专题08 线段上动点问题的三种考法（教师版）

专题08 线段上动点问题的三种考法 类型一、求值问题 例数轴上有，B，三点，，B 表示的数分别为m， ，点在B 的右侧， ． (1)如图1，若多项式 是关于x 的二次三项式，请直接写出m，的值： (2)如图2，在(1)的条件下，长度为1 的线段 (E 在F 的左侧)在，B 之间沿数轴水平滑动 (不与，B 重合)，点M 是 的中点，是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是 否发生变化，请判断并说明理由； (3)若点D 是 的中点． ①直接写出点D 表示的数____________(用含m，的式子表示)； ②若 ，试求线段 的长． 【答】(1) ， ；(2)不变化，理由见解析；(3)① ；② 【解析】(1)解：由题可知，-1=0，7+m=2， ∴ ， 故答为： ， (2)解：M 的长不发生变化，理由如下： 由题意，得点表示的数为3， 设点E 表示的数为x，则点F 表示的数为 ∴ ， ， ， ， ， ， ∵点M 是 的中点，是 的中点 ∴ ， ，即 (3)解：①∵，B 表示的数分别为m， 又点在B 的右侧，∴B=-m ∵ ，∴= -m+2 ∵点D 是 的中点，∴D= = (-m+2) ∴D 表示的数为：m+ (-m+2)= ②依题意，点表示的数分别为 ∴ ， ∴ ， ∵ ，即 当 时． ， ∵ ，∴ 不符合题意，舍去 当 时． ， 综上所述，线段 的长为 【变式训练1】如图1，点在线段B 上，图中共有三条线段B，和B，若其中有一条线段的 长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点是线段B 的“巧点”． (1)线段的中点__这条线段的“巧点”；(填“是”或“不是”)； (2)如图2，已知B＝15m．动点P 从点出发，以2m/s 的速度沿B 向点B 匀速运动；点Q 从 点B 出发，以1m/s 的速度沿B 向点匀速运动，点P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时， 运动停止．设移动的时间为t(s)，当t＝__s 时，Q 为，P 的“巧点”． 【答】是 75 或 【解析】(1)若线段中点为点，B＝2，所以中点是这条线段“巧点” (2)设点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t 秒；t 最大＝75，：0，P：0+2t＝2t，Q：15 ﹣t， ①Q 为P 中点， ，∴t＝75； ②Q＝2PQ，Q＝15﹣t 0 ﹣＝15﹣t，PQ＝2t (15 ﹣ ﹣t)＝3t 15 ﹣ ， ∵Q＝2PQ，∴15﹣t＝2(3t 15) ﹣ ，∴ ； ③PQ＝2Q，得3t 15 ﹣ ＝2(15﹣t)，∴t＝9 75(舍去)．综上所述：t＝75 或 ． 故答为：(1)是；(2)75 或 ． 【变式训练2】已知：如图1，M 是定长线段B 上一定点，、D 两点分别从M、B 出发以 1m/s、3m/s 的速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示(在线段M 上，D 在线段BM 上) (1)若B＝11m，当点、D 运动了1s，求+MD 的值． (2)若点、D 运动时，总有MD＝3，直接填空：M＝ BM． (3)在(2)的条件下，是直线B 上一点，且﹣B＝M，求 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3) 或 【解析】(1)解：当点、D 运动了1s 时，M＝1m，BD＝3m ∵B＝11m，M＝1m，BD＝3m + ∴MD＝B﹣M﹣BD＝11 1 3 ﹣﹣＝7m． (2)解：设运动时间为t，则M＝t，BD＝3t， ∵＝M﹣t，MD＝BM 3 ﹣t， 又MD＝3，∴BM 3 ﹣t＝3M 3 ﹣t，即BM＝3M，∴M= BM 故答为： ． (3)解：由(2)可得： ∵BM＝B﹣M∴B﹣M＝3M，∴M＝ B， ①当点在线段B 上时，如图 ∵﹣B＝M， 又∵﹣M＝M，∴B＝M＝ B，∴M＝ B，即 = ． ②当点在线段B 的延长线上时，如图 ∵﹣B＝M， 又∵﹣B＝B，∴M＝B，∴ =1,即 = ． 综上所述 ＝ 或 【变式训练3】如图，数轴上有两点 ，点从原点出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点D 从点B 出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，若点M 为直线 上一点，且 ，则 的值为_______． 【答】1 或 【解析】设运动的时间为t 秒，点M 表示的数为m 则=t，BD=4t，即点在数轴上表示的数为-t，点D 在数轴上表示的数为b-4t， =-t- ∴ ，D=b-4t， 由D=4 得，b-4t=4(-t-)，即：b=-4， ①若点M 在点B 的右侧时，如图1 所示： 由M-BM=M 得，m--(m-b)=m，即：m=b-； ∴ ②若点M 在线段B 上时，如图2 所示： 由M-BM=M 得，m--(b-m)=m，即：m=+b； ∴ ③若点M 在线段上时，如图3 所示： 由M-BM=M 得，m--(b-m)=-m，即： ∵此时m＜0，＜0，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点的左侧时，如图4 所示： 由M-BM=M 得，-m-(b-m)=-m，即：m=b-=-5；而m＜0，b-＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述， 的值为1 或 ． 