第3章 函数（测试）（解析版）

第三章 函数 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．如图，△B 的顶点(0，0)，顶点，B 分别在第一、四象限，且B⊥x 轴，若B=6，=B=5，则点的坐标是（ ） ．(5,4) B．(3,4) ．(5,3) D．(4,3) 【答】D 【分析】利用L 证明△≌△B，利用勾股定理得到=4，即可求解． 【详解】解：∵B⊥x 轴， = ∴∠∠B=90°， = ∵B，=， ∴△≌△B(L)， = ∴B=1 2B=3， =5 ∵ ， = ∴ ❑ √5 2−3 2=¿4， ∴点的坐标是（4，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题． 【新考法】 从图象中获取信息 2．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系 如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ） ．前10 分钟，甲比乙的速度慢 B．经过20 分钟，甲、乙都走了16 千米 ．甲的平均速度为008 千米/分钟 D．经过30 分钟，甲比乙走过的路程少 【答】D 【分析】结合函数关系图逐项判断即可． 【详解】项，前10 分钟，甲走了08 千米，乙走了12 千米，则甲比乙的速度慢，故项正确，故不符合题意； B 项，前20 分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了16 千米，故B 正确，故不符合题意； 项，甲40 分钟走了32 千米，则其平均速度为：32÷40=008 千米/分钟，故项正确，故不符合题意； D 项，经过30 分钟，甲走了24 千米，乙走了20 千米，则甲比乙多走了04 千米，故D 项错误，故符合题 意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键． 3．在函数y＝ ❑ √x+3 x 中，自变量x 的取值范围是（ ） ．x≥3 B．x≥ 3 ﹣ ．x≥3 且x≠0 D．x≥ 3 ﹣且x≠0 【答】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0 列出不等式组，解不等式组即可得到答． 【详解】解：由题意得：x+3≥0 且x≠0， 解得：x≥ 3 ﹣且x≠0， 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0 是 解题的关键． 4．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F 分别为边AD，CD中点，点为正方形的中心， 连接OE ,OF，点P 从点E 出发沿E−O−F运动，同时点Q 从点B 出发沿BC运动，两点运动速度均为 1cm/s，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP , PQ，△BPQ的面积为 S cm 2，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】分0≤t≤1 和1＜t≤2 两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1 时，∵正方形BD 的边长为2，点为正方形的中心， ∴直线E 垂直B， ∴点P 到直线B 的距离为2-t，BQ=t， ∴S=1 2 (2−t )·t=−1 2 t 2+t； 当1＜t≤2 时，∵正方形BD 的边长为2，点F 分别为边AD，CD中点，点为正方形的中心， ∴直线F∥B， ∴点P 到直线B 的距离为1，BQ=t， ∴S=1 2 t； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析 式是解题的关键． 5．【创新题】直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程a x 2+2 x+1=0实数解的个数是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．1 个或2 个 【答】D 【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况 【详解】∵直线y=x+a不经过第二象限， ∴a≤0， ∵方程a x 2+2 x+1=0， 当=0 时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当<0 时，方程为一元二次方程， ∵∆=b 2−4 ac=4−4 a， 4-4>0 ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易 错点是的取值范围，再分类讨论 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示，小星根据图象 得到如下结论： ①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大； ②方程组{ y−ax=b y−mx=n的解为{x=−3 y=2 ； ③方程mx+n=0的解为x=2； ④当x=0时，ax+b=−1． 其中结论正确的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的 交点坐标可判断③④，从而可得答． 【详解】解：由一次函数y=mx+n的图象过一，二，四象限，y的值随着x值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组¿的解为¿，即方程组¿的解为¿； 故②符合题意； 由一次函数y=mx+n的图象过(2,0), 则方程mx+n=0的解为x=2；故③符合题意； 由一次函数y=ax+b的图象过(0,−2), 则当x=0时，ax+b=−2．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与 坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【新考法】 反比例函数与几何综合 7．如图，正方形BD 的边长为5，点的坐标为（4，0），点B 在y 轴上，若反比例函数y＝k x （k≠0）的图 像过点，则k 的值为（ ） ．4 B．﹣4 ．﹣3 D．3 【答】 【分析】过点作E⊥y 轴于E，根据正方形的性质可得B＝B，∠B＝90°，再根据同角的余角相等求出∠B＝ ∠BE，然后利用“角角边”证明△B 和△BE 全等，根据全等三角形对应边相等可得＝BE＝4，E＝B＝3，再 求出E，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k 的值． 