专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 .................................................................................................................................................2 模型1 线段的双中点模型............................................................................................................................... 2 模型2 线段的多中点模型............................................................................................................................... 7 模型3 双角平分线模型与角等分线模型.....................................................................................................11 ...............................................................................................................................................20 模型1 线段的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为 线段的双中点模型。 条件：点M、分别为线段B、B 的中点，结论： 证明：①当点B 在线段上，如图1， 图1 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM+B，∴ ； ②当点B 在线段的延长线上，如图2， 图2 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM-B，∴ ； ③当点B 在线段的延长线上 图3 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=B-BM，∴ ； 例1．（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在线段 上，点M、分别是 的中点． (1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的长； 【答】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． （1）因为点 、 分别是 、 的中点，所以 ， ，已知 ， 可得 的长， ，可得 的长；（2）因为点 、 分别是 、 的中点，所以 ， ，已知 ，可得 的长． 【详解】（1）解： 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ， ． 例2．（23-24 七年级上·江西赣州·期末）如图，点在线段 上，点M，分别是线段 的中点． (1)若 ，求线段 的长；(2)若 ，求线段 的长度． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和以及线段的差，可得答； （2）根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和以及线段的差，可得答． 本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点 分别是线段 的中点∴ ∵ ， ∴ ∴ （2）∵点 分别是线段 的中点∴ ∵ ，∴ ． 例3．（23-24 七年级·山东淄博·期末）已知点 是线段 的中点，点 是线段 的三等分点．若线段 ，则线段 的长为（ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点是线段AB的中点，∴ ， 当 时， ，∴ ； 当 时， ，∴ ；故选． 例4．（23-24 七年级上·安徽黄山·期末）如图，，D 是线段 上两点（点D 在点右侧），E，F 分别是线 段 的中点．下列结论： ① ； ②若 ，则 ；③ ； ④ ． 其中正确的结论是（ ） ．①② B．②③ ．②④ D．③④ 【答】B 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和 差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F 分别是线段 的中点．，∴ ， ∴ ，故①不符合题意； ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，故②符合题意； ∵ ，∴ ，故③符合题意； ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ ∴ ，故④不符合题意；故选：B． 例5．（23-24 七年级上·贵州遵义·期末）已知线段 ，点为线段 的中点，点D 为线段 上的三 等分点，则线段 的长的最大值为（ ） ．16 B．18 ．15 D．20 【答】D 【分析】本题考查线段和差．根据题意先求出 ，再根据题干分情况讨论点D 所在位置，继而 得到本题答． 【详解】解：∵线段 ，点为线段 的中点，∴ ， ∵点D 为线段 上的三等分点，∴①当点D 靠近点 时： ，此时 ； ②当点D 靠近点 时： ，此时 ； ∵ ，∴线段 的长的最大值为：20，故选：D． 例6．（23-24 七年级上·辽宁阜新·期末）点 、 在数轴上所表示的数如图所示， 是数轴上一点： (1)将点 在数轴上向左移动2 个单位长度，再向右移动7 个单位长度，得到点 ，求出 、 两点间的距 离是多少个单位长度． (2)若点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ，且 、 两点间的距离是4，求 的值． (3)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若发生 变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度． 【答】(1) 、 两点间的距离是个单位长度 (2) 的值为 或 (3)线段 的长度不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类 讨论的思想是解此题的关键． （1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出 点表示的数为，即可得解； （2）分两种情况：当 点在 点左边时；当 点在 点右边时；分别求解即可得出答；（3）分三种情况： 当 在 、 之间时；当 在 的左侧时；当 在 的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答． 