第1章 数与式（测试）（解析版）

第一章 数与式 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．【原创题】《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系： 1 亿＝1 万×1 万，1 兆＝1 万×1 万×1 亿，则1 兆等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】将1 万表示成 ，1 亿表示成 ，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1 兆＝1 万×1 万×1 亿， 1 ∴兆＝ ， 故选：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中的范围是 ，是整数，正确 确定，的值是解答本题的关键． 2．不一定相等的一组是（ ） ． 与 B． 与 ． 与 D． 与 【答】D 【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即 可得到结论． 【详解】解： = ，故选项不符合题意； B ，故选项B 不符合题意； ，故选项不符合题意； D ，故选项D 符合题意， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算 法则是解答此题的关键． 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 3．照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示 物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】利用分式的基本性质，把等式 恒等变形，用含f、v 的代数式表示u． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 4．与 结果相同的是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答． 【详解】 ∵ ，且选项B、、D 的运算结果分别为：4、6、0 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混 合运算的性质，即可得到答． 5．若 取1442，计算 的结果是（ ） ．-100 B．-144．2 ．1442 D．-001442 【答】B 【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键． 6．【原创题】要比较 与 中的大小（x 是正数），知道 的正负就可以判断，则下列 说法正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】将 进行化简得到 ，利用x 是正数，可得出 ，即可判断和B 的大小， 进而可得答． 【详解】解：由题意可知： ∵ ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 故选：． 【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简． 7．已知 ，则 （ ） ．y B． ． D． 【答】D 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得 ，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“ ”是解本题的关键． 8．已知： ， ， ，则，b，大小关系是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】首先求出 ， ，的值，然后根据实数大小比较的方法，判断出 ， ，大小关系即可． 【详解】 ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键要明确：正实数 负实数，两个负实数 绝对值大的反而小． 【新考法】 数学与规律探究——乘方类规律 9．我国宋代数学家杨辉发现了 （ ，1，2，3，…）展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ） ．64 B．128 ．256 D．612 【答】 【分析】由“杨辉三角”的规律可知，（+b）8所有项的系数和为28，即可得出答． 【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知， 展开式中所有项的系数和为1， 展开式中所有项的系数和为2， 展开式中所有项的系数和为4， 展开式中所有项的系数和为8， …… 展开式中所有项的系数和为 ， 展开式中所有项的系数和为 ． 故选：． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规 律． 10．对于多项式 ，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b 和d 进行“加 负运算”，得到： ．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”， 乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ） ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到 ；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代 数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到 16 个不同的代数式 ．0 B．1 ．2 D．3 【答】 【分析】①乙同学第一次对和d，第二次对和e 进行加负运算，可得①正确；若乙同学对和ｂ进行加负运 算得： ，可得其相反的代数式为 ，则甲同学对、d、e 进行加负运算，可得与之相反的代数式，同理乙同学可改变字母 或 或 或 或 或 或 或 或 ，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，可得②正确；若固定改变，乙同学可改变 字母 或 或 或 ；若固定改变b，乙同学可改变字母 或 或 ；固定改变，乙同学可改变字母 或 ；固定改变d，乙同学可改变字母 ，可得③错误，即可． 【详解】解：①乙同学第一次对和d 进行加负运算得 ； 第二次对和e 进行加负运算得 ，故①正确； ②若乙同学对和ｂ进行加负运算得： ， 则其相反的代数式为 ， ∵甲同学对、d、e 进行加负运算得： ， 同理乙同学可改变字母 或 或 或 或 或 或 或 或 ，甲同学都可以通过“加负运算”后得 到与之相反的代数式，故②正确； 若固定改变，乙同学可改变字母 或 或 或 ； 若固定改变b，乙同学可改变字母 或 或 ； 固定改变，乙同学可改变字母 或 ； 固定改变d，乙同学可改变字母 ， 所以一共有4+3+2+1=10 种，故③错误． 故选： 【点睛】本题主要考察逻辑分析，注意甲乙同学可改变字母个数的不同是解题的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11 【原创题】 1 2024 的倒数是_________|-2024|的相反数是_________ - [+(-2024)]= _________ 【答】2024,-2024,-2024 12．写出一个无理数x，使得 ，则x 可以是 （只要写出一个满足条件的x 即可） 【答】答不唯一（如 等） 【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π 的数， 【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足 即可； 所以可以写： ①开方开不尽的数： ②无限不循环小数， ， ③含有π 的数 等．只要写出一个满足条件的x 即可． 故答为：答不唯一（如 等） 【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限 不循环小数，③含有π 的数． 【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学 13．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张， 根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如 图所示，请帮小明列出一个结果等于24 的算式 ． 【答】（5-3+2）×6（答不唯一） 【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （5-3+2）×6＝24， 故答为：（5-3+2）×6（答不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键． 14．如果单项式 与 的和是单项式，那么 ． 【答】 【分析】由题意推出 与 是同类项，即可求解． 【详解】解：由题意得： 与 是同类项， ， ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查同类项的定义：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相 同，那么就称这两个单项式为同类项．掌握相关定义即可求解． 15．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1 块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1 块，再取乙纸片4 块，还需取丙纸片 块． 【答】 4 【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可． 【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为 ∴取甲、乙纸片各1 块，其面积和为 ； 故答为： ． （2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1 块，再取乙纸片4 块，则它们的面积和为 ，若再加上 （刚好是4 个丙），则 ，则刚好能组成边长为 的正 方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4 块． 故答为：4． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点， 灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想． 【新考法】 信息题 16．