第14讲 二次函数的应用（讲义）（解析版）

第14 讲 二次函数的应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 题型01 最大利润/销量问题 题型02 方选择问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道问题 题型05 空中跳跃轨迹问题 题型06 球类飞行轨迹 题型07 喷泉问题 题型08 图形问题 题型09 图形运动问题 题型10 二次函数综合问题 类型一 线段、周长问题 类型二 面积周长问题 类型三 角度问题 类型四 特殊三角形问题 类型五 特殊四边形问题 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的 应用  能用二次函数解 决实际问题 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际 生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建 议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题 则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算 数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考 生在做题过程中更为细心对待。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1 审：仔细审题，理清题意； 2 设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当 的未知数； 3 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果 顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值 解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点 的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后 利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合 直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条 件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设 出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条 件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不 存在． 题型01 最大利润/销量问题 【例1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计 发现，甲商品从开始销售至销售的第x天总销量y1（千克）与x的关系如图1所示，且y1是x的二次函数． 乙商品从开始销售至销售第x天的总销量y2 (kg)，y2=ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2． (1)分别求出y1，y2与x的函数关系； (2)甲、乙两种商品购进量相差多少； (3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少． 【答】(1)y1=−x 2+30 x，y2=ωx=−3 x 2+60 x； (2)甲、乙两种商品购进量相差75kg (3)甲乙均在第1天销量最大，分别是29 kg、75kg． 【分析】（1）依据题意，设y1=a x 2+bx，结合图象上的点代入计算可以得解；又ω是关于x的一次函数， 过(0，60)，(20，0)，从而先求出ω与x的关系，再代入可以的y2的关系式； （2）依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解； （3）依据题意，设第t天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设y1=a x 2+bx， ∴¿， ∴y1=−x 2+30 x， 又ω是关于x的一次函数，过(0，60)，(20，0)， 设ω=kx+60， ∴0=20k+60， 解得k=−3， ∴ω=−3 x+60， ∴y2=ωx=−3 x 2+60 x； （2）解：由题意得，y1=−x 2+30 x=−(x−15) 2+225， ∵−1<0， ∴当x=15时，甲商品的最大值为225； 又y2=−3 x 2+60 x=−3( x−10) 2+300， ∵−3<0， ∴当x=10时，乙商品的最大值为300． ∴y乙−y甲=75 (kg )，即乙商品比甲商品多购进75 kg． 即甲、乙两种商品购进量相差75 kg； （3）解：第t天，乙商品销量：−3t 2+60t−¿ ¿3 (−2t+1)+60 ¿−6t+63， ∴当t=1时，ω乙=57． 此时甲商品销量：−t 2+30t−¿ ¿ (−2t+1)+30 ¿−2t+31， ∴当t=1时，ω甲=29． 答：甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75 kg． 【点睛】本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 【变式1-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）深圳某公司生产、B 两种玩具，每个B 玩具的成本是玩具的 15 倍，公司投入1600 元生产种玩具，3600 元生产B 种玩具，共生产玩具1000 个，请解答下列问题： (1)、B 两种玩具每个的成本分别是多少元？ (2)某大学生自主创业，在上销售B 玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进 货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8 元时，每天的销售量为120 件，销售单价每上涨1 元，每 天的销售量就减少20 件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答】(1)、B 两种玩具每个的成本分别是4 元和6 元 (2)当销售单价为9 元时利润最大为300 元 【分析】（1）设玩具每个的成本为x 元，B 玩具每个的成本为1.5 x元，根据 公司投入 “ 1600 元生产种玩 具，3600 元生产B 种玩具，共生产玩具1000 个 列方程求解，注意分式方程需要验根； ” （2）设销售单价为元，则销售量为：120−20 (a−8) 件，根据题意可得6≤a≤9，由题意列二次函数关 系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设玩具每个的成本为x 元，B 玩具每个的成本为1.5 x元． 