【详解】（1）解：由数轴可得： 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， ∴ 点表示的数为 ， ∵ ，∴ 、 两点间的距离是个单位长度； （2）解：∵ 、 两点间的距离是4，∴当 点在 点左边时， 点表示的数为 ， ∵点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ， 点表示的数为 ，∴此时 ； 当 点在 点右边时， 点表示的数为 ， ∵点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ， 点表示的数为 ， ∴此时 ；综上所述， 的值为 或 ； （3）解：线段 的长度不发生变化， ， 由数轴可得： 点表示的数为 ， 点表示的数为 ，∴ ， ∵点 为 的中点，点 为 的中点，∴ ， ， 如图，当 在 、 之间时，此时 ； 如图，当 在 的左侧时，此时 ； 如图，当 在 的右侧时，此时 ； 综上所述，点 在运动过程中，线段 的长度不会发生变化， ． 模型2 线段的多中点模型 条件：如图，点M 在线段 的延长线上，且线段 ，第1 次操作：分别取线段 和 的中点 、 ﹔第2 次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第3 次操作：分别取线段 和 的 中点 ， ；…连续这样操作次，结论： ． 证明：∵ 、 是 和 的中点，∴ ， ， ∴ ，∵ 、 是 和 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， 是 和 的中点，∴ ， ， ∴ ，……发现规律： ， 例1．（23-24 七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点 为原点，点 表示的数为 ，动点 从点 出发，按以下规律跳动：第1 次从点 跳动到 的中点 处，第2 次从点 跳动到 的中点 处， 第3 次从点 跳动到 的中点 处，…，第 次从点 跳动到 的中点 处，按照这样的规律继续 跳动到点 ， ， ，…， 处，那么点 所表示的数为 ． 【答】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段 的变化 规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到 的中点 处，即在离 点的长度为 ，第二次从 点跳动到 处，即在 离 点的长度为 ，则跳动次后，即跳到了离 点的长度为 ，再根据线段的和差关系可得线 段 的长度，最后确定点 的表示的数即可． 【详解】解：由题可知： ，此第一次跳动到 的中点 处时， ， 同理，第二次从 点跳动到 处， ， 同理，第三次从 点跳动到 处， 同理，跳动 次后， ， 故线段 的长度为： ，当 时， ， ∵点 在负半轴，∴点 表示的数是 ，故答为： ． 例2．（23-24 七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M 在线段 的延长线上，且线段 ，第 一次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 第三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ，连续这样操作4 次，则 ． 【答】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的 规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得 ，根据线段的差可得 ， ， 的长度表示，根据规律进行推理即可得出 ，即可得出答． 【详解】解：根据题意可得，∵ ，∴ ， ∵线段 和 的中点 ，∴ ， 同理： ，∴ ，…… 依次类推， ，∴ ，故答为：4． 例3．（23-24 七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M 在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操 作：分别取线段 和 的中点 、 ﹔第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第三 次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2024 次，则每次的两个中点所形成的 所有线段之和 ． 【答】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段 中点定义先求出 的长度，再由 的长度求出 的长度，从而找到 的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵ 、 是 和 的中点，∴ ， ， ∴ ，∵ 、 是 和 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， 是 和 的中点，∴ ， ， ∴ ，……发现规律： ， ∴ ∴ 两式相减，得 ，故答为： ． 例4．（23-24 七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件 做了次取线段中 点实验：如图，设线段 ，第1 次，取 的中点 ；第2 次，取 的中点 ；第3 次，取 的 中点 ，第4 次，取 的中点 ；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段 的长 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段 的表达式进行了如下化简： 因为 ，所以 ， 两式相加，得 ，所以 ． 请你参考小明的化简方法，化简 的表达式． (3)类比猜想： _____， =_____，随着取中点次数的不断增大， 的长最终接近的值是____． 【答】(1)① ；② (2) (3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出 ，根据 可得出答； （2）参照小明对线段 的表达式的化简可得 的表达式；（3）根据类比猜想可得答． 【详解】（1）解： ， ； 故答为： ， ； （2）因为 ，所以 ． 两式相加，得 ．所以 ； （3） ，随着取中点次数 的不断增大 的长最终接近的值是 ． 故答为： ． 