重难点突破02 与方程、不等式有关的参数问题（解析版）

重难点突破02 与方程、不等式有关的参数问题 目 录 类型一 一元一次方程 题型一 根据方程定义求参数值 题型二 已知方程的解，求参数或代数式的值 题型三 一元一次方程同解问题 题型四 利用两个方程解的关系求值 题型五 错解问题 题型六 一元一次方程的正整数解 类型二 二元一次方程（组） 题型一 根据方程定义求参数值 题型二 已知方程组的解，求参数或代数式的值 题型三 二元一次方程（组）同解问题 题型四 利用两个方程解的关系求值 题型五 错解问题 题型六 遮挡问题 题型七 解的个数问题 题型八 二元一次方程的正整数解 类型三 一元一次不等式（组） 题型一 根据一元一次不等式定义求参数值 题型二 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 题型三 一元一次不等式整数解问题 题型四 不等式与方程组综合求参数的取值范围 题型五 已知有解、无解情况求参数的取值范围 题型六 由不等式组整数解情况确定字母取值范围 题型七 由不等式组的解集确定字母的取值范围 题型八 已知特殊解的情况求参数的取值范围 题型九 不等式组与方程的综合求参数的取值范围 类型四 分式方程 题型一 利用分式方程解的定义求参数的值 题型二 分式方程同解问题 题型三 利用分式方程解的范围求字母的值 题型四 根据分式方程有解或无解求参数值或取值范围 题型五 根据分式方程的增根求参数 题型六 分式与不等式综合求参数 类型五 一元二次方程 题型一 由一元二次方程的概念求参数的值 题型二 由一元二次方程的解求参数的值 题型三 应用根的判别式求代数式的取值范围 题型四 由方程两根的关系确定字母系数的取值范围 类型一 一元一次方程 题型一 根据方程定义求参数值 1．（2022 上·云南红河·统考期末）若代数式(m−1) x|m|+4=0是关于x的一元一次方程，则m=¿ ． 【答】−1 【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可得解． 【详解】解：方程(m−1) x|m|+4=0是关于x 的一元一次方程， 则有：|m|=1且m−1≠0， 解得：m=−1， 故答为：−1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为1 的整式方程叫做一元一 次方程，熟记定义是关键． 2．（2021·贵州·统考一模）已知关于x的方程(k 2−4) x 2+(k−2) x=k+6是一元一次方程，则方程的解为 （ ） ．-2 B．2 ．-6 D．-1 【答】D 【分析】利用一元一次方程的定义确定出k 的值，进而求出k 的值即可． 【详解】解：∵方程(k 2−4) x 2+(k−2) x=k+6是关于x 的一元一次方程， ∴¿ ， 解得：k=-2，方程为-4x=-2+6， 解得：x=-1， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题 的关键． 3．（2023 上·黑龙江哈尔滨·校考期中）已知(m−2) x m 2−3+5=0是关于x 的一元一次方程，关于x，y 的单 项式a x n y 3的系数是最大的负整数，且次数与单项式2 x 2 y 4的次数相同，求代数式m 2−an的值． 【答】7 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，单项式的次数和次数，有理数的大小比较，解题的关键是利用 相应的定义得到各个字母的值，代入计算． 【详解】解：∵(m−2) x m 2−3+5=0是关于x 的一元一次方程， ∴¿， 解得：m=−2， ∵关于x，y 的单项式a x n y 3的系数是最大的负整数， ∴a=−1， 又次数与单项式2 x 2 y 4的次数相同， ∴n+3=2+4，即n=3， ∴m 2−an=(−2) 2−(−1)×3=7． 题型二 已知方程的解，求参数或代数式的值 1．（2020·吉林长春·统考三模）关于x的一元一次方程2 x a−2−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为 （ ） ．9 B．8 ．7 D．5 【答】 【分析】先根据一元一次方程的定义可得出的值，再根据一元一次方程的解定义可求出m 的值，然后代入 求值即可． 【详解】∵方程2 x a−2−2+m=4是关于x的一元一次方程， ∴a−2=1， 解得a=3， ∴方程为2 x−2+m=4， 又∵x=1是方程2 x−2+m=4的解， ∴2×1−2+m=4， 解得m=4， 则a+m=3+4=7， 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、以及解定义，掌握理解一元一次方程的定义是解题关键． 的值叫做一元一次方程的解． 2．（2023·湖北咸宁·统考一模）若关于x的一元一次方程2 x−a=3的解是1，则的值是（ ） ．−1 B．