专题70 方程与不等式中的新定义问题（原卷版）(1)

考点1 方程新定义问题 【例1】．设m，为实数，定义如下一种新运算：m ★＝ ，若关于x 的方程（x x ★） ＝（x ★12）+1 无解，则的值是 ． 变式训练 【变1-1】．对于两个不相等的实数，b，我们规定符号m{，b}表示，b 中较小的值，如 m{2，4}＝2．按照这个规定，方程 （x≠0）的解为（ ） ．4 B．2 ．4 或2 D．无解 【变1-2】．新定义，若关于x 的一元二次方程：m（x﹣）2+b＝0 与（x﹣）2+b＝0，称为 “同类方程”．如2（x 1 ﹣）2+3＝0 与6（x 1 ﹣）2+3＝0 是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2（x 1 ﹣）2+1＝0 与（+6）x2﹣（b+8）x+6＝0 是“同类方程”．那么 代数式x2+bx+2022 能取得最大值是 ． 考点2 不等式新定义问题 【例2】．规定[x]为不大于x 的最大整数，如[07]＝0，[ 23] ﹣ ＝﹣3．若[x]＝2，则x 的取 值范围为 ． 变式训练 【变2-1】．已知对于任意两组正实数：1，2，…，；b1，b2，…，b 总有（1 2+2 2+…+2） 例题精讲 （b1 2+b2 2+…+b2）≥（1b1+2b2+…+b）2．当且仅当 ＝ ＝…＝ 时取等号，据此我 们可以得到，正数，b，满足+b+＝1，则 + + 的最小值为（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 【变2-2】．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当为非负整数 时，如果﹣ ≤x≤+ ，则＜x＞＝；反之，当为非负整数时，如果＜x＞＝，则﹣ ≤x≤+ ．例如，＜0＞＝＜048＞＝0，＜064＞＝＜149＞＝1，＜2＞＝2，＜35＞＝＜ 412＞＝4，…试解决下列问题： ②如果＜x 2 ﹣＞＝3，则实数x 的取值范围是 ． ②若关于x 的不等式组 的整数解恰有3 个，则的取值范围是 ． 1．定义[x]表示不大于x 的最大整数，如：[32]＝3，[ 32] ﹣ ＝﹣4，[3]＝3，则方程[x]+2＝ 2x 所有解的和为（ ） ． B． ． D． 2．定义新运算：对于任意实数、b 都有：⊕b＝（+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝ ，那么方程（x+2）⊕（2x 1 ﹣）＝4 的解为 （ ） ．x＝3 B．x＝2 ．x＝1 D．x＝0 3．定义新运算“*b”：对于任意实数，b，都有*b＝b+3，其中等式右边是通常的加法和乘 法运算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于x 的方程x*（kx+2）＝0 有两个实数根，则实 数k 的取值范围是（ ） ．k B．k ．k ，且k≠0 D．k ，且k≠0 4．对于两个不相等的有理数、b，我们规定符号m{，b}表示、b 两数中较小的数，例如 m{ 2 ﹣，3}＝﹣2．按照这个规定，方程m{x，﹣x}＝﹣2x 1 ﹣的解为（ ） ．x＝﹣ B．x＝﹣1 ．x＝1 D．x＝﹣1 或x＝﹣ 5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当为非负整数时，若 ， 则[x]＝，如：[34]＝3，[35]＝4，若[x]＝3，则x 应满足的条件是（ ） ．x＝3 B．3≤x＜35 ．25＜x＜35 D．25≤x＜35 6．对于任意实数、b，定义一种运算：*b＝b + ﹣b 2 ﹣．例如，2*5＝2×5 2+5 2 ﹣ ﹣＝11，请 根据上述的定义解决问题，若不等式2*x＜6，则该不等式的正整数解有几个（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 7．将关于x 的一元二次方程x2﹣px+q＝0 变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x 的一 次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法 称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： x2﹣x 1 ﹣＝0，且x＞0，则x3 2 ﹣x2+2x+1 的值为（ ） ． B． ． D． 8．阅读理解：、b、、d 是实数，我们把符号 称为2×2 阶行列式，并且规定： ，例如， ．二元一次方程 组 的解可以利用2×2 阶行列式表示为 ，其中 ， ， ．用上面的方法解二元一次方程组 时，下面的说 法错误的是（ ） ．D＝8 B．Dx＝10 ．方程组的解为 D．Dy＝20 9．给出一种运算：对于函数y＝x，规定y′＝x 1 ﹣．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知 函数y＝x3，y′＝12，则x 的值是 ． 10．定义一种新运算：*b＝ ﹣ b．若（x+3）*（2x 1 ﹣）＝1，则根据定义的运算求出x 的值为 ． 11．对于实数，b，定义一种新运算“⊗”为⊗b＝ ，这等式右边是实数运算．例如： 1⊗2＝ ＝1．则方程2⊗（﹣x）＝ 的解是 ． 12 ．