专题09 线段上动点问题的两种考法（解析版）

专题09 线段上动点问题的两种考法 类型一、线段和差问题 例1．已知点在线段B 上，＝2B，点D，E 在直线B 上，点D 在点E 的左侧． （1）若B＝15，DE＝6，线段DE 在线段B 上移动． ①如图1，当E 为B 中点时，求D 的长； ②点F（异于，B，点）在线段B 上，F＝3D，F＝3，求D 的长； （2）若B＝2DE，线段DE 在直线B 上移动，且满足关系式 ＝ ，求 的值． 【答】（1）①D 的长为65；②D 的长为 或 ；（2） 的值为 或 【详解】解：（1）∵＝2B，B＝15， B ∴＝5，＝10， ① E ∵为B 中点， E ∴＝25， DE ∵ ＝6， D ∴＝35， D ∴＝﹣D＝10 35 ﹣ ＝65； ②如图2，当点F 在点的右侧时， F ∵＝3，＝10， F ∴＝+F＝13， F ∵＝3D， D ∴＝ ； 如图3，当点F 在点的左侧时， ∵＝10，F＝3， F ∴＝﹣F＝7， F ∴＝3D， D ∴＝ ＝ ； 综上所述，D 的长为 或 ； （2）①当点E 在线段B 之间时，如图4， 设B＝x， 则＝2B＝2x， B ∴＝3x， B ∵＝2DE， DE ∴ ＝15x， 设E＝y， E ∴＝2x+y，BE＝x y ﹣， D ∴＝E DE ﹣ ＝2x+y 15x ﹣ ＝05x+y， ∵ ， ∴ ， y ∴＝ x， D ∴＝15x﹣ x＝ x，BD＝3x (05x+y) ﹣ ＝ x， ∴ ＝ ＝ ； ②当点E 在点的左侧，如图5， 设B＝x，则DE＝15x， 设E＝y， D ∴＝E+DE＝y+15x， D ∴＝D﹣＝y+15x 2x ﹣ ＝y 05x ﹣ ， ∵ ＝ ，BE＝E+B＝x+y， ∴ ， y ∴＝4x， D ∴＝y+15x＝4x+15x＝55x，BD＝D+B＝y+15x+x＝65x， ∴ ， ③点D、E 都在点的右侧时，如图6， 设B＝x，则DE＝15x， 设E＝y， D ∴＝E-DE＝y-15x， D ∴＝D+＝y-15x+2x＝y+05x， ∵ ＝ ，BE＝E-B＝y-x， ∴ ， y ∴＝-4x（舍去） 综上所述 的值为 或 ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想， 比较难，分类讨论是解答本题的关键． 例2．已知线段B，点在直线B 上，D 为线段B 的中点． (1)若 ， ，求线段D 的长． (2)若点E 是线段的中点，请写出线段DE 和B 的数量关系并说明理由． 【答】(1) 或5 (2) ，理由见解析 【分析】（1）根据点在直线B 上，分两种情况：①在点的右侧，②在点的左侧，根据线段 的和与差可得结论； （2）B＝2DE，分三种情况：根据线段中点的定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，当在点右侧时， ∵ ， ， ∴ ， ∵D 是线段B 的中点，： ∴ ； 如图2，当在点左侧时， ∵ ， ， ∴ ， ∵D 是线段B 的中点， ∴ ； 综上所述， 或5； （2）解： ． 理由是：如图3，当在点和点B 之间时， ∵E 是的中点，D 是B 的中点， ∴ ， ，∴ ； 如图4，当在点左侧时， 同理可得： ； 如图5，当在点B 右侧时， 同理可得： ． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的 关键． 【变式训练1】如图，点 位于数轴原点， 点从 点出发以每秒1 个单位长度的速度沿 数轴向左运动， 点从 点出发以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点 表示的数为 ，点 表示的数为7，当点 ， 运动时间为2 秒时，求线段 的长； (2)若点 ， 分别表示 ，6，运动时间为，当为何值时，点 是线段 的中点． (3)若 ， 是数轴上的一点，且 ，求 的值． 【答】(1) (2)当 时点 是线段 的中点 (3) 或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出、D 运行的路程，进而求出MD 的值，根据 可求； （2）先表示出BD 和D，再根据点 是线段 的中点，列方程求解； （3）分 在线段 上和点 在线段 的延长线上两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， 又∵点 表示 ，点 表示7， ∴ ， ∴ ∴ ． （2）解：∵点 ， 分别表示 ，6， 所以 ， ， ， ， ， 当 是 的中点时 ，即 ， ∴当 时点 是线段 的中点． （3）解：①当点 在线段 上时，如图 ∵ ， 又∵ ∴ ， 又∵ ∴ ，即 ②当点 在线段 的延长线上时，如图 ∵ ，又∵ ∴ ，即 综上所述 或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是 掌握点的移动路程与线段的关系． 