第09讲 函数与平面直角坐标系（讲义）（解析版）

第09 讲 函数与平面直角坐标系 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 平面直角坐标系 题型01 用有序数对表示点的位置 考点二 点的坐标特征与变换 题型01 判断点所在的象限 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离 题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标 题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 题型06 探索点的坐标规律 类型一 沿坐标系水平运动的点的规律探查 类型二 沿坐标系翻折运动的点的规律探查 类型三 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探查 类型四 图形变换中点的规律探查 类型五 新定义问题中点的规律探查 考点三 坐标方法的简单应用 题型01 实际问题中用坐标表示位置 题型02 用方位角和距离确定物体位置 题型03 根据方位描述确定物体位置 题型04 平面直角坐标系中面积问题 类型一 直接利用面积公式求面积 类型二 已知三角形面积求点的坐标 类型三 利用割补法求面积 类型四 利用补形法求面积 类型五 与图形面积相关的存在性问题 考点四 函数 题型01 函数的概念辨析 题型02 根据实际问题列函数解析式 题型03 求自变量的取值范围 题型04 求自变量的值或函数值 题型05 函数图象的识别 题型06 从函数图象中获取信息 题型07 用描点法画函数图象 题型08 动点问题的函数图象 考点要求 新课标要求 命题预测 平面直角坐 标系  理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系 该专题内容是初中 代数最重要的部 分，是代数的基 础，非常重要，年 年都会考查，分值 为10 分左右预计 2024 年各地中考还 将出现，在选择、 填空题中出现的可 能性较大． 点的坐标 特征与变换  在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置 写出坐标  对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐 标，体会可以用坐标表达简单图形  在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标 的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系  在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方 向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系 坐标方法的 简单应用  在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置  在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 函数  探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解 函数的概念和表示法，能举出函数的实例;  能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;  能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值;  能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数 值的意义;  结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论 考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（ ，b） 1 有序数对（，b）与（b，）顺序不同，含义也不同 2 坐标轴上的点不属于任何象限 3 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当≠b 时，（，b）和（b，）是两个不同点的坐标 4 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐 标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系 相关概念 具体内容 平 面 直 角 坐 标 系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系 两轴 水平的数轴叫做x 轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y 轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面 象限 x 轴和y 轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点，过点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上的对应 的数、b 分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对(，b)叫做点的坐标，记作 (，b) （见图二） 题型01 用有序数对表示点的位置 【例1】．（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物 的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“，，T”，表示的动物是猫．当 听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ） ．牛 B．鱼 ．狗 D．猪 【答】 【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解． 【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，，G， 故选：． 【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键． 【变式1-1】嘉嘉乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的小艇A ，B，C的位置如图所示， 每相邻两个圆之间距离是1km，小圆半径是1km．若小艇B相对于游船的位置可表示为(−60°，2)，小 艇C相对于游船的位置可表示为(0° ,−1)向东偏为正，向西偏为负，下列关于小艇A相对于游船的位置表 示正确的是( ) ．小艇A (30°，3) B．小艇A (−30°，3) ．小艇A (30°，−3) D．小艇A (60°，3) 【答】 【分析】根据向东偏为正，向西偏为负，可得横坐标，根据每两个圆环之间距离是1千米，可得答． 【详解】解：图中小艇A相对于游船的位置表示(30°，3)， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用方向角表示横坐标，利用圆环间的距离表示纵坐标，注意向东偏 为正，向西偏为负． 【变式1-2】（2023 长阳县一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在 区域分别是（ ） D E F 4 遥墙国际机场 5 济南西站 野生动物世界 6 济南国际博 七星台风景区 雪野湖 ．E4，E6 B．D5，F5 ．D6，F6 D．D5，F6 【答】D 【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答． 【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6 故选：D 【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键． 【变式1-3】（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排 游玩顺序，如果用(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近． 【答】 (0,7) 天文馆 【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答． 【详解】解：∵(8,5)表示入口处的位置，(6,1)表示高空缆车的位置， ∴可建立如图所示平面直角坐标系： 由图可知：攀岩的位置可以表示为(0,7)，天文馆的位置离入口最近． 故答为：(0,7)，天文馆． 【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据(8,5)表示入口处的位置，(6,1) 表示高空缆车的位置，确定原点位置． 考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y) 的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x 轴 y=0 y 轴 x=0 原点 x=y=0 在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x 轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y 轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移个单位 （x-，y） 向右平移个单位 (x+，y) 向上平移个单位 (x，y+) 向下平移个单位 (x，y-) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同 用有 序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义 对称变换 关于x 轴对称 (x，-y) 关于y 轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m 对称 (2m-x，y) 关于y=对称 (x，2-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则 1）点P 到x轴的距离为|b|； 2）点P 到y轴的距离为|a|； 3）点P 到原点的距离为P＝ ❑ √a 2+b 2 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）：|MN|= ❑ √（x2−x1) 2+( y2−y1) 2 若B∥x 轴，则A( x A , y),B( xB, y)的距离为|x A−xB|； 若B∥y 轴，则A( x , y A),B( x , yB)的距离为|y A−yB|； 1）原点既是x 轴上的点，又是y 轴上的点 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y 轴上或在x 轴上 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y 轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐 标变大，向下平移纵坐标变小 P（ b a, ） a b x y O 题型01 判断点所在的象限 【例1】（2023 松阳县二模）在平面直角坐标系中，点P (1,−2)位于（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】D 【分析】根据平面直角坐标系内各点的坐标特征即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点P (1,−2)位于第四象限． 