1 ．−5 D．5 【答】 【分析】将x=1，代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程2 x−a=3的解是1， ∴2×1−a=3， ∴a=−1； 故选． 【点睛】本题考查一元一次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 3．（2022·安徽六安·校考一模）已知x= - 1 是关于x 的方程2 x+ax+b=0的解，则代数式100-3+3b= 。 【答】106 【分析】把x=-1 代入2x+x+b=0，求得-+b=2，再把100-3+3b 整理后整体代入求值． 【详解】∵x= - 1 是关于x 的方程2 x+ax+b=0的解， -2-+ ∴ b=0， -+ ∴ b=2， ∴100−3a+3b=100+3 (−a+b)=100+3×2=106． 故答为106． 【点睛】本题考查了方程的根，整式的化简求值，熟练掌握方程根的定义和性质，整体代入法求代数式的 值，是解决此类问题的关键． 题型三 一元一次方程同解问题 1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）已知关于x 的方程2 x+5a=1与2+x=0的解相同，则的 值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．5 【答】 【分析】先求出方程2+x=0的解，然后代入方程2 x+5a=1，即可求出答． 【详解】解：∵2+x=0， ∴x=−2， 把x=−2代入方程2 x+5a=1，则 2× (−2)+5a=1， 解得：a=1； 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题． 2．（2020·浙江·模拟预测）若方程3 x+13=4和方程1−3a−x 6 =0的解相同，则a的值为（ ） ．−3 B．−1 ．1 D．3 【答】 【分析】先解3 x+13=4，求出x 的值，代入1−3a−x 6 =0，然后解关于的方程即可． 【详解】解：3 x+13=4， 移项、合并同类项得 3x=-9， 系数化为1，得 x=-3， 把x=-3 代入1−3a−x 6 =0得， 1−3a+3 6 =0， 去分母，得 6-3-3=0， 移项，得 -3=3-6， 合并同类项，得 -3=-3， 系数化为1，得 =1， 故选． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未 知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并 同类项；⑤未知数的系数化为1． 题型四 利用两个方程解的关系求值 1．（2022 上·河北保定·校考阶段练习）若关于x 的方程2﹣（1﹣x）＝0 与方程mx 3 ﹣（5﹣x）＝﹣3 的解 互为相反数，则m 的值（ ） ．9 B．8 ．7 D．6 【答】 【分析】先求出第一个方程的解，得出它的相反数，再代入第二个方程，即可求得m 的值． 【详解】方程2﹣（1﹣x）＝0 的解为x=−1， -1 ∵ 相反数是1， ∴x=1是方程mx 3 ﹣（5﹣x）＝﹣3 的解， 代入，得m−3 (5−1)=−3， 解得：m=9， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，掌握运算法则是解题的关键． 2．（2022 上·江苏泰州·校考阶段练习）关于x 一元一次方程2 x−1 3 = x+a 2 −3①， 2 (3 x+4 )−5 (x+1)=3 ②， (1)若方程①的解比方程②的解小4，求的值； (2)小马虎同学在解方程①时，右边的“−3”漏乘了公分母6，因而求解方程的解为x=2，试求方程①的 正确的解； 【答】(1)a=4 (2)x=−13 【分析】（1）解出方程①和②的解，并利用方程①的解比方程②的解小4 列出等式并求解即可． （2）由题意得2(2 x−1)=3( x+a)−3，再把x=2代入2(2 x−1)=3( x+a)−3，解出的值，再将其值代 入原式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 2 x−1 3 = x+a 2 −3， 解得：x=3a−16， 2 (3 x+4 )−5 (x+1)=3， 解得：x=0， 则：0−(3a−16)=4， 解得：a=4． （2）由题意得：2(2 x−1)=3( x+a)−3， 将x=2代入2(2 x−1)=3( x+a)−3得：2×(2×2−1)=3×(2+a)−3， 解得：a=1， 则：2 x−1 3 = x+1 2 −3， 解得：x=−13． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 3．（2023 上·广东湛江·校考阶段练习）已知关于x的方程2 (x+1)−m=−2 (m−2)的解比方程 5 (x+1)−1=4 (x−1)+1的解大2，求m的值． 