专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 .................................................................................................................................................2 模型1 线段的双中点模型............................................................................................................................... 2 模型2 线段的多中点模型............................................................................................................................... 4 模型3 双角平分线模型与角等分线模型.......................................................................................................6 ............................................................................................................................................... 11 模型1 线段的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为 线段的双中点模型。 条件：点M、分别为线段B、B 的中点，结论： 证明：①当点B 在线段上，如图1， 图1 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM+B，∴ ； ②当点B 在线段的延长线上，如图2， 图2 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=BM-B，∴ ； ③当点B 在线段的延长线上 图3 ∵M、分别为B、B 的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）； ∵M=B-BM，∴ ； 例1．（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在线段 上，点M、分别是 的中点． (1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的长； 例2．（23-24 七年级上·江西赣州·期末）如图，点在线段 上，点M，分别是线段 的中点． (1)若 ，求线段 的长；(2)若 ，求线段 的长度． 例3．（23-24 七年级·山东淄博·期末）已知点 是线段 的中点，点 是线段 的三等分点．若线段 ，则线段 的长为（ ） ． B． ． 或 D． 或 例4．（23-24 七年级上·安徽黄山·期末）如图，，D 是线段 上两点（点D 在点右侧），E，F 分别是线 段 的中点．下列结论： ① ； ②若 ，则 ；③ ； ④ ． 其中正确的结论是（ ） ．①② B．②③ ．②④ D．③④ 例5．（23-24 七年级上·贵州遵义·期末）已知线段 ，点为线段 的中点，点D 为线段 上的三 等分点，则线段 的长的最大值为（ ） ．16 B．18 ．15 D．20 例6．（23-24 七年级上·辽宁阜新·期末）点 、 在数轴上所表示的数如图所示， 是数轴上一点： (1)将点 在数轴上向左移动2 个单位长度，再向右移动7 个单位长度，得到点 ，求出 、 两点间的距 离是多少个单位长度． (2)若点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ，且 、 两点间的距离是4，求 的值． (3)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若发生 变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度． 模型2 线段的多中点模型 条件：如图，点M 在线段 的延长线上，且线段 ，第1 次操作：分别取线段 和 的中点 、 ﹔第2 次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第3 次操作：分别取线段 和 的 中点 ， ；…连续这样操作次，结论： ． 证明：∵ 、 是 和 的中点，∴ ， ， ∴ ，∵ 、 是 和 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， 是 和 的中点，∴ ， ， ∴ ，……发现规律： ， 例1．（23-24 七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点 为原点，点 表示的数为 ，动点 从点 出发，按以下规律跳动：第1 次从点 跳动到 的中点 处，第2 次从点 跳动到 的中点 处， 第3 次从点 跳动到 的中点 处，…，第 次从点 跳动到 的中点 处，按照这样的规律继续 跳动到点 ， ， ，…， 处，那么点 所表示的数为 ． 例2．（23-24 七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M 在线段 的延长线上，且线段 ，第 一次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 第三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ，连续这样操作4 次，则 ． 例3．（23-24 七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M 在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操 作：分别取线段 和 的中点 、 ﹔第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第三 次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2024 次，则每次的两个中点所形成的 所有线段之和 ． 例4．（23-24 七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件 做了次取线段中 点实验：如图，设线段 ，第1 次，取 的中点 ；第2 次，取 的中点 ；第3 次，取 的 中点 ，第4 次，取 的中点 ；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段 的长 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段 的表达式进行了如下化简： 因为 ，所以 ， 两式相加，得 ，所以 ． 请你参考小明的化简方法，化简 的表达式． (3)类比猜想： _____， =_____，随着取中点次数的不断增大， 的长最终接近的值是____． 模型3 双角平分线模型与角等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平 分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们 自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B；结论： 。 证明：∵D、E 分别平分∠B、∠B，∴ ， ， ∴ ，∴ 。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B；结论： 。 证明：∵D、E 分别平分∠B、∠B，∴ ， ， ∴ ，∴ 。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠B+∠B+∠=360°，P1平分∠、P2平分∠B； 结论： 。 证明：∵P1平分∠、P2平分∠B，∴ ， ， ∵∠B+∠B+∠=360°，∴∠B+∠=360°-∠B， ∴ 。 4）角等分线模型 条件：如图4， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线…， 分别是 和 的平分线；结论：． 证明： ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ，…， 由此规律得： 。 例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点为直线 上一点， 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线 平分 ，射线 平分 ，则下列 等式中成立的有（ ） ① ；② ；③ ；④ ． ．①② B．①③ ．②③ D．②④ 例3．（2023 春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线 是 的角平分线，射线 是 的角半分线，射线 是 的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个． ① ；② ；③ ；④ ； ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…， 分别是 和 的平分线，则 的度数是 ． 例5．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠=∠BD=90°，B 在∠的内部，在∠BD 的内部，E 是∠B 的 一条三等分线．请从，B 两题中任选一题作答． ．当∠B＝30°时，∠ED 的度数为 ． B．当∠B＝α°时，∠ED 的度数为 （用含α 的代数式表示）． 例6．