专题09 线段上动点问题压轴题的四种考法（解析版）

专题09 线段上动点问题压轴题的的四种考法 类型一、线段之间数量关系问题 例．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点 B，M 在点的右侧，点在点M 的右侧)．P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点． (1)如图①，当点与点B 重合时，求线段 的长度(用含，b 的代数式表示)； (2)如图②，当线段 运动到点B，M 重合时，求线段 ， 之间的数量关系； (3)当线段 运动至点Q 在点B 的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的 数量关系． 【答】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意表示出 和 的长度，然后即可求出 ； （2）根据题意表示出 和 的长度，再表示出 和 的长度，即可发现 和 之 间的数量关系； （3）分两种情况讨论：①点M 在点B 的左侧，②点M 在点B 的右侧．表示出 和 ， 即可发现 ， ， 三者之间的数量关系． 【详解】（1）因为P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点，所以 ， ， ∴ ． （2）因为P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点，所以 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． （3）如图①， 当点M 在点B 的左侧时 ， ， 所以 ； 如图②，当点M 在点B 的右侧时 ， ， 所以 ． 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键． 【变式训练1】如图，数轴上点在原点左侧，点B 在原点右侧，且 ，动点P､Q 分 别从､B 两点同时出发，都向右运动，点P 的速度为每秒2 个单位长度，点Q 的速度为每秒 1 个单位长度，当点P 与点Q 重合时，P，Q 两点停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若点表示的数为 ，则点B 表示的数为________，线段 中点表示的数为_______ ____； （2）在（1）的条件下，若 ，求t 的值； （3）当点P 在线段 上运动时，若 ，请探究线段 与线段 之间的数 量关系，并说明理由． 【答】（1）6；-3；（2） 或13；（3） 或 ，见解析 【分析】（1）由点表示的数为 ，＝2B 可知，可求出B，B 长，从而得出结论； （2）分两种情况：点P 在原点的左侧和右侧时，P 表示的代数式不同，Q＝6+t，分别代入 2P﹣Q＝9 列式即可求出t 的值； （3））设线段 的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t 的值， 即可解决问题． 【详解】（1）∵点表示的数为 ，＝2B， ∴＝12，B＝6， ∴B＝18， ∴线段 中点表示的数为3． 故答是：6；﹣3； （2）当P､Q 相遇时， （秒）， ∴ ．当点P 在 上时， ， ∵ ， ∴ ， ，符合； 当点P 在原点右侧时， ， ∵ ， ， ，符合． 综上所述，若 ，t 的值为 或13 （3）设线段 的长为b，则 ． ∵点P 在线段 上运动， ∴ ． ． 若 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． ∴ ， 又∵ ， ∴ ； 若 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． ∴ ． ∵ ． ∴ ． 综上所述，线段 与线段 之间的数量关系为 或 ． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复 杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上， 两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 【变式训练2】如图1， ， 是直线上的两个点，且 ．线段 （ 在 的左 侧）可以在直线上左右移动．已知 ，点 是 的中点． （1）如图2，当 与 重合时， ， ； （2）在图2 的基础上，将线段 沿直线 向左移动 个单位长度得到图3． ①若 ，求 和 的长； ②若 ，则 的值是 ． （3）在图2 的基础上，将线段 沿直线 向右移动 个单位长度．请直接写出 与 之间的数量关系 ． 【答】（1）5，25；（2）① =2， =1；②1；（3）M=2B． 【分析】（1）当 与 重合时，M=M-=5,由点 是 的中点．由 ，可得=B= ； （2）①由线段 沿直线 向左移动 个单位长度,可得B= 可求 =M- =2，由点 是 的中点．== ，可求 ；②由 ， 解方程即可； （3）又线段 沿直线 向由移动 个单位长度,B= ，可得= 5-b，可求 =M- =5+b，由点 是 的中点．可求== ，可求 =+B= 即可． 