专题70 方程与不等式中的新定义问题（解析版）(1)

考点1 方程新定义问题 【例1】．设m，为实数，定义如下一种新运算：m ★＝ ，若关于x 的方程（x x ★） ＝（x ★12）+1 无解，则的值是 3 ． 解：根据新运算，原方程可化为× ＝ +1， x＝12+3x 9 ﹣， ∴（﹣3）x＝3． ∵关于x 的方程无解， 3 ∴﹣＝0． ∴＝3． 故答为：3． 变式训练 【变1-1】．对于两个不相等的实数，b，我们规定符号m{，b}表示，b 中较小的值，如 m{2，4}＝2．按照这个规定，方程 （x≠0）的解为（ ） ．4 B．2 ．4 或2 D．无解 解：当 ＜﹣ 时， ∵ （x≠0）， ∴ ＝ ﹣1． ∴x＝2． 经检验，x＝2 是方程的根． ∵ ＞﹣ ，故x＝2 不符合m 的规定， 所以x＝2 不是方程的解． 例题精讲 当 ＞﹣ 时， ∵ （x≠0）， ∴﹣ ＝ ﹣1． ∴x＝4． 经检验，x＝4 是方程的根． ∵ ＞﹣ ，故x＝4 符合m 的规定． 所以x＝4 是方程的解． 故选：． 【变1-2】．新定义，若关于x 的一元二次方程：m（x﹣）2+b＝0 与（x﹣）2+b＝0，称为 “同类方程”．如2（x 1 ﹣）2+3＝0 与6（x 1 ﹣）2+3＝0 是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2（x 1 ﹣）2+1＝0 与（+6）x2﹣（b+8）x+6＝0 是“同类方程”．那么 代数式x2+bx+2022 能取得最大值是 2023 ． 解：∵2（x 1 ﹣）2+1＝0 与（+6）x2﹣（b+8）x+6＝0 是“同类方程”， ∴（+6）x2﹣（b+8）x+6＝（+6）（x 1 ﹣）2+1， ∴（+6）x2﹣（b+8）x+6＝（+6）x2 2 ﹣（+6）x++7， ∴ ， 解得： ， ∴x2+bx+2022 ＝﹣x2+2x+2022 ＝﹣（x 1 ﹣）2+2023， ∴当x＝1 时，x2+bx+2022 取得最大值为2023． 故答为：2023． 考点2 不等式新定义问题 【例2】．规定[x]为不大于x 的最大整数，如[07]＝0，[ 23] ﹣ ＝﹣3．若[x]＝2，则x 的取 值范围为 2≤ x ＜ 3 ． 解：∵规定[x]为不大于x 的最大整数， ∴x 的取值范围为：2≤x＜3， 故答为：2≤x＜3． 变式训练 【变2-1】．已知对于任意两组正实数：1，2，…，；b1，b2，…，b 总有（1 2+2 2+…+2） （b1 2+b2 2+…+b2）≥（1b1+2b2+…+b）2．当且仅当 ＝ ＝…＝ 时取等号，据此我 们可以得到，正数，b，满足+b+＝1，则 + + 的最小值为（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 解：根据题意所给的不等式可得： + + ＝（+b+）（ + + ） ＝[ ][ ]≥（1+1+1）2＝9， 当且仅当＝b＝＝ 时，取得等号， ∴ + + 的最小值为9． 故选：． 【变2-2】．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当为非负整数 时，如果﹣ ≤x≤+ ，则＜x＞＝；反之，当为非负整数时，如果＜x＞＝，则﹣ ≤x≤+ ．例如，＜0＞＝＜048＞＝0，＜064＞＝＜149＞＝1，＜2＞＝2，＜35＞＝＜ 412＞＝4，…试解决下列问题： ①如果＜x 2 ﹣＞＝3，则实数x 的取值范围是 45≤ x ＜ 55 ． ②若关于x 的不等式组 的整数解恰有3 个，则的取值范围是 125≤ ＜ 175 ． 解：①∵＜x 2 ﹣＞＝3， 25≤ ∴ x 2 ﹣＜35， 45≤ ∴ x＜55， 故答为45≤x＜55； ②解不等式组 得：﹣1≤x＜＜2 1 ﹣＞， ∵不等式组有3 个整数解 1 ∴＜＜2 1 ﹣＞≤2， 15≤2 1 ∴ ﹣＜25， 解得125≤＜175， 故答为125≤＜175． 