第7章 图形的变化（测试）（解析版）

第七章 图形的变化 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分 1．【原创题】古典林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图，既是轴对称图形又是 中心对称图形的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后 两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后 能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2．如图是一个由6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据主视图的定义判断． 【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2 个，下层有3 个小 正方形， 故答为：． 【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键． 3．在直角坐标系中，把点A (m,2)先向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到点B．若点B的横坐标 和纵坐标相等，则m=¿（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】 【分析】先根据平移方式确定点B 的坐标，再根据点B的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：∵点A (m,2)先向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到点B， ∴ B (m+1,2+3)，即B (m+1,5)， ∵点B的横坐标和纵坐标相等， ∴ m+1=5， ∴ m=4， 故选． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标 系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 4．如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则 A，C两处相距（ ） ． x sin α 米 B． x cosα 米 ．x⋅sin α米 D．x⋅cosα米 【答】B 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答 【详解】解：小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处， ∴∠ABC=90°，AB=x米 ∴cosα= AB AC ， ∴AC= AB cosα = x cosα 米 故选： B 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义余弦值就是在直角 三角形中，锐角的邻边与斜边之比 5．如图，把△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，的对应点分别是点D，E，且点E 在BC的 延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ） ．∠CAE=∠BED B．AB=AE ．∠ACE=∠ADE D．CE=BD 【答】 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得AB=AD，AC=AE，BC=DE， 无法证明AB=AE，CE=BD，故B 选项和D 选项不符合题意， ∠ABC =∠ADE ∵ ∠ACE=∠ABC+∠BAC ∴ ∠ACE=∠ADE+∠BAC，故选项不符合题意， ∠ACB=∠AED ∵ ∠ACB=∠CAE+∠CEA ∵ ∠AED=∠CEA+∠BED ∴ ∠CAE=∠BED，故选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 6．【原创题】如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点E，棱AB的投影为线段BE，棱AD 的投影为线段ED，棱AC的投影为正方形BCDE的对角线， ∴该几何体的俯视图为： ， 故选： 【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视 图． 7．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA :OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到 如图所示的位置，线段O D1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ） ．(1,2) B．(−1,2) ．(❑ √5−1,2) D．(1−❑ √5,2) 【答】D 【分析】首先证明△AOB∼△D1C1O，求出AB=CD=2，连结OC，设BC与OC ❑ 1 ❑ 交于点F，然后 求出OC=OC1=2❑ √5，可得C1 F=2❑ √5−2，再用含EF的式子表示出EC1，最后在Rt △EF C1中，利 用勾股定理构建方程求出EF即可解决问题． 【详解】解：∵矩形ABCD的边AD=5，OA :OD=1:4， ∴OA=1，OD=4，BC=5， 由题意知AB∥OC1， ∴∠ABO=∠D1OC1， 又∵∠BAO=∠O D1C1=90°， ∴△AOB∼△D1C1O， ∴OA AB = D1C1 O D1 ， 由折叠知O D1=OD=4，D1C1=DC=AB， ∴1 AB = AB 4 ， ∴AB=2，即CD=2， 连接OC，设BC与OC ❑ 1 ❑ 交于点F， ∴OC= ❑ √O D 2+C D 2= ❑ √4 2+2 2=2❑ √5， ∵∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°， ∴四边形OABF是矩形， ∴AB=OF=2，∠BFO=90°=∠EF C1，OA=BF=1， ∴CF=5−1=4， 由折叠知OC1=OC=2❑ √5，EC1=EC=CF−EF=4−EF， ∴C1 F=OC1−OF=2❑ √5−2， ∵在Rt △EF C1中，E F 2+C1 F 2=EC1 2， ∴E F 2+(2❑ √5−2) 2=(4−EF ) 2， 解得：EF=❑ √5−1， ∴点E的坐标是(1−❑ √5,2)， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知 识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键． 