【详解】解：（1）当 与 重合时，M=M-=M-B=10-5=5， ∵点 是 的中点． ∴点 是 的中点， ∵ ， =B= ∴ ， 故答为：5，25； （2）①∵线段 沿直线 向左移动 个单位长度， ∵ ， B= ∴ ， =B+B=5+ ∴ =8， ∴ =M-=M-（B+B）=10-（5+3）=2， ∵点 是 的中点． == ∴ ， =-B=4-3=1； ②∵ ， ， 即 ， ， =1， 故答为：１； （3）∵线段 沿直线 向由移动 个单位长度， B= ∴ ， =B-B=5-b ∴ ， ∴ =M-= 10-（5-b）=5+b， ∵点 是 的中点． == ∴ ， ∴ =+B= ， M=2B ∴ ． 故答为：M=2B． 【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差 列方程，理解线段和差是解题关键． 类型二、定值问题 例．如图，在数轴上点表示的数是，点B 表示的数是b，且 ， (1)填空： ， ； (2)在线段 上有一点，满足 ，求点表示的数； (3)动点P 从点出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发， 以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M 从点出发，以每秒3 个单位长度 的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t 秒，当 时， 的值是否发生变化？ 若不变求出其值；若变化，写出范围． 【答】(1)8， ；(2) ；(3) 的值不会发生变化，详见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，可得 ，即可求解； （2）先求出 ，可得 ，即可求解； （3）根据题意可得依题意得： ，从而得到 ， ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，解得： ； 故答为：8， （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 表示的数为 ； （3）解： 的值不会发生变化， 依题意得： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的值不会发生变化． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结 合思想解答是解题的关键． 【变式训练1】如图，线段B＝5m，：B＝3：2，点P 以05m/s 的速度从点沿线段向点运动； 同时点Q 以1m/s 从点出发，在线段B 上做来回往返运动（即沿→B→→B→…运动），当点 P 运动到点时，点P、Q 都停止运动，设点P 运动的时间为t 秒． (1)当t＝1 时，PQ＝ m； (2)当t 为何值时，点为线段PQ 的中点？ (3)若点M 是线段Q 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM 的长度保持 不变？如果存在，求出PM 的长度；如果不存在，请说明理由． 【答】(1)35 (2)t 为2 或 时，点为线段PQ 的中点 (3)存在，PM 的长度为3m 或1m，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出的长，P 和Q 的长，再由 即可求出PQ 的长； （2）由题意可得出t 的取值范围，再根据点在线段B 上做来回往返运动，可分类讨论①当 Q 由往B 第一次运动时，即 时，分别用t 表示出P 和Q 的长度，再根据中点的性质， 列出等式，求出t 的值即可；②当Q 由B 往点第一次返回时，即 时，同理求出t 的 值即可；③当Q 由往B 第二次运动时，即 时，同理求出t 的值即可．最后舍去不合 题意的t 的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q 由往B 第一次运动时，即 时，分别用t 表示出P 和M 的长度，再根据 ，求出 即可；②当Q 由B 往点第一次返回时，即 时，同理求出 即可；③当Q 由往B 第二次运动时，即 时，同理求出 即可．最后根据判断所求PM 的代数式中是否含t 即可判断． 【详解】（1）解：当 时， ∵ ∴ ， ∴ ． 故答为：35． （2）∵点P 运动到点时，点P、Q 都停止运动， ∴ ． ∵ ∴ ． ①当Q 由往B 第一次运动时，即 时， 此时 ， ， ∴ ， ∵点为线段PQ 的中点， ∴ ，即 ， 解得： ； ②当Q 由B 往点第一次返回时，即 时， 此时 ， ， ∴ ， 解得： ，不符合题意舍； ③当Q 由往B 第二次运动时，即 时， 此时 ， ， ∴ ， 解得： ； 综上可知，t 为2 或 时，点为线段PQ 的中点； （3）根据（2）可知 ． ∵点M 是线段Q 的中点， ∴ ． ①当Q 由往B 第一次运动时，即 时， 此时 ， ． ∵ ， ∴ ， ∴此时PM 为定值，长度为3m，符合题意． ②当Q 由B 往点第一次返回时，即 时， 此时 ， ， ∴ ， ∴此时PM 的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q 由往B 第二次运动时，即 时， 此时 ， ， ∴ ， ∴此时PM 为定值，长度为1m，符合题意． 综上可知PM 的长度为3m 或1m． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形 结合的思想是解答本题的关键． 