1．定义[x]表示不大于x 的最大整数，如：[32]＝3，[ 32] ﹣ ＝﹣4，[3]＝3，则方程[x]+2＝ 2x 所有解的和为（ ） ． B． ． D． 解：令[x]＝，代入原方程得+2 2 ﹣x＝0，即x＝ ， 又∵[x]≤x＜[x]+1， ≤ ∴ ＜+1， 整理得2≤+2＜2+2， 即0＜≤2， ∴＝1 或＝2， 将＝1 代入原方程得：1+2 2 ﹣x＝0，解得x＝ ， 将＝2 代入原方程得：2+2 2 ﹣x＝0，解得x＝2， 故2+ ＝ ． 故选：． 2．定义新运算：对于任意实数、b 都有：⊕b＝（+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝ ，那么方程（x+2）⊕（2x 1 ﹣）＝4 的解为 （ ） ．x＝3 B．x＝2 ．x＝1 D．x＝0 解：（x+2）⊕（2x 1 ﹣）＝4， 则（x+2+2x 1 ﹣）÷（2x 1 ﹣）＝4， ＝4， 解得：x＝1， 检验：当x＝1 时，2x 1≠0 ﹣ ， 故x＝1 是原方程的根． 故选：． 3．定义新运算“*b”：对于任意实数，b，都有*b＝b+3，其中等式右边是通常的加法和乘 法运算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于x 的方程x*（kx+2）＝0 有两个实数根，则实 数k 的取值范围是（ ） ．k B．k ．k ，且k≠0 D．k ，且k≠0 解：∵x*（kx+2）＝0， ∴x（kx+2）+3＝0， 整理可得kx2+2x+3＝0， 又∵关于x 的方程x*（kx+2）＝0 有两个实数根， ∴ ， 解得：k≤ 且k≠0， 故选：D． 4．对于两个不相等的有理数、b，我们规定符号m{，b}表示、b 两数中较小的数，例如 m{ 2 ﹣，3}＝﹣2．按照这个规定，方程m{x，﹣x}＝﹣2x 1 ﹣的解为（ ） ．x＝﹣ B．x＝﹣1 ．x＝1 D．x＝﹣1 或x＝﹣ 解：∵m{，b}表示、b 两数中较小的数， ∴m{x，﹣x}＝x 或﹣x． 2 ∴﹣x 1 ﹣＝x 或﹣x， （1）﹣2x 1 ﹣＝x 时， 解得x＝﹣ ， 此时﹣x＝ ， ∵x＜﹣x， ∴x＝﹣ 符合题意． （2）﹣2x 1 ﹣＝﹣x 时， 解得x＝﹣1， 此时﹣x＝1， ∵﹣x＞x， ∴x＝﹣1 不符合题意． 综上，可得：按照这个规定，方程方程m{x，﹣x}＝﹣2x 1 ﹣的解为：x＝﹣ ． 故选：． 5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当为非负整数时，若 ， 则[x]＝，如：[34]＝3，[35]＝4，若[x]＝3，则x 应满足的条件是（ ） ．x＝3 B．3≤x＜35 ．25＜x＜35 D．25≤x＜35 解：∵[x]＝3， ∴＝3， 3 ∴﹣ ≤x＜3+ ， 25≤ ∴ x＜35， 故选：D． 6．对于任意实数、b，定义一种运算：*b＝b + ﹣b 2 ﹣．例如，2*5＝2×5 2+5 2 ﹣ ﹣＝11，请 根据上述的定义解决问题，若不等式2*x＜6，则该不等式的正整数解有几个（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 解：由题意得，2x 2+ ﹣ x 2 ﹣＜6， 解得x＜3 ， ∴该不等式的正整数解有1，2，3 共3 个， 故选：． 7．将关于x 的一元二次方程x2﹣px+q＝0 变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x 的一 次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法 称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： x2﹣x 1 ﹣＝0，且x＞0，则x3 2 ﹣x2+2x+1 的值为（ ） ． B． ． D． 