8．一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答． 【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体， 由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合， 故选：D． 【点睛】题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验． 9．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE平移到△DCF，a=4，h=3，则 △ABE的平移距离为（ ） ．3 B．4 ．5 D．12 【答】B 【分析】根据平移的方向可得，△ABE平移到△DCF，则点A与点D重合，故△ABE的平移距离为AD 的长． 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，将△ABE平移到△DCF， 故平移后点A与点D重合，则△ABE的平移距离为AD=a=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 10．【创新题】如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B， H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3．以下结论： ①∠EDC=135°；②EC 2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED= ❑ √2 3 ．其中正确结论的个数为 （ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证 明△GBH ∽△EDC，得到DC HB = EC HG ，即EC=CD⋅HG HB =3a 2 ，利用△HEC是等腰直角三角形，求出 HE=3 ❑ √2a 2 ，再证明△HGB∽△HDF即可求出EF=3可知③正确；过点E 作EM ⊥FD交FD 于点 M，求出sin∠EFC= ME EF = ❑ √2 3 ，再证明∠DEC =∠EFC，即可知④正确． 【详解】解：∵△EDC旋转得到△HBC， ∴∠EDC =∠HBC， ∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上， ∴∠HBC =180°−45°=135°， ∴∠EDC =135°，故①正确； ∵△EDC旋转得到△HBC， ∴EC=HC，∠ECH=90°， ∴∠HEC =45°， ∴∠FEC =180°−45°=135°， ∵∠ECD=∠ECF， ∴△EFC ∽△DEC， ∴EC DC = FC EC ， ∴EC 2=CD⋅CF，故②正确； 设正方形边长为， ∵∠GHB+∠BHC =45°，∠GHB+∠HGB=45°， ∴∠BHC =∠HGB=∠DEC， ∵∠GBH=∠EDC =135°， ∴△GBH ∽△EDC， ∴DC HB = EC HG ，即EC=CD⋅HG HB =3a 2 ， ∵△HEC是等腰直角三角形， ∴HE=3 ❑ √2a 2 ， ∵∠GHB=∠FHD，∠GBH=∠HDF =135°， ∴△HBG∽△HDF， ∴HB HD = HG HF ，即 2 2+❑ √2a= 3 3 ❑ √2a 2 +EF ，解得：EF=3， ∵HG=3， ∴HG=EF，故③正确； 过点E 作EM ⊥FD交FD 于点M， ∴∠EDM =45°， ∵ED=HB=2， ∴MD=ME=❑ √2， ∵EF=3， ∴sin∠EFC= ME EF = ❑ √2 3 ， ∵∠DEC+∠DCE=45°，∠EFC+∠DCE=45°， ∴∠DEC =∠EFC， ∴sin∠DEC=sin∠EFC= ME EF = ❑ √2 3 ，故④正确 综上所述：正确结论有4 个， 故选：D 【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟 练掌握以上知识点，结合图形求解． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．点（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B 的坐标为 ． 【答】（-1，5） 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B 的坐标为（-1，5）． 故答为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称， 横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 12．【创新题】如图，在扇形AOB中，点，D 在´ AB上，将´ CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点 E，F．已知∠AOB=120°，OA=6，则´ EF的度数为 ；折痕CD的长为 ． 【答】 60°/60 度 4 ❑ √6 【分析】根据对称性作关于D 的对称点M，则点D、E、F、B 都在以M 为圆心，半径为6 的圆上，再结合 切线的性质和垂径定理求解即可． 【详解】作关于D 的对称点M，则=M 连接MD、ME、MF、M，M 交D 于 ∵将´ CD沿弦CD折叠 ∴点D、E、F、B 都在以M 为圆心，半径为6 的圆上 ∵将´ CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F． ∴ME⊥，MF⊥B ∴∠MEO=∠MFO=90° ∵∠AOB=120° ∴四边形MEF 中∠EMF=360°−∠AOB−∠MEO−∠MFO=60° 即´ EF的度数为60°； ∵∠MEO=∠MFO=90°，ME=MF ∴△MEO≅△MFO（L） ∴∠EMO=∠FMO=1 2 ∠FME=30° ∴OM= ME cos∠EMO = 6 cos30° =4 ❑ √3 ∴MN=2❑ √3 ∵M⊥D ∴DN= ❑ √D M 2−M N 2= ❑ √6 2−(2❑ √3) 2=2❑ √6=1 2 CD ∴CD=4 ❑ √6 故答为：60°；4 ❑ √6 【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是 解题的关键． 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 13．