第14讲 二次函数的应用（练习）（解析版）

第14 讲 二次函数的应用 目 录 题型01 最大利润/销量问题 题型02 方选择问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道问题 题型05 空中跳跃轨迹问题 题型06 球类飞行轨迹 题型07 喷泉问题 题型08 图形问题 题型09 图形运动问题 题型10 二次函数综合问题-线段、周长问题 题型11 二次函数综合问题-面积周长问题 题型12 二次函数综合问题-角度问题 题型13 二次函数综合问题-特殊三角形问题 题型14 二次函数综合问题-特殊四边形问题 题型01 最大利润/销量问题 1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 千 克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10 箱；当购买1 箱时，批发价为82 元/千克， 每多购买1 箱，批发价每千克降低02 元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12 元/千克时，每天可 销售1 箱；售价每千克降低05 元，每天可多销售1 箱． (1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所 获利润最大？最大利润是多少？ 【答】(1)y=−0.2 x+8.4 ( 1≤x ≤10且x 为整数)． (2)李大爷每天应购进这种水果7 箱，获得的利润最大，最大利润是140 元． 【分析】（1）根据题意列出y=8.2−0.2( x−1)，得到结果． （2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润与x 的函数关系式，即可求 出最大利润． 【详解】（1）解：由题意得y=8.2−0.2( x−1) ¿−0.2 x+8.4 ∴批发价y 与购进数量x 之间的函数关系式是y=−0.2 x+8.4 ( 1≤x ≤10，且x 为整数)． （2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为元 则w=[12−0.5( x−1)−y]⋅10 x ¿[12−0.5( x−1)−(−0.2 x+8.4)]⋅10 x ¿−3 x 2+41 x ∵a=−3<0 ∴抛物线开口向下 ∵对称轴是直线x= 41 6 ∴当1≤x≤41 6 时，的值随x 值的增大而增大 ∵x 为正整数，∴此时，当x=6时，w 最大=138 当41 6 ≤x≤10时，的值随x 值的增大而减小 ∵x 为正整数，∴此时，当x=7时，w 最大=140 ∵140>138 ∴李大爷每天应购进这种水果7 箱，获得的利润最大，最大利润是140 元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性 来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方进行解决． 2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2 本 科技类图书和3 本文学类图书需154 元，购买4 本科技类图书和5 本文学类图书需282 元． (1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ (2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不 变）：购买科技类图书超过40 本但不超过50 本时，每增加1 本，单价降低1 元；超过50 本时，均按购买 50 本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100 本，其中科技类图书不少于30 本，但不超过60 本． 按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 【答】(1)科技类图书的单价为38 元，文学类图书的单价为26 元． (2)社区至少要准备2700 元购书款． 【分析】（1）设科技类图书的单价为x 元，文学类图书的单价为y 元，然后根据题意可列出方程组进行求 解； （2）设社区需要准备元购书款，购买科技类图书m 本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可 分当30≤m<40时，当40≤m≤50时及当50<m≤60时，进而问题可分类求解即可． 【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x 元，文学类图书的单价为y 元，由题意得： ¿，解得：¿； 答：科技类图书的单价为38 元，文学类图书的单价为26 元． （2）解：设社区需要准备元购书款，购买科技类图书m 本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得： ①当30≤m<40时，则有：w=38m+26 (100−m)=12m+2600， 12 ∵ ＞0， ∴当m=30 时，有最小值，即为w=360+2600=2960； ②当40≤m≤50时，则有：w=(38−m+40)m+26 (100−m)=−m 2+52m+2600， -1 ∵ ＜0，对称轴为直线m=26， ∴当40≤m≤50时，随m 的增大而减小， ∴当m=50 时，有最小值，即为w=−50 2+52×50+2600=2700； ③当50<m≤60时，此时科技类图书的单价为78−50=28（元），则有 w=28m+26 (100−m)=2m+2600， 2 ∵＞0， ∴当m=51 时，有最小值，即为w=102+2600=2702； 综上所述：社区至少要准备2700 元的购书款． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系， 注意分类讨论． 3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植 和销售，已知草莓的种植成本为8 元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销 售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求y 与x 的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 【答】（1）y=¿；（2）最大利润为3840 元 【分析】（1）分为8≤x≤32 和32＜x≤40 求解析式； （2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润． 【详解】解：（1）当8≤x≤32 时，设y＝kx＋b（k≠0）， 则¿， 解得：¿， ∴当8≤x≤32 时，y＝−3x＋216， 当32＜x≤40 时，y＝120， ∴y=¿； （2）设利润为，则： 当8≤x≤32 时，＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072， ∵开口向下，对称轴为直线x＝40， ∴当8≤x≤32 时，随x 的增大而增大， ∴x＝32 时，最大＝2880， 当32＜x≤40 时，＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960， ∵随x 的增大而增大， ∴x＝40 时，最大＝3840， 3840 ∵ ＞2880， ∴最大利润为3840 元． 