第6章 圆（测试）（解析版）

第六章 圆 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．如图所示，A (2❑ √2,0)，AB=3 ❑ √2，以点为圆心，B 长为半径画弧交x 轴负半轴于点，则点的坐标为 （ ） ．(3 ❑ √2,0) B．(❑ √2,0) ．(−❑ √2,0) D．(−3 ❑ √2,0) 【答】 【分析】先求得的长，从而求出的长即可． 【详解】解：∵A (2❑ √2,0)， = ∴2❑ √2， ∵AB=3 ❑ √2，以点为圆心，B 长为半径画弧交x 轴负半轴于点， ∴AC=AB=3 ❑ √2， ∴OC=AC−OA=3 ❑ √2−2❑ √2=❑ √2， ∵点为x 轴负半轴上的点， ∴(−❑ √2,0)， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确B=是解题的关键． 2．【原创题】在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心到直线l 的距离为3，点P 为圆上的一个动点， 则点P 到直线l 的最大距离是（ ） ．2 B．5 ．6 D．8 【答】B 【分析】过点O作OA ⊥l于点A，连接OP，判断出当点P为AO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的 距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点O作OA ⊥l于点A，连接OP， ∴OA=3，OP=2， ∴当点P为AO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，最大距离为PA=3+2=5， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点P到直线l的距离最大时，点P的位置是解题关键． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E 为B 延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是 （ ） ．65° B．115° ．130° D．140° 【答】 【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根 据圆周角定理即可求出∠BOD的度数． 【详解】解：∵∠DCE=65°， ∴∠DCB=180°−∠DCE=180°−65°=115°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠DCB=180°， ∴∠BAD=65°， ∴∠BOD=2∠BAD=2×65°=130°， 故选：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 4．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．´ AB是⊙O的一部分，D是´ AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA， OB．已知AB=24m，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（ ） ．13m B．16m ．17m D．26m 【答】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC=BC=1 2 AB=12cm，再设⊙O的半径OA为 R cm，则OC=(R−8)cm．在Rt △OAC中根据勾股定理列出方程R 2=12 2+( R−8) 2，求出R即可． 【详解】解：∵ ´ AB是⊙O的一部分，D是´ AB的中点，AB=24 cm， ∴OD⊥AB，AC=BC=1 2 AB=12cm． 设⊙O的半径OA为R cm，则OC=OD−CD=( R−8)cm． 在Rt △OAC中，∵∠OCA=90°， ∴O A 2=A C 2+OC 2， ∴R 2=12 2+( R−8) 2， ∴R=13， 即⊙O的半径OA为13cm． 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙O的半径OA为R cm，列出关于R的方程是解题的 关键． 5．【创新题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC ,OD．若⊙O的半径为 m,∠AOD=∠α，则下列结论一定成立的是（ ） ．OE=m⋅tan α B．CD=2m⋅sin α ．AE=m⋅cosα D．S△COD=m 2⋅sin α 【答】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E， ∴DE=1 2 CD 在RtΔEDO中，OD=m，∠AOD=∠α ∴tan α = DE OE ∴OE= DE tan α = CD 2tan α ，故选项错误，不符合题意； 又sin α= DE OD ∴DE=OD·sin α ∴CD=2 DE=2m·sin α，故选项B 正确，符合题意； 又cosα= OE OD ∴OE=OD·cosα=m·cosα ∵AO=DO=m ∴AE=AO−OE=m−m·cosα，故选项错误，不符合题意； ∵CD=2m·sin α，OE=m·cosα ∴S ΔCOD=1 2 CD×OE=1 2 ×2m·sin α ×m·cosα=m 2sin α ·cosα，故选项D 错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂 径定理和锐角三角函数的定义． 6．已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为π r 2，则△ABC的面积为（ ） ．1 2 rl B．1 2 πrl ．rl D．πrl 【答】 【分析】由题意可得S△AOB=1 2 AB×OE=1 2 AB×r，S△BOC=1 2 BC ×r，S△AOC=1 2 AC ×r，由面积关 系可求解． 【详解】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF， OD， ∵AB切⊙O于E， ∴OE⊥AB，OE=r， ∴S△AOB=1 2 AB×OE=1 2 AB×r， 同理：S△BOC=1 2 BC ×r， S△AOC=1 2 AC ×r， ∴S=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1 2 AB×r+ 1 2 BC ×r+ 1 2 AC ×r=1 2 ( AB+BC+ AC )×r， ∵l=AB+BC+ AC， ∴S=1 2 lr， 故选 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键． 