类型二、证明定值问题 例如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动(点 在点 的左侧，点 在点 的左侧)，若 ． (1)求线段 ， 的长； (2)若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长； (3)当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，下 列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以 说明． 【答】(1) ， ；(2)9；(3)②正确， ，见解析 【解析】(1)由 ， ， ， 得 ， ，所以 ， ； (2)当点 在点 的右侧时，如图， 因为点 ， 分别为线段 ， 的中点， ， 所以 ， ， 又因为 ， 所以 ， 当点 在点 的左侧时，如图， 因为点 ， 分别为线段 ， 的中点， 所以 ， ， 所以 所以 ． 综上，线段 的长为9； (3)②正确，且 ．理由如下： 因为点 与点 重合，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ． 【变式训练1】已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动(在B 的左侧，在D 的左侧)， 且m，满足|m－12|＋(－4)2＝0 (1)m＝ ，＝ ； (2)点D 与点B 重合时，线段D 以2 个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点在线段B 上，若M 是线段的中点，是线段BD 的中点，求线段M 的长； ②P 是直线B 上点左侧一点，线段D 运动的同时，点F 从点P 出发以3 个单位/秒的向右运 动，点E 是线段B 的中点，若点F 与点相遇1 秒后与点E 相遇．试探索整个运动过程中，F －5DE 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】(1) |m ∵ －12|＋(－4)2＝0，∴m－12=0，－4=0，∴m=12，=4；故答为：12；4． (2)由题意，①∵B=12，D=4， M ∵ 是线段的中点，是线段BD 的中点，∴M=M= ，D=B= BD M=M+D+D= ∴ +D+ BD= + D+ BD+ D= ( +D+BD)+ D= (B +D)=8； ②如图，设P=，则P=8+，PE=10+， 依题意有： ，解得：=2，在整个运动的过程中：BD=2t，B=4+2t， E ∵是线段B 的中点，∴E= BE= B=2+t； Ⅰ．如图1，F，相遇，即t=2 时 F，重合，D，E 重合，则F=0，DE=0，∴F-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，相遇前，即t<2 时 F =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∴F-5 DE =10-5t -5(2-t)=0； Ⅲ．如图3，F，相遇后，即t＞2 时 F =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∴F-5 DE =5t-10 -5(t-2)=0； 综合上述：在整个运动的过程中，F 5 DE 的值为定值，且定值为0． 【变式训练2】如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ，3，点 是射线 上的一 个动点(不与点 ， 重合)， 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的 三等分点． (1)若点 表示的有理数是0，那么 的长为________；若点 表示的有理数是6，那么 的长为________； (2)点 在射线 上运动(不与点 ， 重合)的过程中， 的长是否发生改变？若不改变， 请写出求 的长的过程；若改变，请说明理由． 【答】(1)6；6；(2)不发生改变，M 为定值6，过程见解析 【详解】解：(1)若点P 表示的有理数是0(如图1)，则P=6，BP=3． M ∵ 是线段P 靠近点的三等分点，是线段BP 靠近点B 的三等分点． MP= ∴ P=4，P= BP=2，∴M=MP+P=6； 若点P 表示的有理数是6(如图2)，则P=12，BP=3． M ∵ 是线段P 靠近点的三等分点，是线段BP 靠近点B 的三等分点． MP= ∴ P=8，P= BP=2，∴M=MP-P=6．故答为：6；6． (2)M 的长不会发生改变，理由如下： 设点P 表示的有理数是(＞-6 且≠3)． 