m 、为正整数，1 ＝ + + + + + + + + + + + + ， 1≤x≤m，1≤y≤，m≤，则代数式 的最小值为 ． 13．新定义，若关于x，y 的二元一次方程组① 的解是 ，关于x，y 的二元一次方程组② 的解是 ，且满足| |≤01，| | ≤01，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y 的二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解，则m 的取值范围是 ． 14．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当为非负整数时，若 ，则（x）＝．如（046）＝0，（367）＝4．下列结论： ①（2493）＝2； ②（3x）＝3（x）； ③若 ，则x 的取值范围是6≤x＜10； ③当x≥0，m 为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）； 其中正确的是 （填写所有正确的序号）． 15．自然数1 到的连乘积，用！表示，这是我们还没有学过的新运算（高中称为阶乘）， 这种运算规定：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种 规定下，请你解决下列问题： （1）计算5！＝ ； （2）已知x 为自然数，求出满足该等式的x： ； （3）分解因式 ． 16．（1）解方程组： ． （2）对于实数，b 规定一种新的运算“☆”：☆b＝ ． 例如：4 3 ☆＝ ＝5，2 3 ☆＝2×3＝6． 若x，y 满足方程组 ，求y☆（x☆y）的值． 17．如果关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）有两个实数根，且其中一个根为另外一 个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程x2 4 ﹣x+4＝0 是倍根方程； ②若（x 2 ﹣）（mx+）＝0 是倍根方程，则4m+＝0； ③若p、q 满足pq＝8，则关于x 的方程px2 6 ﹣x+q＝0（p≠0）是倍根方程； ④若2b2 9 ﹣＝0 时，则方程x2+bx+＝0 是倍根方程． 18．若关于x 的方程x+b＝0（≠0）的解与关于y 的方程y+d＝0（≠0）的解满足|x﹣y|＝m （m 为正数），则称方程αx+b＝0（≠0）与方程y+d＝0（≠0）是“差m 方程”．例如： 方程2x 3 ﹣＝1 的解是x＝2，方程y 4 ﹣＝0 的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2 4| ﹣＝2，∴方程2x﹣ 3＝1 与方程y 4 ﹣＝0 是“差2 方程”． （1）请判断方程x 2 ﹣＝3﹣x 与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3 方程”，并说明理由； （2）若无论k 取任何有理数，关于x 的方程 ﹣b＝2k 1 ﹣，（，b 为常数）与关于 y 的方程3y+5＝y 1 ﹣都是“差1 方程”，求+b 的值． 19．航天创造美好生活，每年4 月24 日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结 合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x 的一元一次方程的解，y0是关于y 的方程 的一个解，且x0，y0 满足x0+y0＝424，则关于y 的方程是关于x 的一元一次方程的“航 天方程”．例如：一元一次方程4x＝5x 400 ﹣ 的解是x＝400，方程|y|＝24 的解是y＝24 或y＝﹣24，当y＝24 时，满足x0+y0＝400+24＝424，所以关于y 的方程|y|＝24 是关于x 的一元一次方程4x＝5x 400 ﹣ 的“航天方程”． （1）试判断关于y 的方程|y 1| ﹣＝20 是否是关于x 的一元一次方程x+403＝2x 的“航天 方程”？并说明理由； （2）若关于y 的方程|y 1| 3 ﹣﹣＝13 是关于x 的一元一次方程x﹣ ＝2+1 的“航天 方程”，求的值． 20．对x 定义一种新运算E，规定E（x）＝（x+2）（2bx 3 ﹣），其中，b 是非零常数．如： 当＝1，b＝1 时，E（x）＝（x+2）（2x 3 ﹣）＝2x2+x 6 ﹣． （1）当，b 满足 时，计算E（x）； （2）已知 ，请求出 的值； （3）若当＝3，b＝2 时，关于x 的不等式组 恰好有5 个 整数解，求k 的取值范围． 21．规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1，则称这两个数关于1 的“刹 那 又一年”，例如：6 5 ﹣＝1 或|5 6| ﹣＝1，则称6 与5 是关于1 的“刹那又一年”，请你 尝试运用上述规定，解答下列问题： （1）填空：（在横线上填“是”或“不是”） ①已知：P（2x+12，2y+10）在坐标系的原点上，那么x 与y 是否关于1 的“刹那又一 年” ； ②已知不等式组 的整数解为，b，那么与b 是否关于1 的“刹那又一 年” ； （2）已知方程组： 的解x 和y 是关于1 的“刹那又一年”，求t 的值； （3）已知：x＞y 且 中的x 和y 是关于1 的“刹那又一年”，当m 为正整 数时，S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8 满足条件0＜＜|S1﹣S2|的整数有且只有8 个，令t＝ m+b2，化简 ． 