第8章 统计与概率（测试）（解析版）

第八章 统计与概率 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．下列说法正确的是（ ） ．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B．抛出的篮球会下落是随机事件 ．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2 =2，S乙 2 =2.5，则甲组数据较稳定 【答】D 【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故不符合题意； B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B 不符合题意； 、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2 =2，S乙 2 =2.5，则甲组数据较稳定，故D 符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组 数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与 其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念． 2．4 月15 日是全民国家安全育日某校为了摸清该校1500 名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取 了150 名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ） ．1500 名师生的国家安全知识掌握情况 B．150 ．从中抽取的150 名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的150 名师生 【答】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分 个体，据此即可判断． 【详解】解：样本是从中抽取的150 名师生的国家安全知识掌握情况． 故选：． 【点睛】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象． 总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 3．空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映 上述信息，宜采用的统计图是( ) ．条形统计图 B．折线统计图 ．扇形统计图 D．频数分布直方图 【答】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的 百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂 质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题 的关键． 4．【原创题】长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（ ） ．这周最高气温是32℃ B．这组数据的中位数是30 ．这组数据的众数是24 D．周四与周五的最高气温相差8℃ 【答】B 【分析】根据折线统计图，可得答． 【详解】解：、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故不符合题意； B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B 符合题意； 、这组数据的众数是24，说法正确，故不符合题意； D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为 32−24=8（℃），说法正确，故D 不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键． 5．【创新题】若一组数据x1, x2, x3,⋯, xn的方差为2，则数据x1+3, x2+3, x3+3,⋯, xn+3的方差是 （ ） ．2 B．5 ．6 D．11 【答】 【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不 会变，方差不变． 【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为x，现在 的平均数为x+3， 原来的方差s1 2=1 n [( x1−x) 2+( x2−x) 2+…+( xn−x) 2]=2， 现在的方差S2 2=1 n [(x1+3−x−3) 2+(x2+3−x−3) 2+…+(xn+3−x−3) 2]， ¿ 1 n [( x1−x) 2+( x2−x) 2+⋯+( xn−x) 2]， ¿2． 故选：． 【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方 差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数， 方差变为这个数的平方倍． 6．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差 分别记为S甲 2 和S乙 2 ，则S甲 2 与S乙 2 的大小关系是（ ） 测试次 数 1 2 3 4 5 甲 5 1 9 3 8 0 乙 8 6 8 6 7 ．S甲 2 >S乙 2 B．S甲 2 <S乙 2 ．S甲 2 =S乙 2 D．无法确定 【答】 【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答． 【详解】解：甲的平均数为5+10+9+3+8 5 =7， 甲的方差为S甲 2 =1 5 [(5−7) 2+(10−7) 2+(9−7) 2+(3−7) 2+(8−7) 2]=6.8， 乙的平均数为8+6+8+6+7 5 =7， 乙的方差为S甲 2 =1 5 [(8−7) 2+(6−7) 2+(8−7) 2+(6−7) 2+(7−7) 2]=0.8， ∵0.8<6.8， ∴S甲 2 >S乙 2 ． 故选：． 【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设个数据，x1，x2，…xn的平均数为 x= 1 x (x1+x2+⋯xn)，则方差S 2=1 n [(x1−x) 2+(x2−x) 2+⋯+(xn−x) 2]，它反映了一组数据的波动大小，方 差越大，波动性越大，反之也成立． 7．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3 个标有“北斗”，2 个标有“天眼”，5 个标有“高铁” 的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1 个小球，并对小球标记的内容进行介绍， 下列叙述正确的是（ ） ．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 ．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【答】 【分析】根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答． 【详解】解：盒中小球总量为：3+2+5=10（个）， 摸出“北斗”小球的概率为：3 10， 摸出“天眼”小球的概率为：2 10=1 5， 摸出“高铁”小球的概率为：5 10=1 2， 因此摸出“高铁”小球的可能性最大． 故选． 【点睛】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键． 8．【原创题】剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物 质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图”为主题的5 张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将 书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图既是轴对称图形又是中 心对称图形的概率是（ ） ．4 5 B．3 5 ．2 5 D．1 5 【答】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如 果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进 行逐一判断，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：共有5 个书签图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第2 张与第4 张书签图片，共2 张， ∴小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是2 5， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，概率公式求概率，熟练掌握以上知识是解题的关 键． 9．劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数x（单位：次），按劳动次数分为4 组：0≤x<3， 3≤x<6，6≤x<9，9≤x<12，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家 庭劳动次数不足6 次的概率是（ ） ．0.6 B．0.5 ．0.4 D．0.32 【答】 【分析】利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：P= 10+20 10+20+14+6 =3 5=0.6； 故选． 【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息． 10．【原创题】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下 列说法正确的是（ ） ．试验次数越多，f 越大 B．f 与P 都可能发生变化 ．试验次数越多，f 越接近于P D．当试验次数很大时，f 在P 附近摆动，并趋于稳定 【答】D 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个 性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．