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的 日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相 同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000 个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门 用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000 个方格只有200 个方格作为数据码．根据相关数学知识，这 200 个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名友对 的理解如下： YYDS（永远的神）： 就是200 个2 相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）： 等于 ； XD（觉醒年代）： 的个位数字是6； QGY（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大． 其中对 的理解错误的友是 （填写名字母代号）． 【答】DDDD 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将 化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2 的乘方的个位数字的规律 即可判断XD（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得 ，即可判 断QGY（强国有我）的理解是正确的． 【详解】 是200 个2 相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的； ，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的； ， 2 的乘方的个位数字4 个一循环， ， 的个位数字是6，XD（觉醒年代）的理解是正确的； ， ，且 ，故QGY（强国有我）的理解是正确的； 故答为：DDDD． 【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的 关键． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分，23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学 17．如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数 （x 为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减 去球上的数． (1)若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果； (2)佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3，求出x 的值． 【答】(1) (2)x 的值为 【分析】（1）由题意得， ，计算求解即可； （2）由题意得， ，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴结果为3； （2）解：由题意得， ， ∴ ，解得 ， ∴x 的值为 ． 【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，解一元一次方程．解 题的关键在于根据题意列方程并正确的计算求解． 18．【原创题】根据 这条性质，解答下列问题： (1)当 ________时， 有最小值，此时最小值为________； (2)已知 ， 互为相反数，且 ， ，求 的值． 【答】(1) ； (2) / 【分析】（1）根据 ，可知 ，即最小值为，此时 ，解出 即可； （2）根据 ， 互为相反数，可知 ，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当 时， 有最小值， ∴ ， 故答为： ；． （2）解：∵ ， 互为相反数， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关 键． 19．发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两 个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，请把10 的一半表示为两个正整数的平方和． 探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，，请论证“发现”中的结论正确． 【答】验证： ；论证见解析 【分析】通过观察分析验证10 的一半为5， ；将m 和代入发现中验证即可证明． 【详解】证明：验证：10 的一半为5， ； 设“发现”中的两个已知正整数为m，， ∴ ，其中 为偶数， 且其一半 正好是两个正整数m 和的平方和， “ ∴发现”中的结论正确． 【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键． 20．（1）计算： ． （2）化简求值： ，其中 ． 【答】（1） ；（2） ． 【分析】（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再 计算实数的混合运算即可得； （2）先计算分式的加法运算，再根据 得出 代入求值即可得． 【详解】解：（1）原式 ， ， ； （2）原式 ， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练 掌握各运算法则是解题关键． 21．已知数轴上有两个点：－3，B：1． (1)求线段B 的长； (2)若 ，且m<0；在点B 右侧且到点B 距离为5 的点表示的数为． ①求m 与； ②计算2m++m； 【答】(1)4 (2)①m=－2，=6；②－10 【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算方法求解； （2）①先根据m 的绝对值及m 的取值范围求出m 值，再根据与1 的距离为5，求出值； ②将①中的m、的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为－3，B 点表示的数为1， ∴B=1－（－3）=4． （2）解：①∵ ，且m<0， ∴m=－2， ∵在点B 右侧且到点B 距离为5 的点表示的数为， =1+5=6 ∴ ． ②当m=－2，=6 时， 原式=2×（－2）+6+（－2）×6 =－4+6－12 =－10． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数轴上两点间距 离计算方法（较大数减去较小数）是解题关键． 22．仔细阅读下列解题过程： 若 ，求 的值． 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知 ，求 的值； (2)已知 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【答】(1) (2) ， (3) 【分析】（1）首先把第3 项 裂项，拆成 ，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得 x 和y，代入求得数值； （2）首先把第2 项 裂项，拆成 ，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得和b； （3）先把 代入 ，得到关于和t 的式子，再仿照（1）（2）题求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幂等，对于项数较多的多项式因式分 解，掌握分组分解法是解题的关键． 【新考法】与实数有关的新定义问题 23．对于一个各数位上的数字均不为0 的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称是m 的“和倍数”． 例如：∵ ，∴247 是13 的“和倍数”． 又如：∵ ，∴214 不是“和倍数”． (1)判断357，441 是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数是12 的“和倍数”，，b，分别是数其中一个数位上的数字，且 ．在，b，中任选两个组 成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位数记为 ，若 为整数，求出满足条 件的所有数． 【答】(1)357 不是15“和倍数”，441 是9 的“和倍数”；理由见解析 (2)数可能为732 或372 或516 或156 【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可； （2）先根据三位数是12 的“和倍数”得出 ，根据 ， 是最大的两位数， 是 最小的两位数，得出 ， （k 为整数），结合 得出 ，根据已知条件得出 ，从而得出 或 ，然后进行分类讨论即可得出答． 【详解】（1）解：∵ ， 357 ∴ 不是15“和倍数”； ∵ ， 441 ∴ 是9 的“和倍数”． （2）∵三位数是12 的“和倍数”， ∴ ， ∵ ， ∴在，b，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数 ，最小的两位数 ， ∴ ， ∵ 为整数， 设 （k 为整数）， 则 ， 整理得： ， 根据 得： ， ∵ ， ∴ ，解得 ， “ ∵和倍数”是各数位上的数字均不为0 的三位自然数， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 把 代入 得： ， 整理得： ， ∵ ，k 为整数， ∴ 或 ， 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ，或 ， ， ， 要使三位数是12 的“和倍数”，数必须是一个偶数， 当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ， ∵ ， ∴ 是12 的“和倍数”， ∵ ， ∴ 是12 的“和倍数”； 当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ， ∵ ， ∴ 不是12 的“和倍数”， ∵ ， ∴ 不是12 的“和倍数”； 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ， ， ，组成的三位数为516 或156， ∵ ， ∴ 是12 的“和倍数”， ∵ ， ∴ 是12 的“和倍数”； 综上分析可知，数可能为732 或372 或516 或156． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性， 是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度． 24．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在