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆B 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如 图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是B=872m，EF=218m．已知B，，E，F 在同一直 线上，B⊥B，DE⊥EF，DE=247m，则B= m． 【答】988 【分析】根据平行投影得∥DE，可得∠B=∠DFE，证明Rt△B∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即 可求解． 【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是B=872m，EF=218m． ∥ ∴DF， ∠ ∴ B=∠DFE， ∵B⊥B，DE⊥EF， ∠ ∴ B=∠DEF=90°， ∴Rt△B∽Rt△DEF， ∴AB DE = BC EF ，即AB 2.47 =8.72 2.18， 解得B=988， ∴旗杆的高度为988m． 故答为：988． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在 太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△B∽△Rt△DEF 是解题的关键． 14．在Δ ABC中，∠C=90°，a、b 、c分别为∠A 、∠B 、∠C的对边，若b 2=ac，则sin A的值为 ． 【答】−1+❑ √5 2 【详解】解：如图所示： 在Rt △ABC中，由勾股定理可知：a 2+b 2=c 2， ∵ac=b 2， ∴a 2+ac=c 2， ∵a>0， b>0，c>0， ∴a 2+ac c 2 =c 2 c 2，即：( a c) 2 + a c =1， 求出a c =−1+❑ √5 2 或a c =−1−❑ √5 2 （舍去）， ∴在Rt △ABC中：sin A=a c =−1+❑ √5 2 ， 故答为：−1+❑ √5 2 ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 在Rt △ABC中，sin A=∠A 的对边 斜边 ，cos A=∠A 的邻边 斜边 ，tan A=∠A 的对边 ∠A 的邻边． 15．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，AC=BC=2❑ √2，点D 为B 的中点，点P 在上，且P＝1，将P 绕点在 平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接Q，DQ．当∠DQ＝90°时，Q 的长为 ． 【答】❑ √5或❑ √13/❑ √13或❑ √5 【分析】连接CD，根据题意可得，当∠DQ＝90°时，分Q点在线段CD上和DC的延长线上，且 CQ=CP=1，勾股定理求得AQ即可． 【详解】如图，连接CD， ∵在Rt△B 中，∠B＝90°，AC=BC=2❑ √2， ∴AB=4，CD⊥AD， ∴CD=1 2 AB=2， 根据题意可得，当∠DQ＝90°时，Q点在CD上，且CQ=CP=1， ∴DQ=CD−CQ=2−1=1， 如图，在Rt △ADQ中，AQ= ❑ √A D 2+DQ 2= ❑ √2 2+1 2=❑ √5， 在Rt △ADQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3 ∴AQ= ❑ √A D 2+DQ 2= ❑ √2 2+3 2=❑ √13 故答为：❑ √5或❑ √13． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q的位置是解题的关 键． 16．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧， 分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M '；③以点M '为圆心， 以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N '：④过点N '作射线D N '交BC于点E．若△BDE 与四边形ACED的面积比为4:21，则BE CE 的值为 ． 【答】2 3 【分析】根据作图可得∠BDE=∠A，然后得出DE∥AC，可证明△BDE∽△BAC，进而根据相似三 角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得∠BDE=∠A， ∴DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∵△BDE与四边形ACED的面积比为4:21， ∴S△BDC S△BAC = 4 21+4 =( BE BC) 2 ∴BE BC =2 5 ∴BE CE ¿ 2 3， 故答为：2 3． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的 性质与判定是解题的关键． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分，23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．先化简，再求值：(a+1− 3 a−1)÷ a 2+4 a+4 a−1 ，其中a=tan 45°+( 1 2 ) −1 −π 0 【答】a−2 a+2 ，0 【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的 性质求出，最后代入计算． 【详解】解：(a+1− 3 a−1)÷ a 2+4 a+4 a−1 ¿( a 2−1 a−1 − 3 a−1)÷ (a+2) 2 a−1 ¿ a 2−4 a−1 ÷ (a+2) 2 a−1 ¿ (a+2) (a−2) a−1 ⋅a−1 (a+2) 2 ¿ a−2 a+2 ； ∵a=tan 45°+( 1 2 ) −1 −π 0=1+2−1=2， ∴原式¿ a−2 a+2 =2−2 2+2 =0． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解 题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是（1，3），B（4，4），（2，1）． （1）把△ABC向左平移4 个单位后得到对应的△1B11，请画出平移后的△1B11； （2）把△ABC绕原点旋转180°后得到对应的△2B22，请画出旋转后的△2