模型3 双角平分线模型与角等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平 分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们 自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B；结论： 。 证明：∵D、E 分别平分∠B、∠B，∴ ， ， ∴ ，∴ 。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B；结论： 。 证明：∵D、E 分别平分∠B、∠B，∴ ， ， ∴ ，∴ 。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠B+∠B+∠=360°，P1平分∠、P2平分∠B； 结论： 。 证明：∵P1平分∠、P2平分∠B，∴ ， ， ∵∠B+∠B+∠=360°，∴∠B+∠=360°-∠B， ∴ 。 4）角等分线模型 条件：如图4， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线…， 分别是 和 的平分线；结论： ． 证明： ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ，…， 由此规律得： 。 例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点为直线 上一点， 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据 平分 ， 平分 ，求出 ，再根据 ，求 出 ，即可得出答． 【详解】解：∵点为直线 上一点， 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，故正确．故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出 ． 例2．（2023 春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线 平分 ，射线 平分 ，则下列 等式中成立的有（ ） ① ；② ；③ ；④ ． ．①② B．①③ ．②③ D．②④ 【答】B 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解： 平分 ， 平分 ， 故①正确； 故②错误； 故③正确； 故④错误；故选B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是 解决本题的关键． 例3．（2023 春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线 是 的角平分线，射线 是 的角半分线，射线 是 的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个． ① ；② ；③ ；④ ； ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【答】D 【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ① ，故①正确； ② ， 即 ，故②正确； ③ ， 即 ，故③正确；④由①得 ，故④错误； 综上，①②③正确，共3 个；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． 例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…， 分别是 和 的平分线，则 的度数是 ． 【答】 【分析】由角平分线性质推理得 ， ， ，据此规律可解答． 【详解】解： ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ，…， 由此规律得： ．故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 例5．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠=∠BD=90°，B 在∠的内部，在∠BD 的内部，E 是∠B 的 一条三等分线．请从，B 两题中任选一题作答． ．当∠B＝30°时，∠ED 的度数为 ． B．当∠B＝α°时，∠ED 的度数为 （用含α 的代数式表示）． 【答】 110°或130° 或 【分析】、根据角的和差得到∠B=90°-30°=60°，根据E 是∠B 的一条三等分线，分类讨论，当∠E= ∠B=20°，②当∠BE′= ∠B=20°，根据角的和差即可得到结论； B、根据角的和差得到∠B，根据E 是∠B 的一条三等分线，分类讨论，当∠E= ∠B，②当∠BE′= ∠B，根 据角的和差即可得到结论． 【详解】解：、如图，∵∠=90°，∠B=30°，∴∠B=90°-30°=60°， ∵E 是∠B 的一条三等分线，∴①当∠E= ∠B=20°，∴∠BE=40°， ∠ ∵ BD=90°，∴∠ED=∠BD+∠BE=130°， ②当∠BE′= ∠B=20°，∴∠DE′=90°+20°=110°， 综上所述，∠ED 的度数为130°或110°，故答为：130°或110°； B、∵∠=90°，∠B=α°，∴∠B=90°-α°， ∵E 是∠B 的一条三等分线，∴①当∠E= ∠B=30°- α°，∴∠BE=90°-α-（30- α）°=60°- α°， ∠ ∵ BD=90°，∴∠ED=∠BD+∠BE=150°- α°， ②当∠BE′= ∠B=30°- α°，∴∠DE′=90°+30°- α°=120°- α°， 综上所述，∠ED 的度数为150°- α°或120°- α°，故答为：150°- α°或120°- α°； 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键． 例6．（2023 秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ， 分别平分 和 ．(1)求 的度数；(2)如果 ．①求 的度数；②若 ， 直接写出 的度数． 【答】(1) ；(2)① ；② 或 ． 【分析】（1）由角平分线定义可知 ， ，再根据 和 可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当 在 上方时，当 在 下方时，利用角之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 分别平分 和 ，∴ ， ， 则 ， ∵ ，∴ ； （2）①∵ ， ，∴ ， 由（1）可知， ，则 ， ∴ ， ②由①可知， ，∵ 平分 ，∴ ， 当 在 上方时， ； 当 在 下方时， ；综上， 为 或 ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角 之间的和差关系． 例7．（2023 秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如