【变式训练2】已知点在线段 上， ，点D，E 在直线 上，点D 在点E 的左 侧． (1)若 ， ，线段 在线段 上移动， ①当点E 是线段 的中点时，求 的长； ②当点是线段 的三等分点时，求 的长； (2)若 ，点E 在线段 上移动，且满足关系式 ，则 （直接写 出结果）． 【答】(1)①4，② ；(2) 【分析】（1）根据已知条件得到 ，①由线段中点的定义得到 ，求 得 ，由线段的和差得到 ；②当点线段 的三等分点时， 可求得 或 （舍去），则 ，由线段的和差即 可得到结论； （2）①当点E 在线段 之间时，设 ，则 ，求得 、 、 、 ，然后根据 可得 ， ，再代入 即可解答；②当点E 在线段 上时，设 ，则 ，求得 、 、 、 ，然后根据 可得 不符题 意． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ①∵E 为 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②∵点是线段 的三等分点，DE＝16， ∴ 或 （不合题意，舍去）， ∴ ， ∴ ； （2）解：①当点E 在线段 上，如图， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； 如图：当点E 在线段上时， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不符题意， ∴点E 不可能在线段上． 综上所述 的值为 ． 【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点， 准确识图、分类讨论DE 的位置是解题的关键． 【变式训练3】如图已知线段 、 ， (1)线段 在线段 上（点、在点B 的左侧，点D 在点的右侧） ①若线段 ， ，M、分别为 、 的中点，求 的长． ②M、分别为 、 的中点，求证： (2)线段 在线段 的延长线上，M、分别为 、 的中点，②中的结论是否成立？ 请画出图形，直接写出结论 【答】(1)①10，②见解析 (2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用 求出 的值，利用中点平分线段，得到 ，再利用 ，即可得解；② 利用中点平分线段，得到 ，进而得到 ，再利用 ，即可得证； （2）分 点在 点的左侧，点 在点 的右侧， 点在 点的左侧，点 在点 的左侧， 以及 点在 点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ， ∴ ， ∵M、分别为 、 的中点， ∴ ， ∴ ； ②∵M、分别为 、 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）不成立； ∵M、分别为 、 的中点， ∴ ， ①当 点在 点的左侧，点 在点 的右侧时，如图： 或 ； ②当 点在 点的左侧，点 在点 的左侧时，如图： 或 ； ③当 点在 点的左侧时，如图： 或 ； 综上： 或 ；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系， 是解题的关键．注意分类讨论． 类型二、定值问题 例．如图，点 是定长线段 上一点， 、 两点分别从点 、 出发以1 厘米/秒，2 厘 米/秒的速度沿直线 向左运动（点 在线段 上，点 在线段 上）． （1）若点 、 运动到任一时刻时，总有 ，请说明点 在线段 上的位置； （2）在（1）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，求 的值； （3）在（1）的条件下，若点 、 运动5 秒后，恰好有 ，此时点 停止运动， 点 继续运动（点 在线段 上），点 、 分别是 、 的中点，下列结论：① 的值不变；② 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确 的结论并求值． 【答】（1）点P 在线段B 的 处；（2） 或；（3）结论② 的值不变正确， 【分析】（1）设运动时间为t 秒，用含t 的代数式可表示出线段PD、长，根据 ， 可知点 在线段 上的位置； （2）由 可知 ，当点Q 在线段B 上时，等量代换可得 ， 再结合 可得 的值；当点Q 在线段B 的延长线上时，可得 ， 易得 的值 （3）点 停止运动时， ，可求得M 与B 的数量关系，则PM 与P 的值可以含B 的式子来表示，可得M 与B 的数量关系，易知 的值 【详解】解：（1）设运动时间为t 秒，则 ， 由 得 ，即 ， ， ，即 所以点P 在线段B 的 处； （2）①如图，当点Q 在线段B 上时， 由 可知 ， ②如图，当点Q 在线段B 的延长线上时， ， 综合上述， 的值为 或； （3）② 的值不变 由点 、 运动5 秒可得 ， 如图，当点M、在点P 同侧时， 点 停止运动时， ， 点 、 分别是 、 的中点， 当点停止运动，点D 继续运动时，M 的值不变，所以 ； 如图，当点M、在点P 异侧时， 点 