当-6＜＜3 时(如图1)，P=+6，BP=3-． M ∵ 是线段P 靠近点的三等分点，是线段BP 靠近点B 的三等分点． MP= ∴ P= (+6)，P= BP= (3-)，∴M=MP+P=6； 当＞3 时(如图2)，P=+6，BP=-3． M ∵ 是线段P 靠近点的三等分点，是线段BP 靠近点B 的三等分点． MP= ∴ P= (+6)，P= BP= (-3)，∴M=MP-P=6． 综上所述：点P 在射线B 上运动(不与点，B 重合)的过程中，M 的长为定值6． 【变式训练3】(1)如图1，在直线 上，点 在 、 两点之间，点 为线段PB 的中点， 点 为线段 的中点，若 ，且使关于 的方程 无解 ①求线段 的长； ②线段 的长与点 在线段 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点 为线段 的中点，点 在线段 的延长线上，试说明 的值不变 【答】(1)①B=4；②线段 的长与点 在线段 上的位置无关，理由见解析；(2)见解 析 【详解】解：(1)①∵关于 的方程 无解．∴ =0，解得：=4．故B=4． ②线段 的长与点 在线段 上的位置无关，理由如下： M ∵ 为线段PB 的中点，∴PM= PB． 同理：P= P．． M=P+PM= ∴ (PB+P)= B= ×4=2． ∴线段M 的长与点P 在线段B 上的位置无关． (2)设B=，BP=b，则P+PB=+b+b=+2b． ∵是B 的中点， ， ， 所以 的值不变 类型三、数量关系 例数轴上 两点对应的数分别是 ，线段 在数轴上运动，点 在点 的左边， 且 点 是 的中点． (1)如图1，当线段 运动到点 均在 之间时，若 ，则 _________， 点 对应的数为________， ________； (2)如图2，当线段 运动到点 在 之间时，画出草图并求 与 的数量关系． 【答】(1) ；2；2；(2) ，画图见解析． 【解析】(1) 数轴上 两点对应的数分别是 ， 点 是 的中点， ， ， ， 对应的数是2， 故答为： ；2；2； (2) ， 点 是 的中点， ， 故答为：(1) ；2；2；(2) ，画图见解析． 【变式训练1】如图，已知线段B，延长线段B 至，使B＝ B． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出 ＝ _______； (2)设B ＝ 9m，点D 从点B 出发，点E 从点出发，分别以3m/s，1m/s 的速度沿直线B 向左 运动． ①当点D 在线段B 上运动，求 的值； ②在点D，E 沿直线B 向左运动的过程中，M，分别是线段DE、B 的中点．当点恰好为线 段BD 的三等分点时，求M 的长． 【答】(1) ，(2)3，(3)12m 或24m． 【详解】解：(1)图形补充完整如图， ∵B＝ B，∴＝ ， ，故答为： ； (2)①B ＝ 9m，由(1)得， (m)，设运动的时间为t 秒， m， m， ， ②当 时，∵B ＝ 9m， m，∴ m， ∴ m， m， 运动时间为：18÷3=6(秒)，则 m， m， m， ∵M，分别是线段DE、B 的中点．∴ m， m， m， 当 时，∵B ＝ 9m， m，∴ m，∴ m， 运动时间为：36÷3=12(秒)，则 m， m， m， ∵M，分别是线段DE、B 的中点．∴ m， m， m， 综上，M 的长是12m 或24m． 【变式训练2】已知点在线段B 上，＝2B，点D、E 在直线B 上，点D 在点E 的左侧， (1)若B＝18，DE＝8，线段DE 在线段B 上移动， ①如图1，当E 为B 中点时，求D 的长； ②当点是线段DE 的三等分点时，求D 的长； (2)若B＝2DE，线段DE 在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝ ． 【答】(1)①D＝7；②D＝ 或 ；(2) 或 【详解】解：(1)∵＝2B，B＝18，∴B＝6，＝12， ①∵E 为B 中点，∴E＝3， ∵DE＝8，∴D＝5，∴D＝﹣D＝12 5 ﹣＝7； ②∵点是线段DE 的三等分点，DE＝8， ∴E＝ DE＝ 或E＝ DE＝ ， ∴D＝ 或D＝ ， ∴D＝﹣D＝12﹣ ＝ 或12- = ； (2)当点E 在线段B 之间时，如图， 设B＝x，则＝2B＝2x，∴B＝3x， ∵B＝2DE，∴DE＝15x， 设E＝y，∴E＝2x+y，BE＝x﹣y， ∴D＝E﹣DE＝2x+y 15 ﹣ x＝05x+y， ∵ ，∴ ，∴y＝ x， ∴D＝15x﹣ x＝ x，∴ ； 当点E 在点的左侧，如图， 设B＝x，则DE＝15x， 设E＝y，∴D＝E+DE＝y+15x， ∴D＝D﹣＝y+15x 2 ﹣x＝y 05 ﹣ x， ∵ ，BE＝E+B＝x+y，∴ ， ∴y＝4x，∴D＝y+15x＝4x+15x＝55x，BD＝D+B＝y+15x+x＝65x， ∴B＝BD﹣D＝65x﹣y+05x＝65x 4 ﹣x+05x＝3x， ∴ ， 当点E 在线段上及点E 在点B 右侧时，无解， 综上所述 的值为 或 ． 故答为： 或 ． 课后作业 1 已知有理数，b，在数轴上对应的点从左到右顺次为，B，，其中b 是最小的正整数，在 最大的负整数左侧1 个单位长度，B=2B． (1)填空：= ，b= ，= (2)点D 从点开始，点E 从点B 开始， 点F 从点开始，分别以每秒1 个单位长度、1 个单位 长度、4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间 为t 秒．