【详解】解：如图，过点作E⊥y 轴于E，在正方形BD 中，B＝B，∠B＝90°， ∴∠B+∠BE＝90°， ∵∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BE， ∵点的坐标为（4，0）， ∴＝4， ∵B＝5， ∴B＝❑ √5 2−4 2＝3， 在△B 和△BE 中，¿， ∴△B≌△BE（S）， ∴＝BE＝4，E＝B＝3， ∴E＝BE﹣B＝4 3 ﹣＝1， ∴点的坐标为（﹣3，1）， ∵反比例函数y＝k x （k≠0）的图像过点， ∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3， 故选：． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定 理，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键． 8．【创新题】如图，点在反比例函数y= 2 x (x>0)的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中 ∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（ ） ．1 B．❑ √2 ．2❑ √2 D．4 【答】 【分析】如图，过A作AM ∥x轴，交y 轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交M 于，则 ∠OMA=∠AHB=90° , 证明△AOM ≌△BAH , 可得OM=AH , AM=BH , 设A(m, 2 m), 则 AM=m,OM= 2 m , MH=m+ 2 m ,BD= 2 m−m, 可得 B(m+ 2 m , 2 m−m), 再利用勾股定理建立函数关系式， 结合完全平方公式的变形可得答． 【详解】解：如图，过A作AM ∥x轴，交y 轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交M 于，则 ∠OMA=∠AHB=90° , ∴∠MOA+∠MAO=90° , ∵AO=AB , AO⊥AB , ∴∠MAO+∠BAH=90° , ∴∠MOA=∠BAH , ∴△AOM ≌△BAH , ∴OM=AH , AM=BH , 设A(m, 2 m), 则AM=m,OM= 2 m , MH=m+ 2 m ,BD= 2 m−m, ∴ B(m+ 2 m , 2 m−m), ∴OB=❑ √(m+ 2 m) 2 +( 2 m−m) 2 =❑ √ 2m 2+ 8 m 2 , ∵m>0, 而当a>0,b>0时，则a+b≥2❑ √ab, ∴2m 2+ 8 m 2 ≥2❑ √ 2m 2× 8 m 2=8, ∴2m 2+ 8 m 2的最小值是8， ∴OB的最小值是❑ √8=2❑ √2. 故选：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方 公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“a 2+b 2≥2ab的变形公式”是解本题的关键． 9．二次函数y=a x 2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先分析二次函数y=a x 2+bx+1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y=2ax+b的图像 恒过定点(−b 2a ,0)，即可得出正确选项． 【详解】二次函数y=a x 2+bx+1的对称轴为x=−b 2a ，一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(−b 2a ,0)， 所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(−b 2a ,0)，只有选项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数 y=2ax+b的图像恒过定点(−b 2a ,0)，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10．已知抛物线y=a x 2+bx+c（，b，是常数，0<a<c）经过点(1,0)，有下列结论： ①2a+b<0； ②当x>1时，y 随x 的增大而增大； ③关于x 的方程a x 2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【答】 【详解】由题意可知：a+b+c=0，b=−(a+c)，b+c=−a， ∵0<a<c， ∴a+c>2a，即b=−(a+c)←2a，得出b+2a<0，故①正确； ∵b+2a<0， ∴对称轴x0=−b 2a >1， ∵ a>0， ∴1<x<x0时，y随x的增大而减小，x>x0时，y随x的增大而增大，故②不正确； ∵b 2−4 a(b+c)=b 2−4 a×(−a)=b 2+4 a 2>0， ∴关于x 的方程a x 2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，故③正确． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的 性质并能应用求解． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．如图，点的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把ΔOAB沿x轴向右平移到Δ ECD，若四边形ABDC的面积 为9，则点C的坐标为 ． 【答】(4，3) 【分析】过点作⊥x 轴于点，得到=3，根据平移的性质证明四边形BD 是平行四边形，得到=BD，根据平行 四边形的面积是9 得到BD⋅AH=9，求出BD 即可得到答 【详解】过点作⊥x 轴于点， ∵（1,3）， =3 ∴ ， 由平移得B∥D，B=D， ∴四边形BD 是平行四边形， = ∴BD， ∵BD⋅AH=9， ∴BD=3， =3 ∴ ， (4 ∴ ，3)， 故答为：(4，3) 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关 系 12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8 元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售 价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x ≤20时，其图象是线段B，则该食品零售店每天销售这款冷饮 产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）． 