7．【创新题】如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r， ∠A=α，则(BF+CE−BC )的值和∠FDE的大小分别为（ ） ．2r，90°−α B．0，90°−α ．2r，90°−α 2 D．0，90°−α 2 【答】D 【分析】如图，连接IF ，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接IF ，IE． ∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF=BD，CD=CE，IF ⊥AB，IE⊥AC， ∴BF+CE−BC=BD+CD−BC=BC−BC=0，∠AFI=∠AEI=90°， ∴∠EIF=180°−α， ∴∠EDF=1 2 ∠EIF=90°−1 2 α． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性 质，属于中考常考题型． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D=120°，则´ AC的长是（ ） ．π B．2 3 π ．2π D．4 π 【答】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B=60°，由圆周角定理得到∠AOC=120°，根据弧长的公式 即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°， ∴∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， ∴´ AC的长¿ 120 π ×3 180 =2π． 故选：C． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是 解题的关键． 9．已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ❑ √3 2 ，则这个正多边形的边数是（ ） ．4 B．6 ．7 D．8 【答】B 【分析】如图，为正多边形的中心，BC为正多边形的边，AB，AC为正多边形的半径，AD为正多边形 的边心距，由AD BC = ❑ √3 2 可得AD BD =❑ √3，可得∠B=60°，而AB=AC，可得△ABC为等边三角形，从而 可得答． 【详解】解：如图，为正多边形的中心，BC为正多边形的边，AB，AC为正多边形的半径，AD为正多 边形的边心距， ∴AB=AC，AD⊥BC，AD BC = ❑ √3 2 ， ∴BD=CD=1 2 BC， ∴AD 2BD = ❑ √3 2 ，即AD BD =❑ √3， ∴tan∠B= AD BD =❑ √3， ∴∠B=60°，而AB=AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴多边形的边数为：360 60 =6， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 10．【原创题】如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心的两条直线l1、l2的夹角为 60°，则图中的阴影部分的面积为（ ） ．4 3 π−❑ √3 B．4 3 π− ❑ √3 2 ．2 3 π−❑ √3 D．2 3 π− ❑ √3 2 【答】 【分析】如图，连接AO，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD 为等边三角形，证明扇形AOQ与扇形COG重合，可得S阴影=S 扇形COD−S△COD，从而可得答． 【详解】解：如图，连接AO，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD为等边三角形， ∴∠AOQ=∠DOH，∠COD=∠GOH=60°， ∴∠COG=∠DOH=∠AOQ， ∴扇形AOQ与扇形COG重合， ∴S阴影=S 扇形COD−S△COD， ∵△COD为等边三角形，OC=OD=2，过O作OK ⊥CD于K， ∴∠COD=60°，CK=DK=1，OK= ❑ √2 2−1 2=❑ √3， ∴S阴影=S 扇形COD−S△COD=60 π ×2 2 360 =1 2 ×2×❑ √3=2π 3 −❑ √3； 故选 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题 的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=¿ ． 【答】1 【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本 题的关键，首先利用切线的性质证明四边形OECF是正方形，得到CE=CF=r，再利用切线长定理得到 AE=3−r，BF=4−r，最后由AD+BD=AB列方程即可求解． 【详解】设△ABC的内切圆与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F， ∴OE⊥AC，OF ⊥BC， ∵∠C=90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵CE=CF， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE=CF=OE=r， ∴AE=3−r，BF=4−r， ∵AD=AE，BD=BF， ∴AD=3−r，BD=4−r， 在Rt △ABC中，AB= ❑ √A C 2+BC 2= ❑ √3 2+4 2=5， ∵AD+BD=AB， ∴3−r+4−r=5， 解得 r=1． 故答为：1． 12．如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，将△ABC绕点C逆时针旋转到 △EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为 【答】❑ √3 π 【分析】首先证明△BCD是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在Rt △ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3， ∴AB=2BC=6， 由旋转的性质得CE=CA= ❑ √A B 2−BC 2=3 ❑ √3，∠ACE=∠BCD=90°−∠ACD， CB=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°=∠ACE， ∴点A的运动路径的长为60⋅π ⋅3 ❑ √3 180 =❑ √3 π． 故答为：❑ √3 π． 【点睛】本题考查了旋转变换，含30°直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识， 解题的关键是证明△BCD是等边三角形． 