（2023 秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ， 分别平分 和 ．(1)求 的度数；(2)如果 ．①求 的度数；②若 ， 直接写出 的度数． 例7．（2023 秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、 分别平分 、 ，求 的度数； (2)若 ， 是平面内两个角， ， ， 、 分别平分 、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示） 例8．（2023 春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题 如图1，射线 在 的内部，图中共有3 个角： 和 ，若其中有一个角的度数 是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”， （填“是”或“不是”）．(2)如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 （用含α 的代数式表示出所有可能的结果）． 1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点，截取 ，再截取 ，则 的中点 与 的中点 之间的距离为（ ） ． B． ． 或 D． 或 2．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，、D 是线段 上两点，M、分别是线段 的中点， 下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；④ ． 其中正确的结论是（ ） ．①②③ B．③④ ．①②④ D．①②③④ 3．（2023 秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段的延长线上，且线段 ，第一次操作： 分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三次操 作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023 次，则每次的两个中点所形成的所有 线段之和 （ ） ． B． ． D． 4．（2023 秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知 ，以点 为顶点作直角 ，以点 为端点作一条射线 ．通过折叠的方法，使 与 重合，点 落在点 处， 所在的直线为折痕， 若 ，则 （ ）． ． B． ． D． 5．（2023 秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角， 分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线． 若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） ． B． ． 或 D． 或 6．（2023 春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根 长为 ，另一根 长为 ，在它们的中点处各有一个小圆孔 （圆孔直径忽略不计， 抽象成两个点），将它们的 一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离 是 ． 7．（23-24 七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知 是线段 上的一个点， 是 的 中点， 为 中点，且满足 ，求 ． 8．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （在左，B 在 右）的长为，长度小于 的线段 （D 在左，在右）在直线 上移动，M 为 的中点，为 的中点， 线段 的长为b，则线段 的长为 （用，b 的式子表示）． 9．（2023 秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点，D 在线段 上，P，Q 分别是 的中点，若 ，则 ． 10．（2023 秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知 ，由定点 引一条射线，使得 ， 、 分别是 和 的平分线，则 度． 11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠B 的内部有3 条射线、D、E，若∠＝70°，∠BE＝ ∠B， ∠BD＝ ∠B，则∠DE＝ °．（用含的代数式表示） 12．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数，b 满足： ．如图，在数轴上， 点是原点，点所对应的数是，线段 在直线 上运动（点B 在点的左侧）， ． 下列结论：① ；②当点B 与点重合时， ； ③当点与点重合时，若点P 是线段B 延长线上的点，则 ； ④在线段 运动过程中，若M 为线段 的中点，为线段 的中点，则线段 的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 13．（2023 春·天津滨海新·七年级校考期中）如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，下列结论： ； 与 互补； ； ．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ． 14．（2023 春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内， ， 为 内部一点，射线 平 分 ，射线 平分 ，射线 平分 ，当 时， 的度数是 ． 15．（2023 秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴 趣： 如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长． (1)根据题意，小明求得 ______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开 始深入探究．设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请 你帮助小明解答．①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______． ②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长． ③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______． 16．（2023 秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点在线段B 上， 时，我们称为点在线段B 上的“点值”，记作 ． 例如，点是B 的中点时，即 ，则 ；反之，当 时，则有 ． 因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义． (1)【理解与应用】如图，点在线段B 上．若 ， ，则 ________；若 ， 则 ________． (2)【拓展与延伸】已知线段 ，点P 以1m/s 的速度从点出发，向点B 运动．同时，点Q 以3m/s 的速度从点B 出发，先向点方向运动，到达点后立即按原速向点B 方向返回．当P，Q 其中一点先到达终 点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q 从点B 向点方向运动时， 的值是个定值，求m 的值； ②t 为何值时， ． 17．（2023 秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知 ， 平分 ， 平分 ． (1)如图1，当 ， 重合时，求 的度数；(2)如图2，当 在 内部时，若 ， 求 的度数；(3)当 和 的位置如图3 时，求 的度数． 18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段 ， ，线段 在线段 上运动，E，F 分别是 ， 的中点． (1)若 ，则 ___________m；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动， ， 分别平分 和 ，若 ， ，则 ___ ________．直接写出 ， 和 的数量关系：___________． 19．（2023 秋·湖南永州·七年级统考期末）点 为直线 上一点，在直线 同侧任作射线 ，使 得 ．(1)如图一，过点 作射线 ，使 为 的角平分线，若 时，则 ________ ， ________ ；(2)如图二，过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线 时，另作射线 ，使得 平分 ．①若 ，求 的度数（写出推理过程）； ②若 ，则 的度数是________（直接填空）． (3)过点 作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，当 时，则 的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空） 20．（2023 春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线 在 内部， 平分 ． (1)如图1，求证： ；(2)如图2，作 平分 ，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，当 时，作射线 的反向延长线 ， 在 的下方，且 ，反向延长射线 得到射线 ，射线 在 内部， 是 的平分线，若 ， ，求 的度数．