专题09 线段上动点问题压轴题的四种考法（原卷版）

专题09 线段上动点问题压轴题的的四种考法 类型一、线段之间数量关系问题 例．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点 B，M 在点的右侧，点在点M 的右侧)．P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点． (1)如图①，当点与点B 重合时，求线段 的长度(用含，b 的代数式表示)； (2)如图②，当线段 运动到点B，M 重合时，求线段 ， 之间的数量关系； (3)当线段 运动至点Q 在点B 的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的 数量关系． 【变式训练1】如图，数轴上点在原点左侧，点B 在原点右侧，且 ，动点P､Q 分 别从､B 两点同时出发，都向右运动，点P 的速度为每秒2 个单位长度，点Q 的速度为每秒 1 个单位长度，当点P 与点Q 重合时，P，Q 两点停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若点表示的数为 ，则点B 表示的数为________，线段 中点表示的数为_______ ____； （2）在（1）的条件下，若 ，求t 的值； （3）当点P 在线段 上运动时，若 ，请探究线段 与线段 之间的数 量关系，并说明理由． 【变式训练2】如图1， ， 是直线上的两个点，且 ．线段 （ 在 的左 侧）可以在直线上左右移动．已知 ，点 是 的中点． （1）如图2，当 与 重合时， ， ； （2）在图2 的基础上，将线段 沿直线 向左移动 个单位长度得到图3． ①若 ，求 和 的长； ②若 ，则 的值是 ． （3）在图2 的基础上，将线段 沿直线 向右移动 个单位长度．请直接写出 与 之间的数量关系 ． 类型二、定值问题 例．如图，在数轴上点表示的数是，点B 表示的数是b，且 ， (1)填空： ， ； (2)在线段 上有一点，满足 ，求点表示的数； (3)动点P 从点出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发， 以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M 从点出发，以每秒3 个单位长度 的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t 秒，当 时， 的值是否发生变化？ 若不变求出其值；若变化，写出范围． 【变式训练1】如图，线段B＝5m，：B＝3：2，点P 以05m/s 的速度从点沿线段向点运动； 同时点Q 以1m/s 从点出发，在线段B 上做来回往返运动（即沿→B→→B→…运动），当点 P 运动到点时，点P、Q 都停止运动，设点P 运动的时间为t 秒． (1)当t＝1 时，PQ＝ m； (2)当t 为何值时，点为线段PQ 的中点？ (3)若点M 是线段Q 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM 的长度保持 不变？如果存在，求出PM 的长度；如果不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧，点 在点 的左侧），若 ． （1）求线段 ， 的长； （2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长； （3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点， 下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以 说明． 【变式训练3】已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动（在B 的左侧，在D 的左 侧），且m，满足|m－12|＋（－4）2＝0 （1）m＝ ，＝ ； （2）点D 与点B 重合时，线段D 以2 个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点在线段B 上，若M 是线段的中点，是线段BD 的中点，求线段M 的长； ②P 是直线B 上点左侧一点，线段D 运动的同时，点F 从点P 出发以3 个单位/秒的向右 运动，点E 是线段B 的中点，若点F 与点相遇1 秒后与点E 相遇．试探索整个运动过程中， F－5DE 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 类型三、时间问题 例．如图，点、B 都在数轴上，点为原点，设点、B 表示的数分别是m、，且m 与满足 ． （1）若动点P 从点出发，沿数轴向左以每秒4 个单位长度的速度运动，动点Q 从点B 出发， 沿数轴向左以每秒6 个单位长度的速度运动，已知点P 与点Q 同时出发，且P、Q 两点重 合后同时停止运动，设点P 运动时间为t 秒． ①当 的长为4 时，求t 的值； ②若点M 为 的中点，点为 的中点，且 ，求t 的值． （2）点P 沿着 以每秒4 个单位长度的速度往返运动1 次，点Q 沿着 以每秒6 个单位长度的速度往返运动1 次．若点P、Q 同时出发，运动时间为t 秒，当 时，求t 的值． 【变式训练1】如图，点 在数轴上分别表示有理数 ，且 满足 ． （1）点 表示的数是___________，点 表示的数是____________． （2）若动点 从点 出发以每秒3 个单位长度向右运动，动点 从点 出发以每秒1 个单 位长度向点 运动，到达 点即停止运动 两点同时出发，且 点停止运动时， 也随 之停止运动，求经过多少秒时， 第一次相距3 个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若 的中点为 的中点 为 ，当为何值时， ？ 【变式训练2】如图，点 、点 是数轴上原点 两侧的两点，其中点 在原点 的左侧， 且满足 ， （1）点 、 在数轴上对应的数分别为______和______ （2）点 、 同时分别以每秒1 个单位长度和每秒2 个单位长度的速度向左运动 ①经过几秒后， ； ②点 、 在运动的同时，点 以每秒1 个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后， 点 、 、 中的某一点成为其余两点所连线段的中点？ 类型四、求值 例．已知：如图1，M 是定长线段B 上一定点，、D 两点分别从M、B 出发以1m/s、3m/s 的速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示（在线段M 上，D 在线段BM 上） (1)若B＝11m，当点、D 运动了1s，求+MD 的值． (2)若点、D 运动时，总有MD＝3，直接填空：M＝ BM． (3)在（2）的条件下，是直线B 上一点，且﹣B＝M，求 的值． 【变式训练】已知：如图，点M 是线段B 上一定点，B＝12m，、D 两点分别从M、B 同时 出发以1m／s、3m／s 的速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示（在线段M 上，D 在线段BM 上） （1）若M＝4m，当点、D 运动了2s，此时＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点、D 运动时，总有MD＝3， ①求线段M 的值， ②若是直线B 上一点，且－B＝M，求 的值 课后训练 1．如图1，已知线段 ，点M 是线段 上一点，点在线段 上，点D 在线段 上，、D 两点分别从M、B 出发以 的速度沿直线 运动，运动方向如 箭头所示，其中、b 满足条件： ． (1)直接写出： ____________， _____________； (2)若 ，当点、D 运动了 ，求 的值； (3)如图2，若 ，点是直线 上一点，且 ，求 与 的数量 关系． 2．【阅读理解】若数轴上两点、B 所表示的数分别为和b，则有 ①、B 两点的中点表示的数为 ； ②当b＞时，、B 两点间的距离为B＝b﹣． 【解决问题】数轴上两点、B 所表示的数分别为和b，且满足|+2|+（b 8 ﹣）2020＝0 （1）求出、B 两点的中点表示的数； （2）点D 从原点点出发向右运动，经过2 秒后点D 到点的距离是点D 到点距离的2 倍， 求点D 的运动速度是每秒多少个单位长度？ 【数学思考】（3）点E 以每秒1 个单位的速度从原点出发向右运动，同时，点M 从点出 发以每秒7 个单位的速度向左运动，点从点B 出发，以每秒10 个单位的速度向右运动， P、Q 分别为ME、的中点．思考：在运动过程中， 的值是否发生变化？请说明 理由． 3．如图一，点 在线段 上，图中有三条线段 、 和 ，若其中一条线段的长度 是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点 和 在数轴上表示的数分别是 和 ，点 是线段 的 巧点，求点 在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点 从点 处，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 匀速运动，当其中 一点到达中点时，两个点运动同时停止，当 、 、 三点中，其中一点恰好是另外两点 为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间 的所有可能值．