某厂生产了1000 只灯泡为了解这1000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50 只灯泡进行检测，获得 了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿 命 x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x ≥2800 灯泡只 数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000 只灯泡中使用寿命不小于2200 小时的灯泡的数量为 只． 【答】460 【分析】用1000 乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200 小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】解：估计这1000 只灯泡中使用寿命不小于2200 小时的灯泡的数量为1000× 17+6 50 =460（只）， 故答为：460． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确． 12．一个仅装有球的不透明布袋里只有6 个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是 红球的概率为2 5，则n=¿ ． 【答】9 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：∵从中任意摸出一个球是红球的概率为2 5， ∴ 6 6+n=2 5， 去分母，得6×5=2 (6+n)， 解得n=9， 经检验n=9是所列分式方程的根， ∴ n=9， 故答为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 13．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的 测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经 验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5:2:3的比例计算其总成绩，并录用总成绩 最高的应聘者，则被录用的是 ． 【答】乙 【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解． 【详解】解：x甲=75× 5 10 +80× 2 10 +80× 3 10=77.5， x乙=85× 5 10 +80× 2 10 +70× 3 10=79.5， x丙=70× 5 10 +78× 2 10 +70× 3 10=71.6， ∵71.6<77.5<79.5 ∴被录用的是乙， 故答为：乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 14．【原创题】小惠同学根据某市统计局发布的2023 年第一季度高新技术产业产值数据，绘制了如图所 示的扇形统计图，则“新材料”所对应扇形的圆心角度数是 ． 【答】72°/72度 【分析】根据“新材料”的占比乘以360°，即可求解． 【详解】解：“新材料”所对应扇形的圆心角度数是20%×360°=72°， 故答为：72°． 【点睛】本题考查了求扇形统计图的圆心角的度数，熟练掌握求扇形统计图的圆心角的度数是解题的关键． 15．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的种候 鸟的情况，从中捕捉40 只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200 只种候鸟中有10 只佩有 识别卡，由此估计该湿地约有 只种候鸟． 【答】800 【分析】在样本中“200 只种候鸟中有10 只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也 适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有x 只种候鸟， 则200：10＝x：40， 解得x＝800． 故答为：800． 【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 16．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大 豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合 作用速率（单位：μmol⋅m ﹣2⋅s ﹣1），结果统计如下： 品 种 第一株 第二株 第三 株 第四株 第五 株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 【答】乙 【分析】分别求甲、乙两品中的方差即可判断； 【详解】解：S甲 2=1 5 [(32−25) 2+(30−25) 2+(25−25) 2+(18−25) 2+(20−25) 2]=29.6 S乙 2=1 5 [(28−25) 2+(25−25) 2+(26−25) 2+(24−25) 2+(22−25) 2]=4 S甲 2>S乙 2 ∴乙更稳定； 故答为：乙． 【点睛】本题主要考查根据方差判断稳定性，分别求出甲、乙的方差，方差越小越稳定，解本题的关键在 于知道方差的求解公式． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分，23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．如图，将下列3 张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上． (1)从中随机抽取1 张，抽得扑克牌上的数字为3 的概率为 ； (2)从中随机抽取2 张，用列表或画树状图的方法，求抽得2 张扑克牌的数字不同的概率． 【答】(1)2 3 (2)2 3 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表或画树状图，共有6 种等可能的结果，其中抽到2 张扑克牌的数字不同的结果有4 种，再由概率 公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，3 张扑克牌中，数字为2 的扑克牌有一张，数字为3 的扑克牌有两张， ∴从中随机抽取1 张，抽得扑克牌上的数字为3 的概率为2 3， 故答为：2 3； （2）解：画树状图如下： 如图，共有6 种等可能的结果，其中抽到2 张扑克牌的数字不同的结果有4 种， ∴抽得2 张扑克牌的数字不同的概率为P= 4 6 =2 3． 【点睛】本题考查用列表或画树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结 果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是能准确利用列表法或画树状图法找出总情况数及所求 情况数． 18．抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2 分，反面朝上记1 分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3 的概率． 【答】3 4 【分析】采用列表法列举即可求解． 【详解】根据题意列表如下： 由表可知，总的可能结果有4 种，两次之和不大于3 的情况有3 种， 故所求概率为：3÷4=3 4 ， 即两次分数之和不大于3 的概率为3 4 ． 【点睛】本题考查了用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，掌握用列表法或者树状图法列举求解概 率是解答本题的关键． 19．【原创题】甲、乙两位同学相约打乒乓球． (1)有款式完全相同的4 个乒乓球拍（分别记为，B，，D），若甲先从中随机选取1 个，乙再从余下的球拍 中随机选取1 个，求乙选中球拍的概率； (2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发 球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 【答】(1)1 4 (2)公平．理由见解析 【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍的结果数除以总的结果 数即可； （2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平． 【详解】（1）解：画树状图如下： 一共有12 种等可能的结果，其中乙选中球拍有3 种可能的结果， ∴乙选中球拍的概率¿ 3 12= 1 4 ； （2）解：公平．理由如下： 画树状图如下： 一共有4 种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2 种可能的结果， ∴甲先发球的概率¿ 2 4 =1 2， 乙先发球的概率¿ 4−2 4 =1 2， ∵1 2=1 2， ∴这个约定公平． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求 等可能事件的概率的方法是解题的关键． 20．小聪、小明参加了100 米跑的5 期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘 制成如下两个统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)这5 期的集训共有多少天？ (2)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？ (3)根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法． 【答】(1)55 天 (2)第3 期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了02 秒 (3)个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩 下降；集训的时间为10 天或14 天时，成绩最好等．（言之有理即可） 【分析】（1）根据图中的信息可知这5 期的集训各有多少天，求出它们的和即可； （2）由折线统计图可得第3 期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步时间可由折线统计图计算； （3）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答不唯一，只要合理即可． 【详解】（1）∵4+7+10+14+20