专题09 线段上动点问题的两种考法（原卷版）

专题09 线段上动点问题的两种考法 类型一、线段和差问题 例1．已知点在线段B 上，＝2B，点D，E 在直线B 上，点D 在点E 的左侧． （1）若B＝15，DE＝6，线段DE 在线段B 上移动． ①如图1，当E 为B 中点时，求D 的长； ②点F（异于，B，点）在线段B 上，F＝3D，F＝3，求D 的长； （2）若B＝2DE，线段DE 在直线B 上移动，且满足关系式 ＝ ，求 的值． 例2．已知线段B，点在直线B 上，D 为线段B 的中点． (1)若 ， ，求线段D 的长． (2)若点E 是线段的中点，请写出线段DE 和B 的数量关系并说明理由． 【变式训练1】如图，点 位于数轴原点， 点从 点出发以每秒1 个单位长度的速度沿 数轴向左运动， 点从 点出发以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点 表示的数为 ，点 表示的数为7，当点 ， 运动时间为2 秒时，求线段 的长； (2)若点 ， 分别表示 ，6，运动时间为，当为何值时，点 是线段 的中点． (3)若 ， 是数轴上的一点，且 ，求 的值． 【变式训练2】已知点在线段 上， ，点D，E 在直线 上，点D 在点E 的左 侧． (1)若 ， ，线段 在线段 上移动， ①当点E 是线段 的中点时，求 的长； ②当点是线段 的三等分点时，求 的长； (2)若 ，点E 在线段 上移动，且满足关系式 ，则 （直接写 出结果）． 【变式训练3】如图已知线段 、 ， (1)线段 在线段 上（点、在点B 的左侧，点D 在点的右侧） ①若线段 ， ，M、分别为 、 的中点，求 的长． ②M、分别为 、 的中点，求证： (2)线段 在线段 的延长线上，M、分别为 、 的中点，②中的结论是否成立？ 请画出图形，直接写出结论 类型二、定值问题 例．如图，点 是定长线段 上一点， 、 两点分别从点 、 出发以1 厘米/秒，2 厘 米/秒的速度沿直线 向左运动（点 在线段 上，点 在线段 上）． （1）若点 、 运动到任一时刻时，总有 ，请说明点 在线段 上的位置； （2）在（1）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，求 的值； （3）在（1）的条件下，若点 、 运动5 秒后，恰好有 ，此时点 停止运动， 点 继续运动（点 在线段 上），点 、 分别是 、 的中点，下列结论：① 的值不变；② 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确 的结论并求值． 【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有、B、三点． （1）若B＝60，＝3B，求B 的长； （2）若点D 是射线B 上一点，点M 为BD 的中点，点为D 的中点，求 的值； （3）当点P 在线段B 的延长线上运动时，点E 是P 中点，点F 是B 中点，下列结论中： ① 是定值； ② 是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 课后训练 1．已知，为线段 上一点，D 为 的中点，E 为 的中点，F 为 的中点． （1）如图1，若 ， ，求 的长； （2）若 ，求 的值； （3）若 ， ，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，则 =______（用含的代数式表示）． 2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动． (1)如图1，当 为 中点时，求 的长； (2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长． 3．已知线段B=12，D=6，线段D 在直线B 上运动（在B 的左侧，在D 的左侧）． （1）当D 点与B 点重合时，=_________； （2）点P 是线段B 延长线上任意一点，在（1）的条件下，求P+PB–2P 的值； （3）M、分别是、BD 的中点，当B=4 时，求M 的长． 4．【新知理解】 如图①，点M 在线段B 上，图中共有三条线段B、M 和BM，若其中有一条线段的长度是 另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段B 的“和谐点”． (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若D＝12m，点是线段D 的和谐点，则＝ m； (3)【解决问题】如图③，已知B＝15m，动点P 从点出发，以1m/s 速度沿B 向点B 匀速移 动：点Q 从点B 出发，以2m/s 的速度沿B 向点匀速移动，点P、Q 同时出发，当其中一点 到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t 为何值时，、P、Q 三点中其中 一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 5．如图，射线 上有三点 、 、 ，满足=30m，B=90m，B=15m，点 从点 出发， 沿 方向以 秒的速度匀速运动，点 从点 出发在线段 上向点 匀速运动，两 点同时出发，当点 运动到点 时，点 、 停止运动 (1)若点 运动速度为 秒，经过多长时间 、 两点相遇? (2)当 时，点 运动到的位置恰好是线段B 的中点，求点 的运动速度; (3)当点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 、 ，求 的值 6．已知线段B=m(m 为常数)，点为直线B 上一点（不与点、B 重合），点M、分别在线段 B、上，且满足=3，M=3BM (1)如图，当点恰好在线段B 中点，且m=8 时，则M=______； (2) 若点在点左侧，同时点M 在线段B 上(不与端点重合)，请判断+2M -2M 的值是否与m 有 关？并说明理由 (3) 若点是直线B 上一点（不与点、B 重合），同时点M 在线段B 上(不与端点重合)，求M 长度 (用含m 的代数式表示) 7．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点 B，M 在点的右侧，点在点M 的右侧)．P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点． (1)如图①，当点与点B 重合时，求线段 的长度(用含，b 的代数式表示)； (2)如图②，当线段 运动到点B，M 重合时，求线段 ， 之间的数量关系； (3)当线段 运动至点Q 在点B 的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的 数量关系．