根据题意得：1600 x + 3600 1.5 x =1000 解得：x=4 经检验 x=4是原方程的解． ∴1 .5 x=6 答：、B 两种玩具每个的成本分别是4 元和6 元． （2）解：设销售单价为元，则销售量为：120−20 (a−8) 件；由题可知a≥6且a−6≤50%×6 ∴6≤a≤9 根据题意得：w=(a−6) [120−20 (a−8)] =−20a 2+400a−1680 =−20 (a−10) 2+320 ∵−20<0 当6≤a≤9 时，w 随a 的增大而增大， ∴当销售单价为9 元时利润最大为300 元． 【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，找到题中的等量关系是解题的关键． 【变式1-2】（2023·安徽六安·校考二模）某厂家生产一种童电动玩具，3 月份前4 天生产的该童玩具售价 y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x 天 1 2 3 4 售价y/（元/个） 30 32 34 36 销量t/个 100 12 0 140 160 从第5 天开始工厂对外调整价格为28 元一个，据统计第5 天以后童电动玩具销量t（个）和第x 天的关系 为t=−x 2+50 x−100（5≤x ≤20，且x 为整数）． (1)直接写出销量t（个）与第x 天（前4 天）满足的关系式，并且求出第5 天以后第几天的销量最大，最大 值为多少？ (2)若成本价为20 元，求该工厂这些天（按20 天计）出售童电动玩具得到的利润（元）与x 的函数关系式， 直接写出第几天的利润最大及其最大值． 【答】(1)销量t（个）与第x 天（前4 天）满足的关系式为t=20 x+80（1≤x ≤4），第5 天以后第20 天 的销量最大，最大值为500； (2)（元）与x 的函数关系式为W =¿；第20 天时工厂利润最大，最大利润为4000 元． 【分析】（1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t 与第x 天满足的关系式，并根据第5 天以后童电 动玩具销量t（套）和第x 天的关系式，由函数性质求出最值； （2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答． 【详解】（1）解：由表格可知，前4 天销量t 与第x 天满足一次函数关系， 设t ＝kx+b把(1,100),(2,120)代入得： ¿， 解得¿， ∴销量t 与第x 天满足的关系式为t=20 x+80（1≤x ≤4）； ∵第5 天以后童电动玩具销量t（个）和第x 天的关系为t=−x 2+50 x−100=−（x−25） 2+525， ∵−1<0， ∴当x<25时，t 随x 的增大而增大， ∵5≤x ≤20， ∴当x=20时，t 有最大值，最大值为−(20−25) 2+525=500， ∴销量t（个）与第x 天（前4 天）满足的关系式为t=20 x+80（1≤x ≤4），第5 天以后第20 天的销量 最大，最大值为500； （2）解：设y 与x 的函数解析式为y=mx+n， 把(1,30),(2,32)代入得： ¿， 解得¿， ∴y 与x 的函数解析式为y=2 x+28， ①当1≤x ≤4时，W =(2 x+28−20)(20 x+80)=40 x 2+320 x+640=40( x+4) 2， 当x=4时，有最大值，最大值为40×(4+4) 2=2560； ②当5≤x ≤20时，W =(28−20)(−x 2+50 x−100)=−8( x−25) 2+4200， ∵−8<0,5≤x ≤20， ∴当x=20时，有最大值，最大值为−8×25+4200=4000， ∴第20 天时的最大值为4000 元． ∴（元）与x 的函数关系式为W =¿；第20 天时工厂利润最大，最大利润为4000 元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的 解析式． 题型02 方选择问题 【例2】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测） 樱花红陌上，邂逅在咸安 ，为迎接我区首届樱花文化旅游节 “ ” ， 某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20 元，设第x 天 （0<x ≤15）每件产品的成本价是y 元，y 与x 之间关系为：y=0.5 x+7，任务完成后，统计发现工人小 王第x 天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x 天创造的产品利润为元． (1)直接写出P 与x 之间的函数关系； (2)求与x 之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？ (3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288 元，于是，工厂制定如下奖励方：如果一个工 人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20 元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王 能获得多少元的奖金？ 【答】(1)P=¿ (2)W =¿，小王第8 天创造的利润最大，最大利润是324元 (3)180元 【分析】（1）结合图象，分段计算，当10≤x ≤15时，P=40，当0<x ≤10时，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意有：W =P× (20−y )，结合（1）的结果和y=0.5 x+7，即可求解，再分别求出当 0<x ≤10时和当10≤x ≤15时， 的最大值，二者比较即可作答； （3）根据题意可知：当W >288时，即可获得奖励，当0<x ≤10时，令W =288，即有 −x 2+16 x+260=288，解得x=2或者x=14，可得当2<x ≤10时可以获得奖励；当10≤x ≤15时， W >288，即有：W =−20 x+520>288，解得：10≤x<11.6，去除第10 天重复计算的奖励，问题得解． 