试问： ①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前，是否存在常数k，使得 的值与它们的运动时间无关，为定 值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)-2，1，7；(2)①t=1 或t= ；②k=-1 【解析】(1)∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，在最大的负整数左侧1 个单位长度 ∴点表示的数为-1-1=-2，点B 表示的数b 为1， B=1-(-2)=3 ∴ ∵ ，∴点表示的数为=1+6=7， 故答为：-2，1，7； (2)①依题意，点F 的运动距离为4t，点D、E 运动的距离为t, ∴点D、E、F 分别表示的数为-2-t，1-t， 7-4t,当点F 追上点D 时，必将超过点B， ∴存在两种情况，即DE=EF 和DF=EF，如图，当DE=EF，即E 为DF 的中点时， ，解得，t=1， 如图，当EF=DF，即F 为DE 中点时， ，解得t= ， 综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝ 时，满足题意． ②存在，理由：点D、E、F 分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t, 如图，F 在追上E 点前， ， ， ， 当 与t 无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1 时，满足条件． 故答为：(1)-2，1，7；(2)①t=1 或t= ；②k=-1 2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动． (1)如图1，当 为 中点时，求 的长； (2)点 (异于 ， ， 点)在线段 上， ， ，求 的长． 【答】(1)7；(2)3 或5 【解析】(1) ， ， ， ， 如图1， 为 中点， ， ，∴ ，∴ ， (2)Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2， 或 ∵ ， ， 点 是 的中点， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，故图2(b)这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧， 或 ， ，∴ ， ∴ ， ． ∵ ，故图3(b)这种情况求不出； 综上所述： 的长为3 或5． 3 已知线段B，点在直线B 上，D 为线段B 的中点． (1)若 ， ，求线段D 的长． (2)若点E 是线段的中点，请写出线段DE 和B 的数量关系并说明理由． 【答】(1) 或5 (2) ，理由见解析 【解析】(1)解：如图1，当在点右侧时， ∵ ， ，∴ ， ∵D 是线段B 的中点，：∴ ； 如图2，当在点左侧时， ∵ ， ，∴ ， ∵D 是线段B 的中点，∴ ；综上所述， 或5； (2)解： ． 理由是：如图3，当在点和点B 之间时， ∵E 是的中点，D 是B 的中点，∴ ， ， ∴ ； 如图4，当在点左侧时， 同理可得： ； 如图5，当在点B 右侧时， 同理可得： ． 4 已知：如图1，M 是定长线段B 上一定点，、D 两点分别从M、B 出发以1m/s、3m/s 的 速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示(在线段M 上，D 在线段BM 上) (1)若B＝11m，当点、D 运动了1s，求+MD 的值． (2)若点、D 运动时，总有MD＝3，直接填空：M＝ BM． (3)在(2)的条件下，是直线B 上一点，且﹣B＝M，求 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3) 或 【解析】(1)解：当点、D 运动了1s 时，M＝1m，BD＝3m ∵B＝11m，M＝1m，BD＝3m + ∴MD＝B﹣M﹣BD＝11 1 3 ﹣﹣＝7m． (2)解：设运动时间为t，则M＝t，BD＝3t，∵＝M﹣t，MD＝BM 3 ﹣t， 又MD＝3，∴BM 3 ﹣t＝3M 3 ﹣t，即BM＝3M，∴M= BM，故答为： ． (3)解：由(2)可得： ∵BM＝B﹣M，∴B﹣M＝3M，∴M＝ B， ①当点在线段B 上时，如图 ∵﹣B＝M， 又∵﹣M＝M，∴B＝M＝ B，∴M＝ B，即 = ． ②当点在线段B 的延长线上时，如图 ∵﹣B＝M， 又∵﹣B＝B，∴M＝B，，∴ =1,即 = ．综上所述 ＝ 或 5．如图，在数轴上 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为， 是最大 的负整数，且 ，满足 ．点 从点 出发以每秒3 个单位长度的速度向 左运动，到达点 后立刻返回到点 ，到达点 后再返回到点 并停止． (1) ________， ________， ________．