【变式训练2】如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧，点 在点 的左侧），若 ． （1）求线段 ， 的长； （2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长； （3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点， 下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以 说明． 【答】（1） ， ；（2）9；（3）②正确， ，见解析 【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求 ， 即可； （2）分类考虑当点 在点 的右侧和点 在点 的左侧时，利用中点可求M，D，利用线 段和差求D，可求M=D-M-D 即可； （3）利用P=P+，PB=P-B，求出P+PB=2P 即可． 【详解】解：（1）由 ， ， ， 得 ， ， 所以 ， ； （2）当点 在点 的右侧时，如图， 因为点 ， 分别为线段 ， 的中点， ， 所以 ， ， 又因为 ， 所以 ， 当点 在点 的左侧时，如图， 因为点 ， 分别为线段 ， 的中点， 所以 ， ， 所以 所以 ． 综上，线段 的长为9； （3）②正确，且 ．理由如下： 因为点 与点 重合，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ． 【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性 质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差P=P+，PB=P-B，求出 P+PB=2P． 【变式训练3】已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动（在B 的左侧，在D 的左 侧），且m，满足|m－12|＋（－4）2＝0 （1）m＝ ，＝ ； （2）点D 与点B 重合时，线段D 以2 个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点在线段B 上，若M 是线段的中点，是线段BD 的中点，求线段M 的长； ②P 是直线B 上点左侧一点，线段D 运动的同时，点F 从点P 出发以3 个单位/秒的向右 运动，点E 是线段B 的中点，若点F 与点相遇1 秒后与点E 相遇．试探索整个运动过程中， F－5DE 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答】（1）m=12，= 4； （2）① M=8，②在整个运动的过程中，F-5 DE 的值为定值，且 定值为0． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、的值； （2）①由题意，则M=M+D+D，根据线段中点的定义，即可得到答； ②设P=，则P=8+，PE=10+，然后列出方程，求出=2，然后分情况进行分析，求出每一种 的值，即可得到答． 【详解】解：（1）∵|m－12|＋（－4）2＝0， m ∴－12=0，－4=0， m=12 ∴ ，=4； 故答为：12；4． （2）由题意，①∵B=12，D=4， M ∵ 是线段的中点，是线段BD 的中点 M=M= ∴ ，D=B= BD M=M+D+D ∴ = +D+ BD = + D+ BD+ D = ( +D+BD)+ D = (B +D) =8； ②如图，设P=，则P=8+，PE=10+， 依题意有： 解得：=2 在整个运动的过程中：BD=2t，B=4+2t， E ∵是线段B 的中点 E= BE= ∴ B=2+t； Ⅰ．如图1，F，相遇，即t=2 时 F，重合，D，E 重合，则F=0，DE=0 F-5 DE =0 ∴ ； Ⅱ．如图2，F，相遇前，即t<2 时 F =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t F-5 DE =10-5t -5 ∴ （2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，相遇后，即t＞2 时 F =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 F-5 DE =5t-10 -5 ∴ （t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，F 5 DE 的值为定值，且定值为0． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝 对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨 论的思想进行分析． 类型三、时间问题 例．如图，点、B 都在数轴上，点为原点，设点、B 表示的数分别是m、，且m 与满足 ． （1）若动点P 从点出发，沿数轴向左以每秒4 个单位长度的速度运动，动点Q 从点B 出发， 沿数轴向左以每秒6 个单位长度的速度运动，已知点P 与点Q 同时出发，且P、Q 两点重 合后同时停止运动，设点P 运动时间为t 秒． ①当 的长为4 时，求t 的值； ②若点M 为 的中点，点为 的中点，且 ，求t 的值． （2）点P 沿着 以每秒4 个单位长度的速度往返运动1 次，点Q 沿着 以每秒6 个单位长度的速度往返运动1 次．