【答】12 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 先分别解两个一元一次方程，然后根据题意列关于m的一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：2 (x+1)−m=−2 (m−2)， 2 x+2−m=−2m+4， 2 x=−m+2， x=−m 2 +1； 5 (x+1)−1=4 (x−1)+1， 5 x+5−1=4 x−4+1 x=−7； 由题意知，−m 2 +1−(−7)=2， 解得，m=12， ∴m的值为12． 题型五 错解问题 1．小明是（2）班的学生，他在对方程2 x−1 3 ¿ x+a 2 −1去分母时由于粗心，方程右边的−1没有乘6 而得 到错解x=4，你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答】a=1，x=−1 【分析】先把错误的解法得到的x 的值代入方程求出的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再 去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解：∵方程右边的−1忘记乘6，求出的解为x=4， ∴2 (2×4−1)=3 (4+a)−1， 解得a=1， 则原方程为：2 x−1 3 ¿ x+1 2 −1， 去分母，得4 x−2=3 x+3−6， 移项、合并同类项，得x=−1． 【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到的值是解题的关键． 题型六 一元一次方程的正整数解 1．（2023 上·重庆忠县·校考期中）若整数使关于x 的一元一次方程2+ax 4 =2−a 2有正整数解，则符合条件 的所有整数之和为（ ） ．−6 B．3 ．0 D．−3 【答】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程 得到ax=6−2a，再证明a≠0，推出x=6 a−2，根据方程有正整数解得到6 a是大于2 的正整数，据此求出 符合条件的的值，然后求和即可． 【详解】解：2+ax 4 =2−a 2 去分母得：2+ax=8−2a， 移项得：ax=8−2a−2， 合并同类项得：ax=6−2a， 当a=0时，0=6−0，不成立， ∴a≠0， ∴x=6−2a a =6 a−2， ∵整数使关于x 的一元一次方程2+ax 4 =2−a 2有正整数解， ∴6 a−2是正整数，即6 a是大于2 的正整数， ∴a=1时，6 a=6，符合题意； a=2时，6 2=3，符合题意； a=3时，6 3=2，不符合题意； ∴符合条件的所有整数之和为1+2=3， 故选B． 1．（2023 上·江苏盐城·校联考期中）若关于x 的方程1 2 mx−5 3=1 2(x−4 3)有负整数解，则整数m 为（ ） ．2 或3 B．−1或2 ．0 或−1 D．−1、0、2、3 【答】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先把m 当做已知数，按照去括号，去分母，移项，合并同类项，化 系数为1 的步骤求解该方程，再根据解为负整数，得出m−1=−1,−2，即可求解． 【详解】解：1 2 mx−5 3=1 2(x−4 3)， 1 2 mx−5 3=1 2 x−2 3， 3mx−10=3 x−4， 3mx−3 x=−4+10， 3 (m−1) x=6， x= 2 m−1， ∵方程有负整数解， ∴m−1=−1或−2， 当m−1=−1时，m=0， 当m−1=−2时，m=−1， 故选：． 3．（2023 下·江苏连云港·校考阶段练习）已知方程x−(2 x−a)=2的解是正数，则a的最小整数解是 （ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1 解方程，求得x=a−2，再根据方程的解是正数，求 出a>2，即可得到a的最小整数解． 【详解】解：x−(2 x−a)=2， 去括号，得：x−2 x+a=2， 移项，得：x−2 x=2−a， 合并同类项，得：−x=2−a， 系数化1，得：x=a−2， ∵方程x−(2 x−a)=2的解是正数， ∴a−2>0， ∴a>2， ∴a的最小整数解是3， 故选：． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 4．（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x 的方程2 x+4=m−x的解为非负数，则m 的取值范围是 （ ） ．m≤4 3 B．m≥4 3 ．m≤4 D．m≥4 【答】D 【分析】解方程得x=m−4 3 ，由解为非负数知m−4 3 ≥0，解之可得． 