停止运动时， ， 点 、 分别是 、 的中点， ， 当点停止运动，点D 继续运动时，M 的值不变，所以 ； 所以② 的值不变正确， 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是 解题的关键 【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有、B、三点． （1）若B＝60，＝3B，求B 的长； （2）若点D 是射线B 上一点，点M 为BD 的中点，点为D 的中点，求 的值； （3）当点P 在线段B 的延长线上运动时，点E 是P 中点，点F 是B 中点，下列结论中： ① 是定值； ② 是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 【答】（1）B＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析 【分析】（1）由=B+B=3B 可得； （2）分三种情况：①D 在B 之间时②D 在B 之间时③D 在点左侧时； （3）分三种情况讨论：①F、E 在B 之间，F 在E 左侧②F 在B 之间，E 在P 之间③F、E 在 B 之间，F 在E 右侧； 【详解】（1）∵B＝60，＝B+B＝3B， ∴B＝30； （2）∵点M 为BD 中点，点为D 中点， ∴BM＝BD，D＝， ①D 在B 之间时： B＝BD+D＝2MD+2D＝2M， ∴ ＝2； ②D 在B 之间时： B＝D﹣DB＝2D 2 ﹣MB＝2（B+2MB）﹣2MB＝2B+2MB＝2M， ∴ ＝2； ③D 在点左侧时： B＝D+B＝M+D﹣B＝M+MB﹣B＝M+M+B﹣B＝2M， ∴ ＝2； 故 ＝2； （3）点E 是P 的中点，点F 是B 的中点． ∴E＝EP，BF＝F， ① EF＝F﹣E＝ B + ﹣E＝ （﹣B）﹣+E＝E﹣ B＝ ， BP＝P﹣B＝2E﹣B， ﹣BP＝﹣2E+B， ∴ ＝2． ② EF＝ B+E＝ B+E﹣＝ （﹣B）+E﹣＝E﹣ B﹣ ， BP＝P﹣B＝2E﹣B， ﹣BP＝+B 2 ﹣E，∴ ＝2． ③ EF＝E﹣F＝E﹣ B＝﹣E﹣ B＝﹣E﹣ （﹣B）＝ ﹣E+ B， BP＝P﹣B＝2E﹣B， ∴﹣BP＝+B 2 ﹣E，∴ ＝2． 【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键． 课后训练 1．已知，为线段 上一点，D 为 的中点，E 为 的中点，F 为 的中点． （1）如图1，若 ， ，求 的长； （2）若 ，求 的值； （3）若 ， ，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，则 =______（用含的代数式表示）． 【答】（1） ；（2） 的值为 或 ；（3） 【分析】（1）由D 为的中点，E 为B 的中点得到D= =2，E= B=3，则可计算出DE=5，再 利用F 为DE 的中点得到DF= DE，然后利用F=DF-D 求解； （2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解； （3）如图，设=x，B=y，即x-y=，利用线段中点定义得到D= ，E= ，则 ，所以 ，再利用 的中点 ，得到 ， 于是可计算出 ，即有 ． 【详解】解：（1）∵D 为的中点，E 为B 的中点， D= ∴ =2，E= B=3， DE=D+E=2+3=5 ∴ ， F ∵为DE 的中点， DF= ∴ DE= ， F=DF-D= ∴ ； （2）①当＞B，点F 在点左侧时，如图所示： D ∵ 为的中点，E 为B 的中点， D= ∴ ，E= B， DE=D+E= ∴ （+B）= B， F ∵为DE 的中点， DF= ∴ DE= B， B=16F ∵ ， DF=4F ∴ ， F=D-DF= ∴ -4F， =10F ∴ ， B=B-=16F-10F =6F ∴ ， ∴ ， ②当＜B，点F 在点右侧时，如图所示： D ∵ 为的中点，E 为B 的中点， D= ∴ ，E= B， DE=D+E= ∴ （+B）= B， F ∵为DE 的中点， DF= ∴ DE= B， B=16F ∵ ， DF=4F ∴ ， F=DF-D=4F- ∴ ， =6F ∴ ， B=B-=16F-6F =10F ∴ ， ∴ ， 综上所述， 的值为 或 ． （3）如图， 设=x，B=y，即x-y=， D ∵ 为的中点，E 为B 的中点， D= ∴ = x，E= B= y， D ∵ 的中点为 ，E 的中点为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的中点为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段 之间的关系是解决本题的关键． 2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动． (1)如图1，当 为 中点时，求 的长； (2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长． 