七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上 的点，点 是平面内一动点．令 ， ， ． (1)若点 在线段 上，如图1 所示， ，求 的值； (2)若点 在边 上运动，如图2 所示，则 、 、 之间的关系________； (3)若点 运动到边 的延长线上，如图3 所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点 运动到 外，如图4 所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由． 模型3 角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 内部时， 结论：2∠=∠1+∠2； 证明：∵∠1 是三角形’E 的外角，∴∠1=∠E’+∠E’； 同理，∠2=∠F’+∠F’； ∠ ∴ 1+∠2=∠E’+∠E’+∠F’+∠F’=∠E’+∠F’+∠E’+∠F’=∠E’F+∠FE=2∠。 条件：如图4，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 外部时， 结论：2∠=∠2-∠1。 证明：∵∠1 是三角形’E 的外角，∴∠1=∠E’+∠E’； 同理，∠2=∠F’+∠F’； ∠ ∴ 2-∠1=∠F’+∠F’-（∠E’+∠E’）=（F’-∠E’)+（∠F’--∠E’） =∠E’F+∠FE=2∠。 例1．（23-24 八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张 的纸片，点 ， 分别在边AB， 上，将 沿着DE折叠压平， 与 重合，若 ，则 ． 例2．（23-24 八年级下·山东德州·开学考试）如图，把 纸片沿 折叠，当点 落在四边形 的外面时，此时测得 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置．则 之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点 落在四边形 内点 的位置”变为“点 落在四边形 外点 的位置”，则此时 之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3 的形状，若 ， ，求 的度数； （4）在图3 中作出 的平分线 ，试判断射线 的位置关系，当点 在 边 上向点 移动时（不与点 重合）， 的大小随之改变（其它条件不变），上述 ， 的位置关系改变吗？为什么？ 1．（2024 山东七年级期中）如图，把△B 纸片沿DE 折叠，当落在四边形BDE 内时，则∠与∠1+∠2 之间 有始终不变的关系是（ ） ．∠=∠1+∠2 B．2∠=∠1+∠2 ．3=∠1+∠2 D．3∠=2（∠1+∠2） 2．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线交于点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数 是（ ） ． B． ． D． 3．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4 满足的关系式是（ ） ．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 ．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 4．（2023 春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形 中，若去掉一个 的角后得到一个六边 形 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 外点 的 位置，点 落在四边形 内点 的位置，若 ， ，则 等于（ ） ． B． ． D． 6．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△B 中，将边B 沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠的度数是 度． 7．（2023 春·山东潍坊·七年级统考期末）在 中， ， ，将 、 按照如图所示 折叠，若 ，则 ° 8．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形BD（点在直线BD 的上方），且 ∠=70°，∠BD=120°，若使∠B、∠D 平分线的夹角∠E 的度数为100°，可保持∠不变，将∠BD （填“增 大”或“减小”） °． 9．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图， 是 的平分线， 是 的平分线， 与 交于 ，若 ， ，则 ． 10．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q 为三角形B 内两点，B，P，Q，构成凸四边形． 求证： ． Q P C B A BE ABD  CF ACD  BE CF G 140 BDC    110 BGC    A  11．（2023 春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规 形”， (1)如图①，在规形 中，若 ， ， ，则 ______°； (2)如图②，将 沿 ， 翻折，使其顶点，B 均落在点处，若 ，则 ____ __°； (3)如图③，在规形 中， 、 的角平分线 、 交于点E，且 ，试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 12．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四 边形（如图1）． （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ① ② ③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形 性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形BD 中，B=D=6，B=D=4， ∠BD=120°，求燕尾四边形BD 的面积（直接写出结果）． 13．（2023 春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规 形”， (1)如图①，在规形 中，若 ， ， ，则 ______°； (2)如图②，将 沿 ， 翻折，使其顶点，B 均落在点处，若 ，则 ____ __°； (3)如图③，在规形 中， 、 的角平分线 、 交于点E，且 ，试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图，连接B，B，我们把四边形BD 叫做“飞镖 模型”． （1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图，E 与BF 交于点 D，若 ，求 的度数． 15．（2023 春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”． 在三角形纸片中，点D，E 分别在边 上，将 沿 折叠，点落在点 的位置． (1)如图1，当点落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系是 ；(2)如图2，当点落在 内部时，且 ， ，求 的度数；(3)如图3，当点落 在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y 之间的数量关系． 16．（2024·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把 纸片沿 折叠，使点落在四边形 内部点 的位置，通过计算我们知道： 请你继续探索： (1)如果把 纸片沿 折叠，使点落在四边形 的外部点 的位置，如图②，此时 与 之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形 沿时折叠，使点、D 落在四边形BFE 的内部 、 的位置，如图③，你能求出 、 、 与 之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于 且小于 的角称为优角， 如果两个角相加等于 ，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若 、 互为组角，且 ，则 ________ ； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于 的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形 中，优角 与钝角 互为组角，试探索内角 、 、 与钝 角 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②， ________；（用含 的代数式表示） （4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、 180 360 360 1  2  1 135   2   180 ABCD BCD  BCD  A  B  D  BCD  A B C D E F       ABCD AD BC Q AB DC P APD  AQB  的平分线交于点 ， ；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明： ； （5）如图④， 、 分别为 ， 的2019 等分线（ ）．它们的交点从 上到下依次为 ， ， ，…， ．已知 ， ，则 _______ ．（用含 、 的代数式表示） 18．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D 是△B 所在平面内一点，连接D、D． （1）如图1，若∠＝28°，∠B＝72°，∠＝11°，求∠D；（2）如图2，若存在一点P，使得PB 平分∠B，同时 PD 平分∠D，探究∠，∠P，∠的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D 移至∠B 的外部，其 它条件不变，探究∠，∠P，∠的关系并证明． 19．（2023 春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在 中， ，点 在 上，过点 的一条直线与直线 、 分别交于点 、 ．(1)如图1， ，则 ______°． (2)如图2，猜想 、 、 之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，直接写出 、 、 之间的数量关系______． M 180 A QCP    PM QM  i BO i CO ABO  ACO  1,2,3, ,2017,2018 i     1 O 2 O 3 O 2018 O BOC m   BAC n   1000 BO C    m n 20．（23-24 八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚 线剪去 ，则 ____； （2）如图2，已知 中， ，剪去 后成四边形，则