【详解】（1）解：结合图象，分段计算， 当10≤x ≤15时，P=40， 当0<x ≤10时，设P 与x 之间的函数关系为：P=kx+b， ∵(10,40)，(0,20)， ∴¿，解得¿， 即此时P=2 x+20， 综上：P=¿； （2）根据题意有：W =P× (20−y )， ∵P=¿，y=0.5 x+7， ∴W =¿， 整理得：W =¿， 当0<x ≤10时，W =−x 2+16 x+260=−(x−8) 2+324， 即当x=8时，有最大值，最大值为W =324， 当10≤x ≤15时，W =−20 x+520， 即随着x 的增大而减小， ∴当x=10时，有最大值，最大值为W =320， ∵320<324， ∴当x=8时，有最大值，最大值为W =324， ∴小王第8 天创造的利润最大，最大利润是324元； （3）根据题意可知：当W >288时，即可获得奖励， 当0<x ≤10时，令W =288，即有−x 2+16 x+260=288， 解得x=2或者x=14， ∵0<x ≤10，函数W =−x 2+16 x+260开口朝下， ∴当W >288时，有2<x ≤10， 即此时可以获得奖励为：20× (10−2)=160（元）， 当10≤x ≤15时，W >288， 即有：W =−20 x+520>288， 解得：10≤x<11.6， 即此时可以获得奖励为：20×2=40（元）， ∵第10 天重复计算， ∴总计获得的奖励为：160+40−20=180（元）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一 次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键． 【变式2-1】（2023·四川乐山·统考二模）某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游 配套工厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为 y=a x 2+bx+c (a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关 系式为y=kx (k ≠0)，其图象为如图的实线所示． (1)求、b、k 的值． (2)若甲、乙两城一共生产50 件产品，请设计一种方，使得总生产成本最小． (3)从甲城把产品运往、B 两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y甲A=nx，y甲B=3 x；从乙城 把产品运往、B 两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y乙A=x，y乙B=2 x；现在地需要40 件，B 地需要10 件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含的式子表示）． 【答】(1)a= 1 4 ，b=1，k=3； (2)当甲城生产4 件，乙城生产46 件时，总成本最小； (3)当n=2时，总运费最小值为64 万元；当n<2时，总运费最小值为(4 n+56)万元；当n>2时，总运费最 小值为64 万元． 【分析】（1）根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和(1, 5 4)代入解析式即可求解； （2）由（1）可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w= 1 4 x 2+x+3 (50−x )，化简后根据二 次函数的最值判断即可； （3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为 (4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据题 意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果； 【详解】（1）∵y=a x 2+bx+c (a≠0)经过原点， ∴c=0， 将(2,3)和(1, 5 4)代入解析式y=a x 2+bx+c (a≠0)得¿， ②×4−①得：b=1， 代入 中得 ① a= 1 4 ， ∴¿， 将(2,6)代入y=kx中得k=3， ∴a= 1 4 ，b=1，k=3； （2）由（1）可得，甲：y= 1 4 x 2+x，乙：y=3 x， 设生产成本为w，则得到w= 1 4 x 2+x+3 (50−x )= 1 4 x 2−2 x+150= 1 4 (x−4 ) 2+146， ∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少， 50−4=46， ∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小； （3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为 (4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件， 由题意可得：¿， 解得：0≤m≤4， ∴p=mn+3 (4−m)+40−m+2 (10−4+m)， ¿mn+12−3m+40−m+12+2m， ¿mn−2m+64， ¿ (n−2)m+64， 当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小， ∴m=4时，p的值最小， 最小值为4 (n−2)+64=4 n+56； 当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大， 则m=0时，p的值最小，最小值为64； ∴当0≤n≤2时，总运费为(4 n+56)万元； 当n>2时，总运费为64万元． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题当 中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键． 题型03 拱桥问题 【例3】（2023·北京丰台·统考一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动． 某地计划进行一场划龙舟比赛，图1 是比赛途中经过的一座拱桥，图2 是该桥露出水面的主桥拱的示意图， 可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位： m）与到点的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.01 (x−30) 2+9，据调查，龙舟最高处距离 水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m． (1)水面的宽度OA=¿_______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答】(1)60 (2)4 条． 【分析】（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标即可得到答； （2）求出当y=5时，x 的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为9m即可得到答． 【详解】（1）解：令y=0，则−0.01 (x−30) 2+9=0， ∴(x−30) 2=900， 解得x=0或x=60， ∴A (60，0)， ∴OA=60m， 故答为：60； （2）解：令y=5，得−0.01 (x−30) 2+9=5， ∴(x−30) 2=400 解得x1=10，x2=50． ∴