第11讲 一次函数的应用（练习）（解析版）

第11 讲 一次函数的应用 目 录 题型01 分配问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 几何问题 题型05 工程问题 题型06 分段计费 题型07 体积问题 题型08 调运问题 题型09 计时问题 题型10 现实生活问题 题型01 分配问题 1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10 吨，且型机器人每天搬 运540 吨货物与B 型机器人每天搬运600 吨货物所需台数相同． (1)求每台型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价12 万元，每台B 型机器人售价2 万元，该公司计划采购、B 两种型号的机器人共30 台，必须满足每天搬运的货物不低于2830 吨，购买金额不超过48 万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方，购买总金额最低是多少万元？ 【答】(1)每台型机器人每天搬运货物90 吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100 吨． (2)①w=−0.8m+60；②当购买型机器人17 台，B 型机器人13 台时，购买总金额最少，最少金额为464 万元． 【分析】（1）设每台型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根 据题意可列分式方程进行求解； （2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为(30−m)台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易 得¿，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由 题意得： 540 x = 600 x+10， 解得：x=90； 经检验：x=90是原方程的解； 答：每台型机器人每天搬运货物90 吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100 吨． （2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为(30−m)台， ∴w=1.2m+2 (30−m)=−0.8m+60； ②由题意得：¿， 解得：15≤m≤17， -08 ∵ ＜0， ∴随m 的增大而减小， ∴当m=17 时，有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4， 答：当购买型机器人17 台，B 型机器人13 台时，购买总金额最少，最少金额为464 万元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程 的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键． 2．（2021·江苏连云港·统考中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2 瓶型消毒液 和3 瓶B 型消毒液共需41 元，5 瓶型消毒液和2 瓶B 型消毒液共需53 元． （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共90 瓶，且B 型消毒液的数量不少于型消毒液数量的1 3，请设计出最省 钱的购买方，并求出最少费用． 【答】（1）A种消毒液的单价是7 元，B型消毒液的单价是9 元；（2）购进A种消毒液67 瓶，购进B种 23 瓶，最少费用为676 元 【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可； （2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，由一次函数的增减性，即可确 定方． 【详解】解：（1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元． 由题意得：{2 x+3 y=41 5 x+2 y=53，解之得，{x=7 y=9， 答：A种消毒液的单价是7 元，B型消毒液的单价是9 元． （2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种(90−a)瓶，购买费用为W 元． 则W =7a+9(90−a)=−2a+810， ∴W 随着a的增大而减小，a最大时，W 有最小值． 又90−a≥1 3 a，∴a≤67.5． 由于a是整数，a最大值为67， 即当a=67时，最省钱，最少费用为810−2×67=676元． 此时，90−67=23． 最省钱的购买方是购进A种消毒液67 瓶，购进B种23 瓶． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的 关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解． 3．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内 安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2 个温馨提示牌和3 个垃圾箱共需550 元，且垃圾箱的单价 是温馨提示牌单价的3 倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100 个，且费用不超过10000 元， 请你列举出所有购买方，并指出哪种方所需资金最少？最少是多少元？ 【答】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50 元和150 元；（2）答见解析 【分析】（1）根据“购买2 个温馨提示牌和3 个垃圾箱共需550 元”，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过10000 元和至少需要安放48 个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论． 【详解】（1）设温情提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， 3 ∴x=150 元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50 元和150 元； （2）设购买温情提示牌y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意，¿ ∴50≤y ≤52， ∵y 为正整数， ∴y 为50，51，52，共3 中方； 有三种方：①温馨提示牌50 个，垃圾箱50 个， ②温馨提示牌51 个，垃圾箱49 个， ③温馨提示牌52 个，垃圾箱48 个， 设总费用为元 =50y+150（100﹣y）= 100 ﹣ y+15000， ∵k=-100¿0，∴随y 的增大而减小 ∴当y=52 时，所需资金最少，最少是9800 元． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键． 4．（2021·福建龙岩·统考一模）去年在我县创建“国家文明县城”行动中，某社区计划将面积为3600m 2 的一块空地进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能 完成绿化面积的18 倍，如果两队各自独立完成面积为450m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天．甲队 每天绿化费用是105 万元，乙队每天绿化费用为05 万元． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积（单位：m 2）的绿化； （2）由于场地原因，两个工程队不能同时进场绿化施工，现在先由甲工程队绿化若干天，剩下的绿化工 程由乙工程队完成，要求总工期不超过48 天，问应如何安排甲、乙两个工程队的绿化天数才能使总绿化费 用最少，最少费用是多少万元？ 【答】（1）甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是90m2、50m2；（2）甲队先做30 天，乙队再做 18 天，总绿化费用最少，最少费用是40.5万元． 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程即可； （2）设甲队绿化m天，则乙队绿化3600−90m 50 天，根据题意列得不等式求得m≥30，再求得总绿化费用 为w=0.15m+36，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲队每天能完成绿化的面积是1.8 xm2， 根据题意得：450 x −450 1.8 x =4， 解得：x=50， 经检验，x=50 是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×18=90（m2）， 答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是90m2、50m2； （2）设甲队绿化m天，则乙队绿化3600−90m 50 天， 由题意得：m+ 3600−90m 50 ≤48，解得m≥30， 总绿化费用为w=1.05m+0.5× 3600−90m 50 =0.15m+36， ∵0.15>0， ∴w随m的增大而增大，要使费用最小，则m应取最小值， 当m=30时，w 最小=0.15×30+36=40.5(万元)， 3600−90×30 50 =¿18， 答：甲队先做30 天，乙队再做18 天，总绿化费用最少，最少费用是40.5万元． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式和一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系，列方程和函数关系式求解． 5．（2021·黑龙江·统考中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模， 某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2 件甲种农机具和1 件乙种农机具共 需35 万元，购进1 件甲种农机具和3 件乙种农机具共需3 万元． （1）求购进1 件甲种农机具和1 件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10 件，且投入资金不少于98 万元又不超过12 万元， 设购进甲种农机具m 件，则有哪几种购买方？哪种购买方需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价07 万元，每件乙种农机具 降价02 万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）， 请直接写出再次购买农机具的方有哪几种？ 【答】（1）购进1 件甲种农机具需15 万元，购进1 件乙种农机具需05 万元；（2）有三种方：方一：购 买甲种农机具5 件，乙种农机具5 件；方二：购买甲种农机具6 件，乙种农机具4 件；方三：购买甲种农 机具7 件，乙种农机具3 件；方一需要资金最少，最少资金是10 万元；（3）节省的资金再次购买农机具 的方有两种：方一：购买甲种农机具0 件，乙种农机具15 件；方二：购买甲种农机具3 件，乙种农机具7 件 【分析】（1）设购进1 件甲种农机具需x 万元，购进1 件乙种农机具需y 万元，根据题意可直接列出二元 一次方程组求解即可； （2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m 的一元一次不等式组，求解即可得到m 的范围，从而根 据实际意义确定出m 的取值，即可确定不同的方，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可； （3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合 实际意义进行求解即可． 【详解】解：（1）设购进1 件甲种农机具需x 万元，购进1 件乙种农机具需y 万元． 根据题意，得¿， 解得：¿， 答：购进1 件甲种农机具需15 万元，购进1 件乙种农机具需05 万元． （2）根据题意，得¿， 解得：4.8≤m≤7， ∵m 为整数， ∴m 可取5、6、7， ∴有三种方： 方一：购买甲种农机具5 件，乙种农机具5 件； 方二：购买甲种农机具6 件，乙种农机具4 件； 方三：购买甲种农机具7 件，乙种农机具3 件． 设总资金为万元，则W =1.5m+0.5 (10−m)=m+5， ∵k=1>0， ∴随m 的增大而增大， ∴当m=5时，W 最小=5+5=10（万元）， ∴方一需要资金最少，最少资金是10 万元． （3）由（2）可知，购买甲种农机具5 件，乙种农机具5 件时，费用最小， 根据题意，此时，节省的费用为5×0.7+5×0.2=4.5（万元）， 降价后的单价分别为：甲种08 万元，乙种03 万元， 设节省的资金可购买台甲种，b 台乙种， 则：0.8a+0.3b=4.5， 由题意，，b 均为非负整数， ∴满足条件的解为：¿或¿， ∴节省的资金再次购买农机具的方有两种： 方一：购买甲种农机具0 件，乙种农机具15 件； 方二：购买甲种农机具3 件，乙种农机具7 件． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一 次函数的性质是解题关键． 题型02 最大利润问题 6．