13．圆锥的高为2❑ √2，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆 锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）． 【答】 120 3 π 【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线 为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径¿ ❑ √3 2−(2❑ √2) 2=1， ∴该圆锥底面周长¿2π， ∵圆锥母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为3， ∴nπ ×3 180 =2π，解得：n=120， 即展开图（扇形）的圆心角是120 度， 圆锥的侧面积¿ 1 2 lr=1 2 ×2π ×3=3 π， 故答为：120，3 π． 【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长l= nπr 180，扇 形面积¿ 1 2 lr=nπ r 2 360 ． 14．如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的 直径AD=¿ ． 【答】4 ❑ √2 【分析】连接CD，OC，根据在同圆中直径所对的圆周角是90°可得∠ACD=90°，根据圆周角定理可 得∠COD=∠COA，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC=CD，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接CD，OC，如图： ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠DAC=∠ABC， ∴∠COD=∠COA， ∴AC=CD， 又∵AC=4， ∴CD=4， 在Rt △ACD中，AD= ❑ √A C 2+C D 2= ❑ √4 2+4 2=4 ❑ √2， 故答为：4 ❑ √2． 【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90°，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股 定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 15．小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和 正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9 里到达城堡边，再往 前走6 里到达树下．则该城堡的外围直径为 里． 【答】9 【分析】由AB切圆于D，BC切圆于，连接OD，得到OD⊥AB，OC ⊥BC，BD=BC=9里，由勾股 定理求出AC= ❑ √A B 2−BC 2=12，由tan A=OD AD = BC AC ，求出OD=4.5（里），即可得到答． 【详解】解：如图，⊙O表示圆形城堡， 由题意知：AB切圆于D，BC切圆于，连接OD， ∴OD⊥AB，OC ⊥BC，BD=BC=9里， ∵AD=6里， ∴AB=AD+BD=15里， ∴AC= ❑ √A B 2−BC 2=12， ∵tan A=OD AD = BC AC ， ∴OD 6 = 9 12， ∴OD=4.5（里）． ∴城堡的外围直径为2OD=9（里）． 故答为：9． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到 tan A=OD AD = BC AC ，求出OD长即可． 16．【创新题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，点M 为BC的中点，E 是BM上的一点，连 接AE，作点B 关于直线AE的对称点B '，连接D B '并延长交BC于点F．当BF最大时，点B '到BC的距离 是 ． 【答】16 5 【分析】如图，由题意可得：B '在⊙A上，过B '作B ' H ⊥BC于H，由点B 关于直线AE的对称点B '，可 得AB=A B '，BE=B ' E，∠AEB=∠AE B '，∠ABE=∠A B ' E，当DE与⊙A切于点B '时，BF最大， 此时DF ⊥A B '，证明E，F重合，可得∠DAE=∠AEB=∠AE B '，AD=DE=10，求解 BE=B ' E=4，证明△E B ' H ∽△EDC，可得E B ' ED = B ' H CD ，从而可得答． 【详解】解：如图，由题意可得：B '在⊙A上，过B '作B ' H ⊥BC于H， ∵点B 关于直线AE的对称点B '， ∴AB=A B '，BE=B ' E，∠AEB=∠AE B '，∠ABE=∠A B ' E， 当DE与⊙A切于点B '时，BF最大，此时DF ⊥A B '， ∴∠ABE=∠A B ' F=90°， ∴E，F重合， ∴∠AEB=∠AE B '， ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，∠C=90°，AD=BC=10，AB=CD=8， ∴∠DAE=∠AEB=∠AE B '， ∴AD=DE=10， ∴CE= ❑ √10 2−8 2=6， ∴BE=B ' E=4， ∵B ' H ⊥BC，∠C=90°， ∴B ' H ∥CD， ∴△E B ' H ∽△EDC， ∴E B ' ED = B ' H CD ， ∴4 10= B ' H 8 ， ∴B ' H=16 5 ， ∴点B '到BC的距离是16 5 ． 故答为：16 5 ． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基 本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分，23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．如图，AB是⊙的弦，半径OC ⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC． (1)求证：∠BAC=∠E； (2)若AB=8，DC=2，CE=3 ❑ √10，求CF的长． 【答】(1)见解析 (2)2❑ √10 3 【分析】（1）由垂径定理，得AD=BD ´ AC= ´ BC，由圆周角定理，得∠BAC=∠E； （2）可证△ACF ∽△ECA得AC EC =CF CA ；Rt △ADC中，勾股定理求得AC= ❑ √A D 2+DC 2=2❑ √5，于 是CF=2❑ √10 3 【详解】（1）证明：∵OC ⊥AB OC是⊙O的半径 ∴AD=BD， ´ AC= ´ BC（垂直