第2章 方程与不等式（测试）（解析版）

第二章 方程与不等式 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 号汽油价格三月底是 元/升，五月底 是 元/升．设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据题意列出方程，正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据三月底和五月底92 号汽油价格，得 出关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，得 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解 题关键． 2．某体育比赛的门票分票和B 票两种，票每张x 元，B 票每张y 元．已知10 张票的总价与19 张B 票的总 价相差320 元，则（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题； 【详解】解：由10 张票的总价与19 张B 票的总价相差320 元可知， 或 ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析． 3．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20 个， 记分规则如下：每答对一个得5 分，每答错或不答一个扣1 分．小红一共得70 分，则小红答对的个数为（ ） ．14 B．15 ．16 D．17 【答】B 【分析】设小红答对的个数为x 个，根据抢答题一共20 个，记分规则如下：每答对一个得5 分，每答错或 不答一个扣1 分，列出方程求解即可． 【详解】解：设小红答对的个数为x 个， 由题意得 ， 解得 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 4．上学期某班的学生都是双人同桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，本学期该班新 转入4 个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x 人，女生y 人，根据题意可得方程组为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设上学期该班有男生x 人，女生y 人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意，列出方程组，即可 求解． 【详解】解：设上学期该班有男生x 人，女生y 人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意得： ． 故选： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 5．【原创题】在解一元二次方程x2+px+q＝0 时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小 明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ） ．x2+2x 3 ﹣＝0 B．x2+2x 20 ﹣ ＝0 ．x2 2 ﹣x 20 ﹣ ＝0 D．x2 2 ﹣x 3 ﹣＝0 【答】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的 方法是解题的关键 6．满足 的整数 的值可能是（ ） ．3 B．2 ．1 D．0 【答】 【分析】先化简 并估算 的范围，再确定m 的范围即可确定答． 【详解】 ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法 和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根， 则 的取值范围是（ ） ． 且 B． ． 且 D． 【答】 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入 手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x] [5−2 ※ k，k]=0， ∴ ． 整理得， ． ∵方程有两个实数根， ∴判别式 且 ． 由 得， ， 解得， ． ∴k 的取值范围是 且 ． 故选： 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题 的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目 容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 8．若关于x 的分式方程 有正数解，求m 的取值范围．甲解得的答是： ，乙解得的答是： ，则正确的是（ ） ．只有甲答对 B．只有乙答对 ．甲、乙答合在一起才正确 D．甲、乙答合在一起也不正确 【答】D 【分析】先解分式方程，得出 ，根据关于x 的分式方程 有正数解，得出 ， 解不等式组即可得出答． 【详解】解： ， 去分母得： ， 移项，合并同类项得： ， 解得： ， ∵关于x 的分式方程 有正数解， ∴ ， 解得： 或 ，且 ， ∴甲、乙答合在一起也不正确，故D 正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于x 的分式方程 有 正数解，列出关于m 的不等式组． 9．【原创题】设 为实数， 则x、y、z 中至少有一个值 （ ） ．大于 B．等于 ．不大于 D．小于 【答】 【分析】先计算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z＝ ，根据非负数的性质和 ＞3 得到x+y+z＞0，根据有理数的性质得到x、y、z 中至少有一个正数． 【详解】解：x+y+z＝ ＝ ， ∵ ≥0， ≥0， ≥0， ＞0， ∴x+y+z＞0， ∴x、y、z 中至少有一个大于0． 故选：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 10．【创新题】已知多项式 ，多项式 ． ①若 ，则代数式 的值为 ； ②当 ， 时，代数式 的最小值为 ； ③当 时，若 ，则关于x 的方程有两个实数根； ④当 时，若 ，则x 的取值范围是 ． 以上结论正确的个数是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【答】B 【分析】①把 代入解方程即可求解；②把 代入，再配方求最小值即可；③把 代入解方程 即可求解；④根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：①若 ，则 ，解得 ，或 ， ∴ 的值为 ；故①错误； ②当 时， ，∴当 时，代数式 的最小值为 ；故②错误； ③由题意得， ， ∴ 或 ， 解 得 ，或 ； 解 ，即 ，没有实数解， ∴关于x 的方程有两个实数根，故③正确； ④当 时， ∴ ，解得 ；故④错误； 综上，只有③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和 一元二次方程的解法是解题的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．