（2022·贵州毕节·统考中考真题）2022 北京冬奥会期间，某店直接从工厂购进、B 两款冰墩墩钥匙扣， 进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 款钥匙扣 B 款钥匙扣 价格 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)店第一次用850 元购进、B 两款钥匙扣共30 件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该店计划再次购进、B 两款冰墩墩钥匙扣共80 件（进货价和销售价 都不变），且进货总价不高于2200 元．应如何设计进货方，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，店打算把B 款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4 件．经调查发 现，每降价1 元，平均每天可多售2 件，将销售价定为每件多少元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利 润为90 元？ 【答】(1)、B 两款钥匙扣分别购进20 件和10 件 (2)购进款冰墩墩钥匙扣40 件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40 件时利润最大，最大为1080 元 (3)销售价定为每件30 元或34 元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90 元 【分析】(1)设、B 两款钥匙扣分别购进x 和y 件，根据“用850 元购进、B 两款钥匙扣共30 件”列出二元 一次方程组即可求解； (2)设购进款冰墩墩钥匙扣m 件，则购进B 款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200 元”列出 不等式30m+25(80−m)≤2200求出m≤40；设销售利润为w元，得到w=3m+960，w随着m 的增大而 增大，结合m 的范围由此即可求出最大利润； (3)设B 款冰墩墩钥匙扣降价元销售，则平均每天多销售2 件，每天能销售(4+2)件，每件的利润为(12-)元， 由“平均每天销售利润为90 元”得到(4+2)(12-)=90，求解即可． 【详解】（1）解：设、B 两款钥匙扣分别购进x 和y 件， 由题意可知：¿ ， 解出：¿， 故、B 两款钥匙扣分别购进20 和10 件． （2）解：设购进款冰墩墩钥匙扣m 件，则购进B 款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：30m+25(80−m)≤2200， 解出：m≤40， 设销售利润为w元，则w=(45−30)m+(37−25)(80−m)=3m+960， ∴w是关于m 的一次函数，且3＞0， ∴w随着m 的增大而增大， 当m=40时，销售利润最大，最大为3×40+960=1080元， 故购进款冰墩墩钥匙扣40 件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40 件时利润最大，最大为1080 元． （3）解：设B 款冰墩墩钥匙扣降价元销售，则平均每天多销售2 件，每天能销售(4+2)件，每件的利润为 (12-)元， 由题意可知：(4+2)(12-)=90， 解出：1=3，2=7， 故B 款冰墩墩钥匙扣售价为34 元或30 元一件时，平均每天销售利润为90 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二 次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 7．（2022·湖北十堰·统考中考真题）某商户购进一批童装，40 天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销 售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y={ 2 x，0<x ≤30 −6 x+240，30<x ≤40 ，销售单价p（元/件）与 销售时间x（天）之间的函数关系如图所示． (1)第15 天的日销售量为_________件； (2)当0<x ≤30时，求日销售额的最大值； (3)在销售过程中，若日销售量不低于48 件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？ 【答】(1)30 (2)2100 元 (3)9 天 【分析】（1）将x=15直接代入表达式即可求出销售量； （2）设销售额为w元，分类讨论，当0≤x ≤20时，由图可知，销售单价p=40；当20<x ≤30时，有图可 知，p 是x 的一次函数，用待定系数法求出p 的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取 最大值即可； （3）分类讨论，当20<x ≤30和0<x ≤30时列出不等式，解不等式，即可得出结果． 【详解】（1）解：当x=15时，销售量y=2 x=30； 故答为30； （2）设销售额为w元， ①当0≤x ≤20时，由图可知，销售单价p=40， 此时销售额w=40× y=40×2 x=80 x ∵80>0， ∴w随x的增大而增大 当x=20时，w取最大值 此时w=80×20=1600 ②当20<x ≤30时，有图可知，p 是x 的一次函数，且过点（20，40）、（40，30） 设销售单价p=kx+b(k ≠0)， 将（20，40）、（40，30）代入得： {20k+b=40 40k+b=30 解得{k=−1 2 b=50 ∴p=−1 2 x+50 ∴w=py=(−1 2 x+50)⋅2 x=−x 2+100 x=−( x−50) 2+2500 ∵−1<0， ∴当20<x ≤30时，w随x的增大而增大 当x=30时，w取最大值 此时w=−(30−50) 2+2500=2100 ∵1600<2100 ∴w的最大值为2100， ∴当0<x ≤30时，日销售额的最大值为2100 元； （3）当0≤x ≤30时，2 x ≥48 解得x ≥24 ∴24≤x ≤30 当30<x ≤40，−6 x+240≥48 解得x ≤32 ∴30<x ≤32 ∴24≤x ≤32，共9 天 ∴日销售量不低于48 件的时间段有9 天． 【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型， 解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值 范围是易错点、难点． 8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共 200 千克，且投入的资金不超过3360 元．将其中的m 千克甲种水果和3m 千克乙种水果按进价销售，剩余 的甲种水果以每千克17 元、乙种水果以每千克30 元的价格销售．若第三次购进的200 千克水果全部售出 后，获得的最大利润不低于800 元，求正整数m 的最大值． 【答】(1)甲种水果的进价为每千克12 元，乙种水果的进价为每千克20 元 (2)正整数m 的最大值为22 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克元，