【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次 函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x 的取值范围和函数的增减性，先确定函数的 增减性，才能求得利润的最大值． 题型02 方选择问题 4．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助 协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利04 万元，销 售乙种水果获利如下表所示： 销售x（吨） 3 4 5 6 7 获利y（万 元） 09 11 13 15 17 (1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1（万元）、y2（万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式； (2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？ (3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足 n=20−1 2 m 2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方． 【答】(1)y1=0.4 x，y2=0.2 x+0.3； (2)当进货数量小于15 吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于15 吨时，销售两种水果获利一样；当 进货数量大于15 吨时，销售甲种水果获利大； (3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2 和18 吨时，获得利润最大为47 万元． 【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可； （2）通过购买数量来选择哪种水果即可； （3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可． 【详解】解：（1）由题意得y1=0.4 x， 在直角坐标系中描出以(x , y )坐标的对应点，易得y2的图象成一条直线， 设y2=kx+b，则¿， 解得¿， ∴y2=0.2 x+0.3． （2）当y1= y2，则0.4 x=0.2 x+0.3， 解得x=1.5； ∴当进货数量小于15 吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于15 吨时，销售两种水果获利一样；当 进货数量大于15 吨时，销售甲种水果获利大． （3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润： w=0.4 m+0.2n+0.3 ¿0.4 m+0.2(20−1 2 m 2)+0.3， 即w=−0.1m 2+0.4 m+4.3 ¿−0.1 (m−2) 2+4.7， 当m=2时，n=18，有最大值， 答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2 和18 吨时，获得利润最大为47 万元． 【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立， 求出解析式． 5．（2023·山东潍坊·统考二模）2023 年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000 元采 购型风筝的只数是用8000 元采购B 型风筝的只数的2 倍，一只型风筝的进价比一只B 型风筝的进价多20 元． (1)求一只，B 型风筝的进价分别为多少元？ (2)经市场调查发现：型风筝售价的一半与型风筝销量的和总是等于130，B 型风筝的售价为120 元/只．该 经销商计划购进，B 型风筝共300 只，其中型风筝m (50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求销售这 批风筝的最大利润，并写出此时的采购方． 【答】(1)一只型风筝的进价为100 元，一只B 型风筝的进价为80 元； (2)当购进50 只型风筝，80 只B 型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元． 【分析】（1）设一只型风筝的进价为x 元，一只B 型风筝的进价为(x+20)元，根据“用20000 元采购型风 筝的只数是用8000 元采购B 型风筝的只数的2 倍”列分式方程，解之即可求解； （2）设销售这批风筝的利润为元，根据题意得w=−2 (m−30) 2+13800，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设一只型风筝的进价为x 元，一只B 型风筝的进价为(x+20)元， 根据题意得20000 x+20 =8000 x ×2， 解得x=80， 经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20=80+20=100， 答：一只型风筝的进价为100 元，一只B 型风筝的进价为80 元； （2）解：设销售这批风筝的利润为元， 根据题意得：w=[2(130−m)−100]m+(120−80) (300−m)=−2m 2+120m+12000， 整理得w=−2 (m−30) 2+13800， ∵−2<0，50≤m≤150 ∴当m=50时，取得最大值，最大值为13000，此时130−m=130−50=80， 答：当购进50 只型风筝，80 只B 型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出 分式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润． 6．（2020·山西太原·统考模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同 发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方：不收设计费， 定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的 平均费用为56元1套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均 每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【答】(1)该超市定制这款垃圾桶300套 (2)售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大 【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据题意，列出方程，即可； （2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，根据题意，列出方程，解出方程，即可． 