专题19.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】（解析版）

专题194 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】 【人版】 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】.............................................................................................................1 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】.............................................................................................................3 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】..........................................................................................4 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】.................................................................................................. 5 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】.........................................................................................................7 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】.....................................................................................................9 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】........................................................................................................11 【题型8 绝对值函数与不等式】...........................................................................................................................14 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】................................................................................................19 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】...........................................................................................21 【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】 1 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）．当函数值为0 时，即kx+b=0 就与一元一次方程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式．所以解一 元一次方程可以转化为：当一次函数值为0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 2 解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0 时，求自变量相应的取 值范围 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 【例1】（2022 秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m 4 ﹣经过点（m，0），则关于x 的方程 3x﹣m 4 ﹣＝0 的解是 x ＝ 2 ． 【分析】根据函数与方程的关系进行解答即可． 【解答】解：把x＝m，y＝0 代入y＝3x﹣m 4 ﹣中，可得：m＝2， 所以关于x 的方程3x﹣m 4 ﹣＝0 的解是x＝2， 故答为：x＝2 【变式1-1】（2022 春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b 的图象如图所示，则关于x 的方 程kx+b＝0 的解为 x ＝﹣ 2 ． 1 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴的交点坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴的交点坐标是（﹣2， 0）， ∴关于x 的方程kx+b＝0 的解为x＝﹣2， 故答为：x＝﹣2． 【变式1-2】（2022 春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b 是常数）的图象如 图所示，则关于x 的方程kx+b＝4 的解是（ ） ．x＝3 B．x＝4 ．x＝0 D．x＝b 【分析】可利用函数图象可直接得到答． 【解答】解：由图象知，一次函数的图象过点（3，4）， 所以有3k+b＝4， 所以x＝3 是方程kx+b＝4 的解， 故选：． 【变式1-3】（2022 秋•招远市期末）已知关于x 的一次函数y＝3x+的图象如图，则关于x 的一次方程3x+＝0 的解是（ ） ．x＝﹣2 B．x＝﹣3 ． D． 【分析】根据函数的图象得出一次函数y＝3x+与y 轴的交点坐标是（0，2），把坐标代 入函数解析式，求出，再求出方程的解即可． 【解答】解：从图象可知：一次函数y＝3x+与y 轴的交点坐标是（0，2）， 1 代入函数解析式得：2＝0+， 解得：＝2， 即y＝3x+2， 当y＝0 时，3x+2＝0， 解得：x＝﹣ ， 即关于x 的一次方程3x+＝0 的解是x＝﹣ ， 故选：D． 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 【例2】（2022 秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m 的图象与正比例函数y＝kx 的图象 交于点（﹣2，4）（k，m 是常数），则关于x 的方程5x＝kx﹣m 的解是 x ＝﹣ 2 ． 