【原创题】已知关于x的一元一次方程 1 2024 x+3=2 x+b的解为x=2，则关于y的一元一次方程 1 2024 ( y+1)=2 y−1+b的解为 ． 【答】y=1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以由题意易得 1 2024 ( y+1)+3=2 ( y+1)+b，然后可得y+1=2，进而求解即可． 【详解】解：由方程 1 2024 ( y+1)=2 y−1+b可变形为 1 2024 ( y+1)+3=2 ( y+1)+b， 因为关于x的一元一次方程 1 2024 x+3=2 x+b的解为x=2， 所以把( y+1)看作一个整体，则方程 1 2024 ( y+1)+3=2 ( y+1)+b的解为y+1=2， 解得：y=1， 故答为y=1． 12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的 的值是 ． 先化简，再求值： ，其中 解：原式 【答】5 【分析】根据题意得到方程 ，解方程即可求解． 【详解】解：依题意得： ，即 ， 去分母得：3-x+2(x-4)=0， 去括号得：3-x+2x-8=0， 解得：x=5， 经检验，x=5 是方程的解， 故答为：5． 【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 13．关于x 的方程x2－2bx－3＝0(b≠0)两根为m，，且(2m2－4bm＋2)(32－6b－2)＝54，则的值为 ． 【答】 /15/ 【分析】根据方程根的定义得到 ， ，然后把(2m2－4bm＋2)(32－6b－2)＝54 变形 后，利用整体代入，得到关于的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可． 【详解】解：∵关于x 的方程x2－2bx－3＝0(b≠0)两根为m，， ∴ ， ∴ ， (2 ∵ m2－4bm＋2)(32－6b－2)＝54， [2 ∴ （m2－2bm＋）] [3(2－2b)－2]＝54 ∴ 解得 或 ∵b≠0 ∴，b 均为非零实数， ∴ 故答为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键． 14．点Q 的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为 的值，其中，b 满足二元一次方程 组 ，则点Q 关于y 轴对称点 的坐标为 ． 【答】 【分析】先分别解一元一次方程 和二元一次方程组 ，求得点Q 的坐标，再根 据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解． 【详解】解： ， 移项合并同类项得， ， 系数化为1 得， ， ∴点Q 的横坐标为5， ∵ ， 由 得， ，解得： ， 把 代入①得， ，解得： ， ∴ ， ∴点Q 的纵坐标为 ， ∴点Q 的坐标为 ， ∴点Q 关于y 轴对称点 的坐标为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直 角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题 的关键． 【新考法】 信息题 15．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益 相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏 至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若 冬至的晷长为135 尺，夏至的晷长为15 尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺． 【答】 1 45 【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为 尺，由题意知， ，计算求出相邻两个节气晷长减 少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可． 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为 尺， 由题意知， ， 解得， ， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为1 尺； ∵ ， ∴立夏的晷长为45 尺； 故答为：1；45． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程． 【新考法】 与一元二次方程有关的新定义问题 16．将两个关于x 的一元二次方程整理成 （ ，、、k 均为常数）的形式，如果只有系 数不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程 （ ）与方程 是“同源二次方程”，且方程 （ ）有两 个根为 、 ，则b－2＝ ， 的最大值是 ． 【答】 4； -3 【分析】利用 （ ）与方程 是“同源二次方程”得出 ， ， 即可求出 ；利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，进而得出 ，设 （ ），得 ，根据方程 有正数解 可知 ，求出t 的取值范围即可求出 的最大值． 【详解】解：根据新的定义可知，方程 （ ）可变形为 ， ∴ ， 展开， ， 可得 ， ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ， ∵方程 （ ）有两个根为 、 ， ∴ ，且 ， ∴ ， 设 （ ），得 ， ∵方程 有正数解， ∴ ， 解得 ，即 ， ∴ ． 故答为：4，-3． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到 是解题的关键． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分 23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．由工业和信息化部人才交流中心和 国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛 ， 年月日在线上召开 赛季启动大会为备战机器人大赛，某校对机器人进行 米 比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛比赛中，“冲锋”先出发秒后，“东风”从同一起始 位置出发，结果“东风”迟到 秒到达终点已知“东风”是“冲锋”的平均速度的 倍，求“冲锋”的 平均速度． 