【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套， ∵56<60， ∴x>200， ∴60×200+60× (x−200)×80%=56 x， 解得：x=300， 答：该超市定制了这款垃圾桶300套． （2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元， ∴y=(80−56−m) (20+2m)， y=−2m 2+48m+480=−2 (m−7) 2+578， ∵−2<0且0<m<24， ∴当m=7时，y有最大值， 答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用， 根据题意，列出等式． 7．（2023·江苏南通·统考一模）某商家购进一批产品，成本为10 元/件，现有线上和线下两种销售方式， 售价均为x 元/件（10<x<24）．调查发现，线上的销售量为600 件；线下的销售量y（单位：件）与售价 x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 110 0 1000 900 800 (1)求y 与x 的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等； (3)若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大． 【答】(1)y=−100 x+2400 (2)18 元 (3)当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时选择线下销售利润大；当x=18时候，两种销售方 法利润一样 【分析】（1）根据表格可知y 与x 满足一次函数的关系，再利用待定系数法求得一次函数即可； （2）利用销售利润¿销售数量×（销售单价−¿销售成本），结合题意列代数式，即可解答； （3）根据二次函数的性质和（2）中求得的结果，即可解答． 【详解】（1）解：∵y 与x 满足一次函数的关系， ∴设y=kx+b (k ≠0)， 将x=14 , y=1000；x=13, y=1100代入得： ¿， 解得：¿， ∴y 与x 的函数关系式为：y=−100 x+2400； （2）解：根据题意得：线上销售利润为W 1=600 (x−10)=600 x−6000， 线下销售利润为W 2=(−100 x+2400) (x−10)=−100 x 2+3400 x−24000， 当W 1=W 2时，600 (x−10)=−100 x 2+3400 x−24000 解得x1=18或x2=10（舍去）， 答：当售价为18 元时，线上销售利润与线下销售利润相等； （3）解：由（2）知，当10<x<18时，W 1>W 2， ∴当10<x<18时选择线上销售利润大； 当18<x<24时，W 1<W 2， ∴当18<x<24时选择线下销售利润大． 综上，当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时选择线下销售利润大；当x=18时候，两种销 售方法利润一样． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用（销售问题），能结合题 意列出正确的函数关系式是解题的关键． 题型03 拱桥问题 8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽 AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35 km，桥下水位正好在AB处，之后水位每 小时上涨0.25m，当水位达到CD 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35 km时， 水面宽是多少？它能否安全通过此桥？ 【答】(1)y=−1 25 x 2 (2)水面宽是15m，它能安全通过此桥 【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y=a x 2， 由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较 就可以求出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a x 2(a不等于0)，桥拱最高点O到水面CD的距离为h米． 则D(5,−h)，B(10,−h−3) ∴ ¿， 解得¿， ∴抛物线的解析式为y=−1 25 x 2； （2）解：由题意，得 船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时， 水位上升的高度为：0.25×7=1.75米． 设此时水面宽为EF ， ， 由（1）知：B (10,−4 )， ∴F 纵坐标为−4+1.75=−2.25， 把y=−2.25代入y=−1 25 x 2，得 −2.25=−1 25 x 2， 解得：x1=−7.5，x2=7.5， ∴EF=7.5−(−7.5)=15 (m )， ∵15m>10m． ∴船的速度不变，它能安全通过此桥． 答：该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是15m，它能安全通过此桥． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大 小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 9．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公在入处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若 将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2 所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位： m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a( x−h) 2+k(a<0)． (1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 x/m 2 3 6 8 1 0 12 竖直高度 y/m 4 54 72 64 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系 y=a( x−h) 2+k(a<0)． (2)一段时间后，公重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位： m）近似满足函数关系y=−0.288( x−5) 2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的 距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1__________d2(填“¿”、“¿”或“¿”）． 【答】(1)y=−0.2( x−6) 2+7.2 (2)¿ 【分析】（1）由表格得当x=2时，y=4，当x=1