解：∵x2﹣x 1 ﹣＝0， ∴x2＝x+1， ∴x3 2 ﹣x2+2x+1 ＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1 ＝x2+x 2 ﹣x 2+2 ﹣ x+1 ＝x2+x 1 ﹣ ＝（x+1）+x 1 ﹣ ＝2x， ∵x2﹣x 1 ﹣＝0 的根为x＝ 或x＝ ， ∵x＞0， ∴x＝ ， ∴x3 2 ﹣x2+2x+1＝1+ ， 故选：B． 8．阅读理解：、b、、d 是实数，我们把符号 称为2×2 阶行列式，并且规定： ，例如， ．二元一次方程 组 的解可以利用2×2 阶行列式表示为 ，其中 ， ， ．用上面的方法解二元一次方程组 时，下面的说 法错误的是（ ） ．D＝8 B．Dx＝10 ．方程组的解为 D．Dy＝20 解：由题意可知， ＝ ＝3×3 1× ﹣ （﹣1）＝10， ＝ ＝1×3 7× ﹣ （﹣1）＝10， ＝ ＝3×7 1×1 ﹣ ＝20， ∵方程组的解为 ，即 ， 故选：． 9．给出一种运算：对于函数y＝x，规定y′＝x 1 ﹣．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知 函数y＝x3，y′＝12，则x 的值是 ±2 ． 解：∵y＝x3，y′＝12， 3 ∴x2＝12， x2＝4， x＝±2， 故答为：±2． 10．定义一种新运算：*b＝ ﹣ b．若（x+3）*（2x 1 ﹣）＝1，则根据定义的运算求出x 的值为 5 ． 解：根据题意， 得 ， 去分母，得3（x+3）﹣2（2x 1 ﹣）＝6， 去括号，得3x+9 4 ﹣x+2＝6， 移项，得3x 4 ﹣x＝6 2 9 ﹣﹣， 合并同类项，得﹣x＝﹣5， 系数化为1，得x＝5． 故答为：5． 11．对于实数，b，定义一种新运算“⊗”为⊗b＝ ，这等式右边是实数运算．例如： 1⊗2＝ ＝1．则方程2⊗（﹣x）＝ 的解是 ﹣ ． 解：根据题意可知： 2⊗（﹣x）＝ ， ∴ ＝ ， 3 ﹣x＝x+5， 4 ﹣x＝5， x＝﹣ ． 经检验x＝﹣ 是原方程的解． 故答为：﹣ ． 12 ．m 、为正整数，1 ＝ + + + + + + + + + + + + ， 1≤x≤m，1≤y≤，m≤，则代数式 的最小值为 ． 解 ： ∵ ＝ ＝1﹣ ， 1 ∴＝（ ）+ ，又m≤， ∴m＝13，＝20， 1≤ ∴ x≤13，1≤y≤20， 2≤ ∴ x+1≤14，2≤y+1≤21， ∴ ， ∴ ， ∴ 即 ， ∴代数式 的最小值为 ． 故答为： ． 13．新定义，若关于x，y 的二元一次方程组① 的解是 ，关于x，y 的二元一次方程组② 的解是 ，且满足| |≤01，| | ≤01，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y 的二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解，则m 的取值范围是 45≤ m ≤5 ． 解：解方程组 得， ， 解方程组 得， ， ∵二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解， | ∴ |≤01，| |≤01， 解得4≤m≤5，45≤m≤55， 所以45≤m≤5． 故答为45≤m≤5． 14．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当为非负整数时，若 ，则（x）＝．如（046）＝0，（367）＝4．下列结论： ①（2493）＝2； ②（3x）＝3（x）； ③若 ，则x 的取值范围是6≤x＜10； ④当x≥0，m 为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）； 其中正确的是 ①③④ （填写所有正确的序号）． 