第11讲 一次函数的应用（讲义）（解析版）

第11 讲 一次函数的应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 题型01 分配问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 几何问题 题型05 工程问题 题型06 分段计费问题 题型07 体积问题 题型08 调运问题 题型09 计时问题 题型10 现实生活相关问题 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数 的应用  能用一次函数解决实际问题 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理 解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和 方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考 中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的 是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息， 建立函数关系式是解题的关键 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方的设计问 题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x 和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x 的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方，解法有两种： ①可将所有求得的方的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方及最 值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或 线段涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 题型01 分配问题 【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方：①买一支钢笔赠送一本笔记 本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15 元， 每本笔记本定价为4 元．某顾客准备购买x 支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方购买所需费用为y1 元，选择第二种方购买所需费用为y2元． (1)请分别写出y1，y2与x 之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10 支钢笔，且只能选择其中一种优惠方，请你通过计算说明选择哪种方更为优惠． 【答】(1)y1=15 x+40, y2=15.2 x+32， (2)选择方②更为优惠，见解析 【分析】（1）根据两种优惠方，列出函数关系式即可； （2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：y1=15 x+4× (x+10−x )=15 x+40， y2=[15 x+4 (x+10)]×80%=15.2 x+32； （2）当x=10时，y1=15×10+40=190；y2=15.2×10+32=184 ∵190>184， ∴选择方②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键． 【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙 两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表 示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中 20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行 的人数均为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式； (2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取 总费用较少的一家． 【答】(1)甲旅行社：y=2000 x×0.8=1600 x；乙旅行社：¿ (2)甲旅行社 【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数 关系式； （2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 甲旅行社：y=2000 x⋅0.8=1600 x； 当0≤x ≤20时，y=2000 x⋅0.85=1700 x， 当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+(x−20)⋅2000⋅0.7=1400 x+6000， 故乙旅行社：¿ （2）解：依题意，把x=25代入y=1600 x， 则甲旅行社：y=1600×25=40000； 因为25>20 所以把x=25代入y=1400 x+6000中， 则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000； 因为41000>40000， 所以选择甲旅行社． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函 数的性质解答． 【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进、B 两种规格的书架，经市场调 查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表： 规 格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） 240 0 210 20 B 300 0 250 30 (1)如果在线上购买、B 两种书架20 个，共花费y 元，设其中种书架购买x 个，求y 关于x 的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若购买B 种书架的数量不少于种书架的2 倍，请求出花费最少的购买方，并计算按 照这种购买方线上比线下节约多少钱． 【答】(1)y=−50 x+5600 (2)购买种书架6 个，购买B 种书架14 个；线上比线下节约340 元 【分析】（1）设其中种书架购买x 个，则B 种书架购买(20−x) 个，根据表中的单价及运费列出函数关系 式即可； （2）根据购买B 种书架的数量不少于种书架的2 倍，求出x 的取值范围，再根据第（1）小题的函数关系 式，求出y 的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解． 【详解】（1）由题意得 y=210 x+250(20−x)+20 x+30(20−x) 整理得y=−50 x+5600 （2）由题意得20−x ≥2 x 解得x≤20 3 ∵−50<0 ∴ y 随x 的增大而减小 ∴ 当x=6 时，y 最小为−300+5600=5300 线下购买时的花费为240×6+300×14=5640 此时，购买B 种书架20-6=14 个 线上比线下节约5640-5300=340 元 所以，购买种书架6 个，购买B 种书架14 个；线上比线下节约340 元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题的 关键． 【变式1-3】（2021·贵州六盘水·统考二模）某班举行 学党史 知识竞赛活动，班主任安排小颖购买， “ ” B 两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景： (1)请计算出，B 两种物品的单价； (2)本次竞赛活动共需购买20 个物品，且物品的数量不少于B 物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方， 并说明理由． 【答】(1)种物品的单价是30 元，B 种物品的单价是15 元 (2)种物品购买7 个，B 种物品购买13 个最省钱，理由见解析 【分析】（1）设种物品的单价是x 元，B 种物品的单价是y 元，可得¿，即可解得答； （2）设种物品购买m 个，共需元，根据物品的数量不少于B 物品数量的一半，可得m≥62 3，＝30m+15 （20﹣ m）＝15m+300，根据一次函数性质即可得答． 【详解】（1）解：设种物品的单价是x 元，B 种物品的单价是y 元， 根据题意得：¿， 解得¿， 答：种物品的单价是30 元，B 种物品的单价是15 元； （2）解：设种物品购买m 个，B 种物品购买（20﹣ m）个，共需元， ∵物品的数量不少于B 物品数量的一半， ∴m≥20−m 2 ， 解得m≥62 3， 而＝30m+15（20﹣ m）＝15m+300， 15 ∵ ＞0， ∴随m 的增大而增大， ∵m≥62 3，m 是整数， ∴m＝7 时，最小，最小为15×7+300＝405， ∴种物品购买7 个，B 种物品购买13 个最省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式． 题型02 最大利润问题 【例2】（2023·云南德宏·统考一模）某房地产开发公司计划建、B 两种户型的经济适用住房共80 套，该 公司所筹资金不少于2090 万元，但不超过2122 万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和 售价如下表： B 成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套） 30 34 (1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方？ (2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方获得利润最大？最大利润是多少？ 【答】(1)有11 种建房方． (2)型住房建40 套，B 型住房建40 套获得利润最大；最大利润为440 万元． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090 万元，但不超过2122 万元，再建立 不等式组可以解答本题； （2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题； 【详解】（1）解：设种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80−x )套， ¿， 解得，39 1 3 ≤x ≤50， ∵x 取非负整数， ∴x 为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， ∴有11 种建房方． （2）设该公司建房获得利润万元， 由题意知：W =(30−25) x+(34−28) (80−x )=−x+480， ∵k=−1，随x 的增大而减小， ∴当x=40时， 即型住房建40 套，B 型住房建40 套获得利润最大；最大利润为440 万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问 题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 【变式2-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻 名．袁浪浪家种植了，B 两个品种的樱桃共4 亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表： 品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 1 02 35 B 15 03 42 设种植品种樱桃x 亩，若4 亩地全部种植两种樱桃共获得利润y 万元（利润=售价-种植成本-设备成本）． (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若品种樱桃的种植亩数不少于B 品种樱桃种植亩数的15 倍，则品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求 最大利润． 【答】(1)y=−0.1 x+9.6 (2)种植品种樱桃种植24 亩时利润最大，最大利润是936 万元 【分析】（1）由题意得，y=(3.5−1−0.2) x+(4.2−1.5−0.3)× (4−x )，整理求解即可； （2）根据品种樱桃的种植亩数不少于B 品种樱桃种植亩数的15 倍，可以求得x 的取值范围，再根据一次 函数的性质，即可得到种植品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得，y=(3.5−1−0.2) x+(4.2−1.5−0.3)× (4−x )=−0.1 x+9.6， ∴y 与x 的函数关系式为y=−0.1 x+9.6； （2）解： 品种樱桃的种植亩数不少于 ∵ B 品种樱桃种植亩数的15 倍， ∴x ≥1.5 (4−x )，解得x ≥2.4， ∵y=−0.1 x+9.6， ∵k=−0.1<0， ∴y 随x 的增大而减小， ∴当x=2.4时，y 取得最大值，此时y=9.36， 答：种植品种樱桃种植24 亩时利润最大，最大利润是936 万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键在于明确题意，利用一次函数的 性质和不等式的性质解答． 【变式2-2】（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某店新进甲、乙两种猕猴桃， 已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元． (1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价； (2)若该店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价 的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗）， 请你帮店设计利润最大的进货方，并说明理由． 【答】(1)甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元 (2)当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元 【分析】（1）设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意列二元一次方程 组求解即可； （2）由（1）可知甲、乙的进货单价，根据题意可算出甲、乙的销售价格，设购进甲种猕猴桃x件，则购 进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，分别列式表示总利润、销售总额，根据题意 解不等式，根据一次函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意可得： ¿，解得¿， ∴甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元． （2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元， ∵甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售， ∴甲种猕猴桃的售价为50+50×20%=60（元/件），乙种猕猴桃的售价为30×2×70%=42（元/件）， 设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元， ∴两种猕猴桃100件全部售完后的总利润为w=(60−50)x+(42−30)(100−x)=−2 x+1200， 两种猕猴桃100件全部售完后的销售总额为y=60 x+42(100−x)=18 x+4200， ∵18 x+4200≥5100， ∴x ≥50， ∵w=−2 x+1200，而−2<0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x=50时，w最大是−2×50+1200=1100（元）， ∴当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，一次函数图像的性质与销售的问题，理解 题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组得方法，解不等式，一次函数图像的增减性等知识是解题的关 键． 【变式2-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）2022年第19届亚运会（ (T he19t h AsianGamesHangz hou2022)），简称 杭州 “ 2022年亚运会 ，将于 ” 2023年9月23日至10月 8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为 江南忆 ，出自唐朝诗人白居易的名句 江南忆，最忆是杭州 ．它融合了杭州的历史人文、自然生态 “ ” “ ” 和创新基因，三个吉祥物分别取名 琮琮 宸宸 莲莲 ．某专卖店购进 “ ”“ ”“ ” A、B两种杭州亚运会吉祥 物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） A种礼 盒 168 198 B种礼 盒 138 158 (1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个； (2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进 A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多 少？ 【答】(1)购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个； (2)购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元 【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x )个，根据购进，B 两种杭州亚运 会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可； （2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，根据两种礼盒进价不超过12000元求出 的取值范围，再根据总利润¿两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值． 【详解】（1）解：设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x )个， 根据题意：168 x+138 (50−x )=7500， 解得：x=20， ∴50−x=30， 答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个； （2）解：设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元， ∵购买A、B两种礼盒的费用不超过12000元， ∴168a+138 (80−a)≤12000， 解得：a≤32， 根据题意得：y=(198−168)a+(158−138) (80−a)=10a+1600， ∵10>0， ∴y随a的增大而增大， ∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920， 80−a=80−32=48， 答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解析 式是解题关键． 题型03 行程问题 【例3】（2023·湖南娄底·统考一模）周末，小明和小亮相约到公游玩．已知小明、小亮家到公的距离相同， 小明先骑车6 min到达超市，购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公．小明出发10min后， 小亮骑车从家出发直接去公．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关信息，解答下 列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/ min 4 6 20 1500 (2)填空： ①小明在超市购物的时间是 min； ②超市到公的距离是 m； ③小亮骑行的速度是 m/min； ④小亮到达公时，小明距离公还有 m； (3)解答：当0≤x ≤31时，请直接写出y1关于x的函数解析式． 【答】(1)见解析 (2)① 15；②2100；③240；④1260 (3)y❑ 1=¿ 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，读 懂题意，准确计算是解题的关键； （1）由图可知，小明的速度