【答】“冲锋”的平均速度米秒 【分析】设“冲锋”的平均速度为 米秒，则“东风”的平均速度的 米秒，根据“冲锋”从起点出 发秒后，“东风”才从起点出发，结果“东风”迟到 秒到达终点，可得方程，解出即可． 【详解】解：设“冲锋”的平均速度为 米秒，则“东风”的平均速度的 米秒， 由题意得 ， 解得： ， 经检验 是原方程的解． 答：“冲锋”的平均速度米秒． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系 18．已知一元二次方程□ ，其中系数“□”印刷不清． (1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程 ； (2)淇淇说：“我看答该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？ 【答】(1) ， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式，解题的关键是公式法解一元二次方 程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个相同的根可得 ，代入计算解题即可． 【详解】（1）解： ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得： ， ； （2）设“□”里的数为 ， ∵该方程有两个相同的根， ∴ ，即 , 解得： ， ∴“□”里的数为 ． 19．整式 的值为P． (1)当m＝2 时，求P 的值； (2)若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）将m＝2 代入代数式求解即可， （2）根据题意 ，根据不等式，然后求不等式的负整数解． 【详解】（1）解：∵ 当 时， ； （2） ，由数轴可知 ， 即 ， ， 解得 ， 的负整数值为 ． 【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 20．下面是小辉和小莹两位同学解方程组 的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 小辉：由②得， ．③…………第一步 将③代入①得， ．……第二步 整理得， ．………………第三步 解得 ．…………………………第四步 将 代入③，解得 ．………第五步 ∴原方程组的解为 ……………第六步 小莹： 得， ．………………第一步 解得 ，…………………………第二步 将 代入①得， ．…………第三步 整理得， ．………………第四步 解得 …………………………第五步 ∴原方程组的解为 …………第六步 任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题． ①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________； ②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：直接写出该方程组的正确解； 任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）． 【答】①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）； ②三；去括号时，括号外是“ ”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；任务二： ；任务 三： 【详解】 任务一：①小辉； 等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）； ②三； 去括号时，括号外是“ ”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号； 或①小莹； 等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）； ②四； 移项未变号； 任务二：令 得， 解得： 将 代入①得， 解得： 正确的解为 任务三： ． 得 解得： ，代入①得 ， 解得： 【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌 握以上知识是解题的关键． 【新考法】 数学与规律探究——图形规律规律 21．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20 的灰、白两色的广场砖铺设图，设计人员画出的一些备 选图如图所示． [观察思考]图1 灰砖有1 块，白砖有8 块；图2 灰砖有4 块，白砖有12 块；以此类推． (1)[规律总结]图4 灰砖有______块，白砖有______块；图灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1 的情形，请通过计算说明你的理由． 【答】(1)16，20； ，4＋4 (2)存在，见解析 【分析】（1）根据图形算出图3 白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4 白砖和灰砖的数量，通过图 1 到图4 的数字规律得出图白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图白砖数恰好比灰砖数少1 的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成 立． 【详解】（1）图3 的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9 图3 的白砖数量为12+4=16 图4 的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16 图4 的白砖应比图3 上下各多一行 得图4 白砖的数量为：16+4=20 图1 灰砖的数量为1 图2 灰砖的数量为4 图3 灰砖的数量为9 图4 灰砖的数量为16 得图 灰砖的数量为 图1 白砖的数量为8= 图2 白砖的数量为12= 图3 白砖的数量为16= 图4 白砖的数量为20= 得图 白砖的数量为 故答为：16，20； ，4＋4． （2）假设存在，设图白砖数恰好比灰砖数少1 ∴白砖数量为 ，灰砖数量为 ∴ = ∴ ∴ ∴ ，或 （舍去） 故当 时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1 故答为：存在． 【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二 次方程的性质． 22．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700 元批发了菠萝和苹果共300k