故答为：D． 【点睛】本题主要考查了坐标系内各点的坐标特征，掌握第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零 是解答本题的关键． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点A (−1，a+b)与点B (a−b,3)关于y 轴对称，则点C (−a,b)落在 （ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】B 【分析】直接利用关于y 轴对称的性质得出a,b的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答． 【详解】∵点A (−1，a+b)与点B (a−b,3)关于y 轴对称， ∴¿， 解得：¿， 则点C (−a,b)即C (−2,1)在第二象限． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称的点的坐标特征，正确得出a,b的值是解题关键． 【变式1-2】（2023·陕西宝鸡·统考三模）二次函数y=( x+m) 2+n的图像如图所示，则点(m,n)所在的象 限是（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据函数解析式得出顶点为（−m,n），根据图像可得−m>0，n<0，即可得出m<0，则 点(m,n)所在的象限即可判定． 【详解】解：∵二次函数y=( x+m) 2+n， ∴顶点为（−m,n）， 由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限， ∴−m>0，n<0， ∴m<0， ∴点(m,n)在第三象限． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的 关键． 【变式1-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点P (−5,a 2+1)所在的象限是（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】B 【分析】根据平方数的非负性判断出点P 的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵a 2≥0 ∴a 2+1≥1 ∴点P (−5,a 2+1)所在的象限是第二象限． 故选：B． 【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题关键． 【变式1-4】（2023 遂溪县三模）已知a<b<0，则点A(a−b,ab)在（ ）． ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】B 【分析】首先判断P点横纵坐标的符号，进而得出所在象限． 【详解】解：∵a<b<0， ∴a−b<0，ab>0， ∴点P(a−b,ab)在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握各象限内点的坐标符号是解决本题的关键． 【变式1-5】（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）若点P(a,b)在第二象限，则点Q(−b,−a)在第 象限． 【答】二 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数判断出、b 的正负情况，再根据各象限内点的 坐标特征解答． 【详解】∵点P(a,b)在第二象限，∴a<0,b>0，∴点Q(−b,−a)在第二象限．故答为：二． 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二 象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 【例2】在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P 的坐标 为( ) ．(3，1) B．(−3，1) ．(−1，3) D．(1，−3) 【答】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P 在第二象限内， ∴点P 的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点P 到x轴的距离为3，到y轴的距离为1， ∴点P 的坐标为(−1，3)． 故选： 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离 等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【变式2-1】（2023 邯郸市三模）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐 标为（ ） ．(4 ,−2) B．(−4,2) ．(−2,4 ) D．(2,−4 ) 【答】 【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴 的距离是横坐标的绝对值，可得答． 【详解】解：由到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，得： |x|=4，|y|=2． ∴x=± 4，y=±2 又点P位于第四象限， ∴x>0，y<0， ∴x=4，y=−2， ∴ P点坐标为(4 ,−2)， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得出 |x|=4，|y|=2是解题关键． 【变式2-2】（2022 温江区二模）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点P的坐 标是（ ） ．(3,1) B．(−1,3) ．(−1,−3) D．(−3,1) 【答】B 【分析】根据到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵点P 到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， ∴点P 的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 又∵点P在第二象限， ∴点P 的坐标为(−1,3)， 故选B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解 决本题的关键． 题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离 【例3】（2023·湖南长沙·统考一模）已知第三象限的点P(−4，−5)，那么点P 到x 轴的距离为（ ） ．−4 B．4 ．−5 D．5 【答】D 【分析】根据到x 轴的距离是纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点P(−4，−5)到x 轴的距离为|−5|=5， 故选：D． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是熟记到x 轴的距离是纵坐标的绝对值． 【变式3-1】（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是A (−2,1)，AB=5， 且∠AOB=90°．那么点B的到x轴的距离是（ ） ．2 B．4 ．2❑ √5 D．❑ √5 【答】B 【分析】过点A作AC ⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，进而得出∠BOD=∠CAO，根据 sin∠BOD=sin∠CAO，即可求解． 【详解】解：过点A作AC ⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠ACO=∠ODB=90°， ∠CAO+∠AOC=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠BOD=∠CAO， ∴ sin∠BOD=sin∠CAO， ∴CO AO = BD BO ， 又∵A的坐标是(−2,1)， ∴ AC=1，CO=2， ∴ AO= ❑ √A C 2+OC 2=❑ √5， ∵ AB=5，∠AOB=90°， ∴ BO= ❑ √A B 2−A O 2=2❑ √5， ∴ 2 ❑ √5= BD 2❑ √5， 解得：BD=4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标 【例4】（2023 福州一中一模）已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,2)， B(−1,−1)，C(3,−1)，则第四个顶点D的坐标为( ) ．(2,2) B．(3,2) ．(3,3) D．(2,3) 【答】B 【分析】根据题意描出点A ,B ,C，结合矩形的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)， ∴D (3,2), 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的等定义，数形结合是解题的关键． 【变式4-1】（2023·贵州贵阳·统考三模）若一个点的坐标为(−1,3)，则这个点在如图所示的平面直角体 系上的位置是（ ） ．点M B．点N ．点P D．点Q 【答】B 【分析】根据(−1,3)的坐标信息可得点在第二象限，从而可得答． 【详解】解：一个点的坐标为(−1,3)， 则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置是点， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，根据点的坐标确定点所在的象限是解本题的关键． 【变式4-2】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，将5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶 点M、N的坐标分别