【分析】由题意可知当x＝﹣2 时，一次函数y＝5x+m 与正比例函数y＝kx 的函数值相同， 从而可得到方程的解． 【解答】解：一次函数y＝5x+m 图象与正比例函数y＝kx 图象交于点（﹣2，4）， 当x＝﹣2 时，5x+m＝kx，即5x＝kx﹣m， 方程5x＝kx﹣m 的解是x＝﹣2， 故答为：x＝﹣2． 【变式2-1】（2022 秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b 与函数y＝kx 1 ﹣的图象交于点 P，则关于x 的方程kx 1 ﹣＝2x+b 的解是 x ＝ 1 ． 【分析】方程kx 1 ﹣＝2x+b 的解，就是两个函数图象的交点的横坐标，观察图象即可解 决问题； 【解答】解：方程kx 1 ﹣＝2x+b 的解，就是两个函数图象的交点的横坐标， 观察图象可知方程的解为x＝1， 故答为x＝1 【变式2-2】（2022 秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1 与 的图象相交于点 （2，5），求关于x 的方程kx+b＝0 的解． 【分析】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b 的值，进而解方程得出答． 1 【解答】解：∵一次函数y＝kx+1 与 的图象相交于点（2，5）， 5 ∴＝2k+1，5＝﹣ ×2+b， 解得：k＝2，b＝6， 则kx+b＝0 为：2x+6＝0， 解得：x＝﹣3． 【变式2-3】（2022 秋•包河区期末）已知直线y＝x+b 和y＝x+2 交于点P（3，﹣1），则 关于x 的方程（﹣1）x＝b 2 ﹣的解为 x ＝ 3 ． 【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题． 【解答】解：由（﹣1）x＝b 2 ﹣知，x+b＝x+2． ∵直线y＝x+b 和x+2 交于点P（3，﹣1）， ∴当x＝3 时，x+b＝x+2＝﹣1， 即关于x 的方程（﹣1）x＝b 2 ﹣的解为x＝3． 故答为：x＝3． 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 【例3】（2022 春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k 为常数且k≠0）的图象经过点 （﹣2，0），则关于x 的方程k（x 5 ﹣）+b＝0 的解为 x ＝ 3 ． 【分析】由y＝k（x 5 ﹣）+b 与y＝kx+b 可得直线y＝kx+b 向右平移5 个单位得到直线y ＝k（x 5 ﹣）+b，从而可得直线y＝k（x 5 ﹣）+b 与x 轴交点坐标，进而求解． 【解答】解：直线y＝k（x 5 ﹣）+b 是由直线y＝kx+b 向右平移5 个单位所得， ∵y＝kx+b 与x 轴交点为（﹣2，0）， ∴直线y＝k（x 5 ﹣）+b 与x 轴交点坐标为（3，0）， ∴k（x 5 ﹣）+b＝0 的解为x＝3， 故答为：x＝3． 【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝x+b（、b 为常数，且≠0）的图象过点 （2，0），则关于x 的方程（x+1）+b＝0 的解是 x ＝ 1 ． 【分析】首先根据函数解析式可得一次函数y＝x+b 的图象向左平移1 个单位可得y＝ （x+1）+b 的图象，进而可得一次函数y＝（x+1）+b 的图象与x 轴交于点（1，0），然 后可得答． 【解答】解：一次函数y＝x+b 的图象向左平移1 个单位可得y＝（x+1）+b 的图象， ∵一次函数y＝x+b（、b 为常数，且≠0）的图象过点（2，0）， ∴一次函数y＝（x+1）+b 的图象与x 轴交于点（1，0）， ∴关于x 的方程（x+1）+b＝0 的解是：x＝1， 1 故答为：x＝1． 【变式3-2】（2022 秋•庐阳区校级期中）若关于x 的一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣ 1，0），则方程k（x+2）+b＝0 的解为 ﹣ 3 ． 【分析】把点（﹣1，0）代入y＝kx+b，求得b＝k，所以方程变为k（x+2）+k＝0，即 可求得方程的解． 【解答】解：∵关于x 的一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣1，0）， ∴﹣k+b＝0， ∴b＝k， ∴方程k（x+2）+b＝0 化为方程k（x+2）+k＝0， ∴k（x+3）＝0， ∴x＝﹣3． 故答为﹣3． 【变式3-3】（2022 秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx 2 ﹣向下平移4 个单位长度得直线y ＝kx+m，已知方程kx+m＝0 的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣ 6 ． 【分析】利用直线平移的规律得到m＝﹣6，然后把x＝3 代入kx 6 ﹣＝0 可求出k 的值． 【解答】解：∵直线y＝kx 2 ﹣向下平移4 个单位长度得直线解析式为y＝kx 2 4 ﹣﹣，即y ＝kx 6 ﹣， ∴m＝﹣6， ∵程kx+m＝0 的解为x＝3， 3 ∴k 6 ﹣＝0，解得k＝2． 故答为2，﹣6． 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 【例4】（2022 春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组{ y=kx+3 y=ax+b的解为 { x=−1 y=2 ． 【分析】首先观察函数的图象y＝kx+3 经过点（﹣3，0），然后求得k 值确定函数的解 析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可； 1 【解答】解：根据图象知：y＝kx+3 经过点（﹣3，0）， 所以﹣3k+3＝0， 解得：k＝1， 所以解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1 时，y＝2， 所以两个函数图象均经过（﹣1，2） 所以方程组{ y=kx+3 y=ax+b的解为{ x=−1 y=2 ， 故答为：{ x=−1 y=2 ． 【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如 图所示，则关于x，y 的方程组{ y−k1 x=b1 y−k2 x=b❑2 的解是 { x=2 y=1 ． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1）， ∴关于x，y 的方程组{ y−k1 x=b1 y−k2 x=b❑2 的解是{ x=2 y=1． 故答为{ x=2 y=1． 