【详解】解：解方程2 x+4=m−x得x=m−4 3 ， 由题意知m−4 3 ≥0， 解得m≥4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注 意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 5．（2023 上·重庆渝北·校考期中）若关于x的方程(a−2) x=3和2 x=3+a有同一个整数解，则整数a=¿ ． 【答】3 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，解题的关键是直接解方程进而利用整数的定义分析即可得出答． 【详解】解：(a−2) x=3， 解得：x= 3 a−2， ∵3 a−2是整数， ∴a−2=±1或±3， ∴a=3，1，5或−1， ∵2 x=3+a， 解得：x=3+a 2 ， 当a=3时，方程(a−2) x=3的解：x= 3 3−2=3，方程2 x=3+a的解：x=3+3 2 =3，符合题意； 当a=1时，方程(a−2) x=3的解：x= 3 1−2=−3，方程2 x=3+a的解：x=3+1 2 =2，不符合题意； 当a=5时，方程(a−2) x=3的解：x= 3 5−2=1，方程2 x=3+a的解：x=3+5 2 =4，不符合题意； 当a=−1时，方程(a−2) x=3的解：x= 3 −1−2=−1，方程2 x=3+a的解：x=3−1 2 =1，不符合题意； 综上所述，整数a=3． 故答为：3． 6．（2022·江苏苏州·统考二模）关于x 的方程kx＋5=0 的解是负数，则k 的取值范围为 ． 【答】k＞0 【分析】直接解方程组，再根据方程的解是负数即可得到答． 【详解】∵kx＋5=0，当k=0时，等式5=0不成立 ∴k ≠0 ∴kx=−5 ∴x=−5 k ∵x 为负数 ∴−5 k <0 ∴k>0 故答为：k>0 【点睛】本题考查解一元一次方程和不等式的相关知识，分类讨论是解题的关键． 7．（2023 上·江苏扬州·校考期中）已知x , y为有理数，定义一种新的运算△：x Δ y=2 xy−x+1，若关于 x的方程x Δa=9有正整数解，且a为正整数．求符合条件的a值． 【答】1 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，先根据新定义运算得出关于x 的方程，再解关于x 的方 程，然后根据方程的解和是正整数求出值，即可求解． 【详解】解：∵ x Δa=9， ∴2ax−x+1=9， ∴x=¿ 8 2a−1, ∵x为正整数， ∴2a−1=1，2，4，8， ∵a为正整数， ∴a=1 类型二 二元一次方程（组） 题型一 根据方程定义求参数值 1．（2020·辽宁丹东·校考二模）若x+b-7+2y5-b-3=0 是二元一次方程，那么的、b 值分别是（ ） ．=2， b=4； B．=2， b=6； ．=3， b=5； D．=3， b=8 【答】B 【分析】根据二元一次方程的定义可得¿，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意可得¿， 解得¿， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 2．（2023 下·河南驻马店·校考阶段练习）若(m−1) x−y=1是二元一次方程，则写出一个符合条件的m值 ． 【答】2（答不唯一） 【分析】根据二元一次方程的定义可得m−1≠0，据此即可求解． 【详解】解：∵(m−1) x−y=1是二元一次方程， ∴m−1≠0，即m≠1， ∴一个符合条件的m值可以是2， 故答为：2（答不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 3．若x m−2 y n−3=1为含x，y 的二元一次方程，试求： (1)m 和的值； (2)求代数式2m−n 2 的立方根． 【答】(1)m=1，n=4 (2)−1 【分析】（1）根据二元一次方程的定义，即可求得m，n的值； （2）把m，n的值代入代数式2m−n 2 即可求解． 【详解】（1）由题意得，m=1，n−3=1， 即m=1，n=4； （2）代数式2m−n 2 的立方根为：3 √ 2×1−4 2 = 3 √−1=−1． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，立方根，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2 个 未知数，未知数的项的次数是1 的整式方程． 题型二 已知方程组的解，求参数或代数式的值 1．（2022 下·河北石家庄·校考阶段练习）小明在解方程组¿的过程中，错把b 看成了6，其余的解题过程 没有出错，解得此方程组的解为¿，已知直线y=kx+b过点(3,1)，则b 的正确值是（ ） ．4 B．−11 ．13 D．11 【答】B 【分析】解本题时可将¿和b=6代入方程组，解出k的值，然后再