【答】121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系 式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当10≤x ≤20时，设y=kx+b，，把（10，20），（20，10）代入可得： ¿， 解得¿， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=−x+30， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为元， w=(x−8) y=(x−8) (−x+30)=−x 2+38 x−240=−(x−19) 2+121， ∵−¿1<0， ∴当x=19时，有最大值为121， 故答为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函 数的性质是解题关键． 13．【原创题】把二次函数y=x2+4x+m 的图像向上平移1 个单位长度，再向右平移3 个单位长度，如果平 移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件： ． 【答】m>3 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意 得到不等式m-3>0，据此即可求解． 【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4， 此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4）， 函数的图象向上平移1 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1， m-3）， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ∴m-3>0， 解得：m>3， 故答为：m>3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新 抛物线的顶点坐标． 14．若点A(1, y1),B(−2, y2),C(−3, y3)都在反比例函数y=6 x 的图象上，则y1, y2, y3的大小关系为 ． 【答】y2＜y3＜ y1 【分析】将点（1，y1），B（-2，y2），（-3，y3）分别代入反比例函数y=6 x ，并求得y1、y2、y3的值，然 后再来比较它们的大小． 【详解】根据题意，得 当x=1 时，y1=6 1=6， 当x=-2 时，y2= 6 −2=−3， 当x=-3 时，y3¿ 6 −3=−2； -3 ∵ ＜-2＜6， ∴y2＜y3＜ y1； 故答是y2＜y3＜ y1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及 平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目． 15．已知一次函数y=3x-1 与y=kx（k 是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{3 x−y=1 kx−y=0 的解是 ． 【答】{x=1 y=2 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数y=3x-1 与y=kx（k 是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y=3x-1 与y=kx 的方程组¿的解为：¿， 即¿的解为：¿， 故答为：¿． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的 关系是解题的关键． 【新考法】 二次函数与几何综合 16．在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形 中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=( x−2) 2 (0≤x ≤3)的图象（抛物线中的 实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y= 1 4 x 2+bx+c (0≤x ≤3)图象的关联矩形恰好也是 矩形OABC，则b=¿ ． 【答】7 12或−25 12 【分析】根据题意求得点A (3,0)，B (3,4 )，C (0,4 )，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由y=( x−2) 2 (0≤x ≤3)，当x=0时，y=4， ∴C (0,4 )， ∵A (3,0)，四边形ABCO是矩形， ∴B (3,4 )， ①当抛物线经过O，B时，将点(0,0)，B (3,4 )代入y= 1 4 x 2+bx+c (0≤x≤3)， ∴¿ 解得：b= 7 12 ②当抛物线经过点A ,C时，将点A (3,0),C (0,4 )代入y= 1 4 x 2+bx+c (0≤x≤3)， ∴¿ 解得：b=−25 12 综上所述，b= 7 12或b=−25 12 ， 故答为：7 12或−25 12 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分 23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的 底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V 的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S 的取值范围． 【答】(1)V =10000 米 3 (2)当16≤d≤25 时，400≤S≤625 【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答； （2）先求解反比例函数的解析式为S=10000 d ，再利用反比例函数的性质可得答． 【详解】（1）解：由图知：当深度d=20 米时，底面积S=500 米2， ∴V =Sd=500 米2×20 米=10000 米3； （2）由（1）得： Sd=10000， 则S=10000 d （d>0），S 随着d的增大而减小， 当d=16时，S=625； 当d=25时，S=400； ∴当16≤d≤25 时，400≤S≤625． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值 的范围是解本题的关键． 18．如图，一次函数y=kx+2(k ≠0)的图像与反比例函数y=m x (m≠0, x>0)的图像交于点A(2,n)，与 y 轴交于点B，与x 轴交于点C(−4,0)． (1)求k 与m 的值； (2)P(a,0)为x 轴上的一动点，当△PB 的面积为7 2时，求的值． 【答】(1)k 的值为1 2，m的值为6 (2)a=3或a=−11 【分析】（1）把C(−4,0)代入y=kx+2，先求解k 的值，再求解的坐标，再代入反比例函数