第2章 方程与不等式（测试）（原卷版）

第二章 方程与不等式 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 号汽油价格三月底是 元/升，五月底 是 元/升．设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据题意列出方程，正确的是（ ） ． B． ． D． 2．某体育比赛的门票分票和B 票两种，票每张x 元，B 票每张y 元．已知10 张票的总价与19 张B 票的总 价相差320 元，则（ ） ． B． ． D． 3．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20 个， 记分规则如下：每答对一个得5 分，每答错或不答一个扣1 分．小红一共得70 分，则小红答对的个数为（ ） ．14 B．15 ．16 D．17 4．上学期某班的学生都是双人同桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，本学期该班新 转入4 个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x 人，女生y 人，根据题意可得方程组为（ ） ． B． ． D． 5．【原创题】在解一元二次方程x2+px+q＝0 时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小 明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ） ．x2+2x 3 ﹣＝0 B．x2+2x 20 ﹣ ＝0 ．x2 2 ﹣x 20 ﹣ ＝0 D．x2 2 ﹣x 3 ﹣＝0 6．满足 的整数 的值可能是（ ） ．3 B．2 ．1 D．0 7．定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法 和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根， 则 的取值范围是（ ） ． 且 B． ． 且 D． 8．若关于x 的分式方程 有正数解，求m 的取值范围．甲解得的答是： ，乙解得的答是： ，则正确的是（ ） ．只有甲答对 B．只有乙答对 ．甲、乙答合在一起才正确 D．甲、乙答合在一起也不正确 9．【原创题】设 为实数， 则x、y、z 中至少有一个值 （ ） ．大于 B．等于 ．不大于 D．小于 10．【创新题】已知多项式 ，多项式 ． ①若 ，则代数式 的值为 ； ②当 ， 时，代数式 的最小值为 ； ③当 时，若 ，则关于x 的方程有两个实数根； ④当 时，若 ，则x 的取值范围是 ． 以上结论正确的个数是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．【原创题】已知关于x的一元一次方程 1 2024 x+3=2 x+b的解为x=2，则关于y的一元一次方程 1 2024 ( y+1)=2 y−1+b的解为 ． 12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的 的值是 ． 先化简，再求值： ，其中 解：原式 13．关于x 的方程x2－2bx－3＝0(b≠0)两根为m，，且(2m2－4bm＋2)(32－6b－2)＝54，则的值为 ． 14．点Q 的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为 的值，其中，b 满足二元一次方程 组 ，则点Q 关于y 轴对称点 的坐标为 ． 【新考法】 信息题 15．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益 相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏 至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若 冬至的晷长为135 尺，夏至的晷长为15 尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺． 【新考法】 与一元二次方程有关的新定义问题 16．将两个关于x 的一元二次方程整理成 （ ，、、k 均为常数）的形式，如果只有系 数不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程 （ ）与方程 是“同源二次方程”，且方程 （ ）有两 个根为 、 ，则b－2＝ ， 的最大值是 ． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7 分，22 题8 分 23 题9 分，24 题10 分，25 题13 分） 17．由工业和信息化部人才交流中心和 国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛 ， 年月日在线上召开 赛季启动大会为备战机器人大赛，某校对机器人进行 米 比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛比赛中，“冲锋”先出发秒后，“东风”从同一起始 位置出发，结果“东风”迟到 秒到达终点已知“东风”是“冲锋”的平均速度的 倍，求“冲锋”的 平均速度． 18．已知一元二次方程□ ，其中系数“□”印刷不清． (1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程 ； (2)淇淇说：“我看答该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？ 19．整式 的值为P． (1)当m＝2 时，求P 的值； (2)若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值． 20．下面是小辉和小莹两位同学解方程组 的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 小辉：由②得， ．③…………第一步 将③代入①得， ．……第二步 整理得， ．………………第三步 解得 ．…………………………第四步 将 代入③，解得 ．………第五步 ∴原方程组的解为 ……………第六步 小莹： 得， ．………………第一步 解得 ，…………………………第二步 将 代入①得， ．…………第三步 整理得， ．………………第四步 解得 …………………………第五步 ∴原方程组的解为 …………第六步 任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题． ①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________； ②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：直接写出该方程组的正确解； 任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）． 【新考法】 数学与规律探究——图形规律规律 21．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20 的灰、白两色的广场砖铺设图，设计人员画出的一些备 选图如图所示． [观察思考]图1 灰砖有1 块，白砖有8 块；图2 灰砖有4 块，白砖有12 块；以此类推． (1)[规律总结]图4 灰砖有______块，白砖有______块；图灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1 的情形，请通过计算说明你的理由． 22．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700 元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700 元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记 得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一 天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方有哪些？ 23．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2 倍，用80 元购买的甲食 材比用20 元购买的乙食材多1 千克． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42 毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50 毫克 乙食材 10 毫克 规格 每包食材含量 每包单价 包装 1 千克 45 元 B 包装 025 千克 12 元 （1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ （2）该公司每日用18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ ②已知每日其他费用为2000 元，且生产的营养品当日全部售出．若的数量不低于B 的数量，则为多少包 时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 24．【创新题】阅读理解以下内容，解决问题： 解方程： ． 解： ， 方程即为： ， 设 ，原方程转化为： 解得， ， ， 当 时，即 ， ， ； 当 时，即 ，不成立． 综上所述，原方程的解是 ， ． 以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方 程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是 ______； (2)仿照上述方法，解方程： ． 【新考法】 利用整体代换思想求解 25．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为 ，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做 换元法． 材料2 已知实数m，满足 ， ，且 ，显然m，是方程 的两个不相等的实 数根，由韦达定理可知 ， ． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程 的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数，b 满足： ， 且 ，求 的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y 满足： ， 且 ，求 的值．