【答】(1)7；(2)3 或5 【分析】（1）根据 ， ，可求得 ， ，根据中点的定义求出 BE，由线段的和差即可得到D 的长． （2）点F（异于，B，点）在线段B 上， ， ，确定点F 是B 的中点， 即可求出D 的长． 【详解】（1） ， ， ， ， 如图1， 为 中点， ， ，∴ ，∴ ， （2）Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2， 或 ∵ ， ， 点 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧， 或 ， ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述： 的长为3 或5． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键． 本题较难，需要想清楚各种情况是否存在． 3．已知线段B=12，D=6，线段D 在直线B 上运动（在B 的左侧，在D 的左侧）． （1）当D 点与B 点重合时，=_________； （2）点P 是线段B 延长线上任意一点，在（1）的条件下，求P+PB–2P 的值； （3）M、分别是、BD 的中点，当B=4 时，求M 的长． 【答】（1）6 （2）P+PB–2P=0； （3）M=9． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）由（1）得= B，D= B，根据线段的和差即可得到结论； （3）需要分类讨论：①如图1，当点在点B 的右侧时，根据“M、分别为线段、BD 的中 点”，先计算出M、D 的长度，然后计算M=D-M-D；②如图2，当点位于点B 的左侧时， 利用线段间的和差关系求得M 的长度． 【详解】（1）当D 点与B 点重合时，=B D=6 ﹣ ； 故答为6； （2）由（1）得= B，∴D= B， ∵点P 是线段B 延长线上任意一点，∴P+PB=B+PB+PB，P=D+PB= B+PB， P+PB 2P=B+PB+PB 2 ∴ ﹣ ﹣（ B+PB）=0； （3）如图1，∵M、分别为线段、BD 的中点， M= ∴ = （B+B）=8， D= BD= （D+B）=5， M=D M D=9 ∴ ﹣ ﹣ ； 如图2，∵M、分别为线段、BD 的中点， M= ∴ = （B B ﹣）=4， D= BD= （D B ﹣）=1， M=D M D=12+6 4 4 1=9 ∴ ﹣ ﹣ ﹣﹣﹣ ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短利用中点性质转化线段之间的 倍分关系是解本题的关键． 4．【新知理解】 如图①，点M 在线段B 上，图中共有三条线段B、M 和BM，若其中有一条线段的长度是 另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段B 的“和谐点”． (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若D＝12m，点是线段D 的和谐点，则＝ m； (3)【解决问题】如图③，已知B＝15m，动点P 从点出发，以1m/s 速度沿B 向点B 匀速移 动：点Q 从点B 出发，以2m/s 的速度沿B 向点匀速移动，点P、Q 同时出发，当其中一点 到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t 为何值时，、P、Q 三点中其中 一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【答】(1)是 (2)6 或4 或8 (3)t 为3 或 或 或 或 或6 【分析】（1）若点M 是线段B 的中点时，则B＝2M＝2BM，由此即可得到答； （2）分①当为中点时，＝ ＝6m；②为D 的三等分点，且靠近时，＝ ＝4m；③ 为D 的三等分点且靠近D 时，＝ ＝8m． （3）分P 为、Q 的和谐点，Q 为、P 的和谐点，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：若点M 是线段B 的中点时，满足B＝2M＝2BM， ∴线段的中点是这条线段的“和谐点”， 故答为：是； （2）解：①当为中点时，＝ ＝6m； ②为D 的三等分点，且靠近时，＝ ＝4m； ③为D 的三等分点且靠近D 时，＝ ＝8m． 故答为：6m 或4m 或8m； （3）解：∵B＝15m， ∴t 秒后，P＝t，Q＝15 2 ﹣t（0≤t≤75）， 由题意可知，不可能为P、Q 的和谐点，此情况排除； ①P 为、Q 的和谐点，有三种情况： 1）P 为中点，P＝ Q，即t＝ （15 2 ﹣t）， 解得t＝ ； 2）P 为Q 的三等分点，且P 靠近，P＝ Q，即t＝ （15 2 ﹣t）， 解得t＝3； 3）P