解：①（2493）＝2，故①符合题意； ②（3x）≠3（x），例如当x＝03 时，（3x）＝1，3（x）＝0，故②不符合题意； ③若（ x 1 ﹣）＝1，则 ，解得：6≤x＜10，故③符合题意； ④m 为非负整数，故（m+2020x）＝m+（2020x），故④符合题意； 综上可得①③④正确． 故答为：①③④． 15．自然数1 到的连乘积，用！表示，这是我们还没有学过的新运算（高中称为阶乘）， 这种运算规定：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种 规定下，请你解决下列问题： （1）计算5！＝ 120 ； （2）已知x 为自然数，求出满足该等式的x： ； （3）分解因式 ． 解：（1）5！＝5×4×3×2×1＝120（2 分）（只写出5×4×3×2×1 得1 分） （2） ＝1， 解得x＝6（2 分）； （3）原式＝x2﹣x﹣ ＝x2﹣x 9900 ﹣ ＝（x 100 ﹣ ）（x+99）．（如结论不对，过程有 ＝100×99 可得2 分） 16．（1）解方程组： ． （2）对于实数，b 规定一种新的运算“☆”：☆b＝ ． 例如：4 3 ☆＝ ＝5，2 3 ☆＝2×3＝6． 若x，y 满足方程组 ，求y☆（x☆y）的值． 解：（1） ， ①×4 得，8x 4 ﹣y＝20③， ②+③得，11x＝22， 解得x＝2， 将x＝2 代入①得，y＝﹣1， ∴方程组的解为 ； （2） ， ①×2 得，2x 8 ﹣y＝﹣16③， ②﹣③得，9y＝45， 解得y＝5， 将y＝5 代入①得，x＝12， ∴方程组的解为 ， ∴y☆（x☆y） ＝5☆（12 5 ☆） ＝5☆（ ） ＝5 13 ☆ ＝5×13 ＝65． 17．如果关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）有两个实数根，且其中一个根为另外一 个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）． ①方程x2 4 ﹣x+4＝0 是倍根方程； ②若（x 2 ﹣）（mx+）＝0 是倍根方程，则4m+＝0； ③若p、q 满足pq＝8，则关于x 的方程px2 6 ﹣x+q＝0（p≠0）是倍根方程； ④若2b2 9 ﹣＝0 时，则方程x2+bx+＝0 是倍根方程． 解：①解方程x2 4 ﹣x+4＝0 得： x1＝2，x2＝2， ∵x1≠2x2， ∴方程x2 4 ﹣x+4＝0 不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x 2 ﹣）（mx+）＝0 是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1 或x2＝4， 当x2＝1 时，m+＝0， 当x2＝4 时，4m+＝0， 故②正确； ③∵pq＝8， ∴q＝ ． ∴方程px2 6 ﹣x+q＝0（p≠0）变为：px2 6 ﹣x+ ＝0， 即p2x2 6 ﹣px+8＝0， ∴（px 2 ﹣）（px 4 ﹣）＝0， ∴px＝2 或px＝4． ∴ ，x2＝ ， ∵x2＝2x1， ∴关于x 的方程px2 6 ﹣x+q＝0（p≠0）是倍根方程， 故③正确； ④方程x2+bx+＝0 的根为： x1＝ ，x2＝ ， 2 ∵b2 9 ﹣＝0， ∴＝ ， ∴ ＝ ＝﹣ ， ＝ ＝﹣ ， ∴x2＝2x1， ∴若2b2 9 ﹣＝0 时，则方程x2+bx+＝0 是倍根方程， 故④正确， 故答为：②③④． 18．若关于x 的方程x+b＝0（≠0）的解与关于y 的方程y+d＝0（≠0）的解满足|x﹣y|＝m （m 为正数），则称方程αx+b＝0（≠0）与方程y+d＝0（≠0）是“差m 方程”．