22．我们把关于x，y 的两个二元一次方程x+ky＝b 与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一 次方程，二元一次方程组 叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于x，y 的二元一次方程组为 共轭二元一次方程组，则＝ ，b＝ ． （2）若二元一次方程x+ky＝b 中x，y 的值满足下列表格： x 2 0 y 0 1 则这个方程的共轭二元一次方程是 ． （3）直接写出方程组的解： 的解为 ； 的解为 ； 的解为 ． （4）发现：若共轭二元一次方程组 的解是 ，则m，之间的数量关系是 ． （5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解． 23．阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该 不等式组的“子方程”，例如：2x 1 ﹣＝3 的解为x＝2， 的解集为﹣3≤x ＜4，不难发现x＝2 在﹣3≤x＜4 的范围内，所以2x 1 ﹣＝3 是 的“子方 程”． 问题解决： （1 ）在方程①3x 1 ﹣＝0 ，② ，③2x+3 （x+2 ）＝21 中，不等式组 的“子方程”是 ．（填序号） （2）若关于x 的方程2x﹣k＝2 是不等式组 的“子方程”，求k 的取值范 围； （3）若方程2x+4＝0， ＝﹣1 都是关于x 的不等式组 的“子方程”， 试求m 的取值范围． 24．定义一种新运算：对于实数x、y，有L（x，y）＝x+by（其中，b 均为非零常数），由 这种运算得到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y 叫做线性数的一个数对，若 实数x，y 都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y 叫做正格线性数的正 格数对． （1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝ ，L（ ，﹣ ）＝ ； （2）已知L（5， ）＝ ，L（2， ）＝8． ①若L（m 1 ﹣，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m 1 ﹣，m+2）＜99 的正格数对有 哪些？ ②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若 有，请找出；若没有，请说明理由． 25．阅读下列材料解答问题： 新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当为非负整数时，如果﹣ ≤x＜+ ， 则＜x＞＝；反之，当为非负整数时，如果＜x＞＝，则﹣ ≤x＜+ ．例如： ＜01＞＝＜049＞＝0，＜151＞＝＜248＞＝2，＜3＞＝3，＜45＞＝＜525＞＝5，… 试解决下列问题： （1）①＜π+24＞＝ （π 为圆周率）； ②如果＜x 1 ﹣＞＝2，则数x 的取值范围为 ； （2）求出满足＜x＞＝ x 1 ﹣的x 的取值范围． 26．【情境呈现】： 在解方程组 时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法 求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x 3 ﹣y 分别看作一个整 体，通过换元：令m＝2x+3y、＝4x 3 ﹣y，可以将原方程组化为 ，解得 ， 把 代入m＝2x+3y、＝4x 3 ﹣y，得 ，解得 ，所以原方程组解为 ． 【灵活运用】： （1）若方程组 的解为 ，则方程组 的解为 ； （2）若方程组 的解为 ，其中k 为常数． ①求方程组 的解： ②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x＞y，若存在，请求出k 的值；若不存 在，请说明理由． 27．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x 的一元一次方程x+b＝0（≠0）的解，y0是关于y 的方程的所有解的其中一个解，且x0， y0满足x0+y0＝100，则称关于y 的方程为关于x 的一元一次方程的“友好方程”．例如： 一元一次方程3x 2 ﹣x 99 ﹣ ＝0 的解是x0＝99，方程y2+1＝2 的所有解是y＝1 或y＝﹣1， 当y0＝1 时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2 为一元一次方程3x 2 ﹣x 99 ﹣ ＝0 的“友好方程”． （1）已知关于y 的方程：①2y 2 ﹣＝4，②|y|＝2， 以上哪个方程是一元一次方程3x 2 ﹣x 102 ﹣ ＝0 的“友好方程”？ 请直接写出正确的序号是 ． （2）若关于y 的方程|2y 2|+3 ﹣ ＝5 是关于x 的一元一次方程x﹣ ＝+1 的“友好方 程”，请求出的值． （3）如关于y 的方程2m|y 49|+ ﹣ ＝m+是关于x 的一元一次方程mx+45＝54m 的“友好方程”，请直接写出 的值．