若点P、Q 同时出发，运动时间为t 秒，当 时，求t 的值． 【答】（1）①2；②无解；（2） 或09 或23 或25 【分析】（1）①由题意易得点表示的数为-6，点B 表示的数为2，则有点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，进而可得 ，然后问题可求解； ②由①可得 ， ，由点M 为 的中点，点为 的中点，可得 ， ，然后由 可求解，最后结合点P、Q 两点重合后同时停止 运动可求解； （2）由题意得点 、 第一次相遇时的时间为 秒；点 、 第二次相遇时的时间为24 秒，则可分①当点 、 在第一次相遇前相距1 个单位长度时，即 ，则有 ；②当点 、 在第一次相遇后相距1 个单位长度时，即 ， ；③当点 、 在第二次相遇前相距1 个单位长度时，即 ， ；④当点 、 在第二次相遇后相距1 个单位长度时，即 ， ，然后求解即可． 【详解】解：（1）①∵ ， ∴ ， ∴点表示的数为-6，点B 表示的数为2， 由题意可得点 运动的路程为 ，点 运动的路程为 ， ∴点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ； ②由①可得 ， ， ， 当点 、 重合时，则有 ，即 ， ∵点M 为 的中点，点为 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 5 ∵＞4， ∴不符合点P、Q 两点重合后同时停止运动， ∴当 时，t 无解； （2）由题意得： 点 、 第一次相遇时的时间为 ，解得： ； ∴此时点 离点B 的距离为6×08=48，点 离点的距离为4×08=32， ∴点 到达点B 的时间为48÷4=12 秒，此时点 与 的距离为6×12-32=4， ∴点 、 第二次相遇时的时间为08+12+4÷10=24 秒， ①当点 、 在第一次相遇前相距1 个单位长度时，即 ，如图所示： ∴ ，解得： ； ②当点 、 在第一次相遇后相距1 个单位长度时，即 ，如图所示： ∴ ，解得： ； ③当点 、 在第二次相遇前相距1 个单位长度时，即 ，如图所示： ∴ ，解得： ； ④当点 、 在第二次相遇后相距1 个单位长度时，即 ，如图所示： ∴ ，解得： ； 综上所述：当 时， 或09 或23 或25． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题，熟练 掌握一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题是解题的关键． 【变式训练1】如图，点 在数轴上分别表示有理数 ，且 满足 ． （1）点 表示的数是___________，点 表示的数是____________． （2）若动点 从点 出发以每秒3 个单位长度向右运动，动点 从点 出发以每秒1 个单 位长度向点 运动，到达 点即停止运动 两点同时出发，且 点停止运动时， 也随 之停止运动，求经过多少秒时， 第一次相距3 个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若 的中点为 的中点 为 ，当为何值时， ？ 【答】（1）﹣2，5；（2）1 秒；（3）1 秒或 秒． 【分析】（1）由非负数的性质得+2＝0，且b﹣5＝0，得出＝﹣2，b＝5； （2）求出B＝7，设经过x 秒时，P、Q 第一次相距3 个单位长度，则P＝3x，BQ＝x，可 列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可； （3）由题意得t 秒后，P＝3t，BQ＝t，由中点的定义得M＝ P＝ t，B＝ BQ＝ t，对 P、M、B 三点的位置分类讨论，用含t 的式子表示BM、PB、长，由题意得出方程，解方 程即可． 【详解】解：（1）∵ 满足 ， ∴+2＝0， b﹣5＝0， ∴＝﹣2，b＝5， 即点所对应的数是﹣2，点B 所对应的数是5； 故答为：﹣2，5； （2）B＝5﹣（﹣2）＝7， 设经过x 秒时，P、Q 第一次相距3 个单位长度， 则P＝3x，BQ＝x，PQ＝B﹣P﹣BQ， 列方程得，7﹣3x﹣x＝3， 解得：x＝1， 答：经过1 秒时，P、Q 第一次相距3 个单位长度； （3）由题意得：t 秒后，P＝3t，BQ＝t， ∵P 的中点为M，BQ 的中点为， ∴M＝ P＝ t，B＝ BQ＝ t， 如图1，当点P、M 都在点B 的左侧时， BM＝B﹣M＝7﹣ t，PB＝B﹣P＝7﹣3t，＝B﹣B＝7﹣ t， ∵BM+＝3PB， ∴7﹣ t +7﹣ t＝3（7﹣3t）， 解得：t＝1； 如图2，当点M 在点B 的左侧，点P 在点B 的右侧时， BM＝B﹣M＝7﹣ t，PB＝P﹣B＝3t﹣7，＝B﹣B＝7﹣ t， ∵BM+＝3PB， ∴7﹣ t +7﹣ t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝ ； ③如图3，当点P、M 都在点B 的右侧时， BM＝M﹣B＝ t﹣7，PB＝P﹣B＝3t﹣7，＝B﹣B＝7﹣ t， ∵BM+＝3PB， ∴ t﹣7+7﹣ t＝3（3t﹣