例如： 方程2x 3 ﹣＝1 的解是x＝2，方程y 4 ﹣＝0 的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2 4| ﹣＝2，∴方程2x﹣ 3＝1 与方程y 4 ﹣＝0 是“差2 方程”． （1）请判断方程x 2 ﹣＝3﹣x 与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3 方程”，并说明理由； （2）若无论k 取任何有理数，关于x 的方程 ﹣b＝2k 1 ﹣，（，b 为常数）与关于 y 的方程3y+5＝y 1 ﹣都是“差1 方程”，求+b 的值． 解：（1）x 2 ﹣＝3﹣x 的解为x＝ ， y+2＝3（y+1）的解为y＝﹣ ， | ∵ ﹣（﹣ ）|＝3， ∴方程x 2 ﹣＝3﹣x 与方程y+2＝3（y+1）是“差3 方程”； （2）3y+5＝y 1 ﹣的解为y＝﹣3， ∵关于x 的方程 ﹣b＝2k 1 ﹣，（，b 为常数）与关于y 的方程3y+5＝y 1 ﹣都是 “差1 方程”， | ∴x+3|＝1， 解得x＝﹣2 或x＝﹣4， 当x＝﹣2 时，﹣3+ ﹣b＝2k 1 ﹣， ∴（﹣4）k＝4+2b， ∵k 取任何有理数， ∴＝4，b＝﹣2， + ∴b＝2； 当x＝﹣4 时，﹣6+ ﹣b＝2k 1 ﹣， ∴（﹣4）k＝10+2b， ∵k 取任何有理数， ∴＝4，b＝﹣5， + ∴b＝﹣1； 综上所述：+b＝2 或+b＝﹣1． 19．航天创造美好生活，每年4 月24 日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结 合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x 的一元一次方程的解，y0是关于y 的方程 的一个解，且x0，y0 满足x0+y0＝424，则关于y 的方程是关于x 的一元一次方程的“航 天方程”．例如：一元一次方程4x＝5x 400 ﹣ 的解是x＝400，方程|y|＝24 的解是y＝24 或y＝﹣24，当y＝24 时，满足x0+y0＝400+24＝424，所以关于y 的方程|y|＝24 是关于x 的一元一次方程4x＝5x 400 ﹣ 的“航天方程”． （1）试判断关于y 的方程|y 1| ﹣＝20 是否是关于x 的一元一次方程x+403＝2x 的“航天 方程”？并说明理由； （2）若关于y 的方程|y 1| 3 ﹣﹣＝13 是关于x 的一元一次方程x﹣ ＝2+1 的“航天 方程”，求的值． 解：（1）是，理由如下： x+403＝2x， 解得：x＝403， |y 1| ﹣＝20， 解得：y＝21 或y＝﹣19， 403+21 ∵ ＝424， ∴关于y 的方程|y 1| ﹣＝20 是关于x 的一元一次方程x+403＝2x 的“航天方程”； （2）x﹣ ＝2+1， 解得：x＝4+3， |y 1| 3 ﹣﹣＝13， 解得：y＝17 或y＝﹣15， ∵关于y 的方程|y 1| 3 ﹣﹣＝13 是关于x 的一元一次方程x﹣ ＝2+1 的“航天方 程”， ①当4+3+17＝424 时， 解得：＝101； ②当4+3 15 ﹣ ＝424 时， 解得：＝109， 综上，的值为101 或109． 20．对x 定义一种新运算E，规定E（x）＝（x+2）（2bx 3 ﹣），其中，b 是非零常数．如： 当＝1，b＝1 时，E（x）＝（x+2）（2x 3 ﹣）＝2x2+x 6 ﹣． （1）当，b 满足 时，计算E（x）； （2）已知 ，请求出 的值； （3）若当＝3，b＝2 时，关于x 的不等式组 恰好有5 个 整数解，求k 的取值范围． 解：（1）∵ ， 0，|b+6|≥0， ∴﹣ ＝0，b+6＝0， ∴ ， ∴ ＝﹣6x2﹣ x 24 ﹣ x 6 ﹣ ＝ ； （2）∵E（2 3 ﹣x）＝[（2 3 ﹣x）+2][2b（2 3 ﹣x）﹣3] ＝18bx2 [3 ﹣ （4b 3 ﹣）+6b（2+2）]x+（2+2）（4b 3 ﹣） ＝18bx2﹣（24b 9+12 ﹣ b）x+（8b 6+8 ﹣ b 6 ﹣）， 18 ∴ b＝ ，﹣（24b 9+12 ﹣ b）＝﹣2，8b