【变式4-2】（2022 秋•西乡县期末）已知二元一次方程组{ x−y=−5 x+2 y=−2的解为{ x=−4 y=1 ，则 在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5 与直线l2：y¿−1 2x 1 ﹣的交点坐标为（ ） ．（4，1） B．（1，﹣4） ．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1） 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可． 【解答】解：∵二元一次方程组{ x−y=−5 x+2 y=−2的解为{ x=−4 y=1 ， 1 ∴直线l1：y＝x+5 与直线l2：y¿−1 2x 1 ﹣的交点坐标为（﹣4，1）． 故选：D． 【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y 的二元一次方程x+2y﹣b＝0 的解为坐标的 点（x，y）都在直线y¿−1 2x+b 1 ﹣上，则常数b 的值为（ ） ．1 2 B．1 ．﹣1 D．2 【分析】直线解析式乘以2 后和方程联立解答即可． 【解答】解：因为以关于x、y 的二元一次方程x+2y﹣b＝0 的解为坐标的点（x，y）都 在直线y¿−1 2x+b 1 ﹣上， 直线解析式乘以2 得2y＝﹣x+2b 2 ﹣，变形为：x+2y 2 ﹣b+2＝0， 所以b 2 ﹣b+2＝0， 解得：b＝2， 故选：D． 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 【例5】（2022 秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y 的方程组{ y=kx+b y=(3k−1)x+2 （1）当k，b 为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k，b 为何值时，方程组有无数组解； （3）当k，b 为何值时，方程组无解． 【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k 1 ﹣时，直线y＝kx+b 与y＝（3k 1 ﹣） x+2 只有一个交点，于是可得到k 的取值范围； （2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k 1 ﹣，b＝2 时，直线y＝kx+b 与y＝（3k 1 ﹣） x+2 重合，于是可得到k、b 的值； （3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k 1 ﹣，b≠2 时，直线y＝kx+b 与y＝（3k 1 ﹣） x+2 没有一个交点，于是可得到k 的值和b 的取值范围． 【解答】解：（1）当k≠3k 1 ﹣时，即k≠1 2，直线y＝kx+b 与y＝（3k 1 ﹣）x+2 只有一个 交点， 所以当k≠1 2，b 为任意数时，方程组有唯一一组解； （2）当k＝3k 1 ﹣，b＝2 时，即k¿ 1 2，b＝2，直线y＝kx+b 与y＝（3k 1 ﹣）x+2 重合， 1 所以k¿ 1 2，b＝2 时，方程组有无数组解； （3）当k＝3k 1 ﹣，b≠2 时，即k¿ 1 2，b≠2，直线y＝kx+b 与y＝（3k 1 ﹣）x+2 没有交点， 所以k¿ 1 2，b≠2 时，方程组无解． 【变式5-1】（2022 秋•苏州期末）若二元一次方程组{ 3 x+ y=−1 2 x+my=−8有唯一的一组解，那 么应满足的条件是（ ） ．m=2 3 B．m≠2 3 ．m=−2 3 D．m≠−2 3 【分析】由已知可以把方程组x 的系数转化为它们的最小公倍数，分析转化后的方程组 得到满足的条件． 【解答】解：原方程组化为：{ 6 x+2 y=−2 6 x+3my=−24， 2≠ 24 ∵﹣ ﹣ ， ∴要使方程组有唯一的一组解， 则3m≠2， 所以m≠2 3． 故选：B． 【变式5-2】（2022 春•覃塘区期中）如果关于x，y 的方程组{ x+ y=1 ax+by=c有唯一的一组解， 那么，b，的值应满足的条件是（ ） ．≠b B．b≠ ．≠ D．≠且≠1 【分析】此题的解法在于将两式的y 用x 来代替然后列出y 关于x 的方程，因为有唯一 解，根据方程可得出，b，的值的条件． 【解答】解：方程组{ x+ y=1 ax+by=c变形得{ y=1−x y= c b −a b x， 1 ∴﹣x¿ c b −a b x， ∴（﹣b）x＝﹣b， ∴x¿ c−b a−b， 要使方程有唯一解， 则≠b， 1 故选：． 【变式5-3】（2022 春•高明区期末）k 为何值时，方程组{ kx−y=−1 3 3 y=1−6 x 有唯一一组解；无 解；无穷多解？ 【分析】先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式，再根据二元一次方程组的解的 三种情况进行分析，从而得出结果． 【解答】解：原方程组可化为{ kx−y=−1 3 6 x+3 y=1 ， ①当k 6 ≠−1 3 ，即k≠ 2 ﹣时，原方程组有唯一一组解； ②当k 6 =−1 3 ≠ −1 3 1 ，即k 无论取什么值，都不能使原方程组无解； ③当k 6 =−1 3 = −1 3 1 ，即k＝﹣2 时，原方程组有无穷多解． 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b 中x 取不同值时，y 对应的值 列表如下： x … ﹣m2 1 ﹣ 1 2 … y … 2 ﹣ 0 2+1 … 则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，为常数）的解集为（ ） ．x＞1 B．x＞2 ．x＜1 D．无法确定 【分析】首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即 可进行判断． 【解答】解：∵﹣m2 1 ﹣＜2，﹣2＜2+1， ∴函数y＝kx+b 中y 随x 的增大而增大， 又∵函数经过点（1，0）， ∴kx+b＞0（其中k，b，m，为常数）的解集为：x＞1． 故选：． 【变式6-1】（2022 春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣3， 2），B（1，0），则关于x 的不等式kx+b＜2 解集为 x ＞﹣ 3 ． 1 【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ kx+b 的值小于2 的自变量x 的取值范围． 【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3 时，kx+b＜2， 故答为：x＞﹣3． 【变式6-2】（2022 春•湖南期中）已知关于x 的不等式x+1＞0（≠0）的解集是x＜1，则 直线y＝x+1 与x 轴的交点是（ ） ．（0，1） B．（﹣1，0） ．（0，﹣1） D．（1，0） 【分析】由于关于x 的不等式x+1＞0（≠0）的解集是x＜1，得到小于0，表示出不等式 的解集，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入确定出直线y＝x+1 解 析式，即可求出与x 轴的交点坐标． 【