第27讲 与圆有关的位置关系（讲义）（原卷版）

第27 讲 与圆有关的位置关系 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 点、直线与圆的位置关系 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线与圆的位置关系 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离 题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数 题型09 圆和圆的位置关系 考点二 切线的性质与判定 题型01 判断或补全使直线成为切线的条件 题型02 利用切线的性质求线段长 题型03 利用切线的性质求角度 题型04 证明某条直线时圆的切线 类型一 由公共点：连半径，证垂直 类型二 无公共点：作垂直，证半径 题型05 利用切线的性质定理证明 题型06 切线的性质与判定的综合运用 题型07 作圆的切线 题型08 应用切线长定理求解 题型09 应用切线长定理求证 考点三 三角形内切圆与外接圆 题型01 判断三角形外接圆圆心位置 题型02 求外心坐标 题型03 已知外心的位置判断三角形形状 题型04 求特殊三角形外接圆的半径 题型05 由三角形的内切圆求长度 题型06 由三角形的内切圆求角度 题型07 由三角形的内切圆求周长、面积 题型08 求三角形的内切圆半径 题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型10 圆外切四边形模型 题型11 三角形内心有关的应用 题型12 三角形外接圆与内切圆综合 考点要求 新课标要求 命题预测 点、直线与圆 的位置关系  探索并掌握点与圆的位置关系  能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作 圆  了解直线与圆的位置关系 本专题内容也是各地中考数学中的必考 考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位 置关系、切线的性质和判定、三角形的内切 圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查 切线的性质和判定，和直角三角形结合的求 线段长的问题和三角函数结合的求角度的问 题等知识点综合，考查形式多样，多以动 点、动图的形式给出，难度较大关键是掌握 基础知识、基本方法，力争拿到全分． 切线的性质与 判定  掌握切线的概念  探索并证明切线长定理 三角形内切圆 与外接圆  了解三角形的内心与外心  通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆 考点一 点、直线与圆的位置关系 1 点和圆的位置关系 已知⊙的半径为r，点P 到圆心的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 r d P 点在圆的外部 d > r 点P 在圆外 点在圆上 r d P 点在圆周上 d = r 点P 在圆上 点在圆内 r d P 点在圆的内部 d < r 点P 在圆内 【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半 径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 2 直线和圆的位置关系 设⊙的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 r d 没有公共点 d > r直线l 与⊙相离 相切 r d 有唯一公共点 d = r直线l 与⊙相切 相交 r d 有两个公共点 d < r直线l 与⊙相交 【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 3 圆和圆之间的位置关系 设⊙1、⊙2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 d r R O1 O2 无 d>R+r ⇔两圆外离 外切 1 个切点 d=R+r ⇔两圆外切 相交 d r R O1 O2 两个交点 R−r<d<R+r ⇔两圆相交 内切 d r R O2 O1 1 个切点 d=R−r ⇔两圆内切 内含 d r R O2 O1 无 0≤d<R−r ⇔两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴 是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 1 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形， 并进行分类讨论，否则比较容易漏解． 2 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两 点连线的垂直平分线上 3 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的 4 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或 内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧． d r R O1 O2 题型01 判断点和圆的位置关系 【例1】（2022·广东广州·统考一模）平面直角坐标系中，⊙的圆心在原点，半径为5，则点P (0,4 )与⊙的 位置关系是（ ） ．点P在⊙内 B．点P在⊙上 ．点P在⊙外 D．无法确定 【变式1-1】（2022·广东广州·统考一模），B 两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点为圆心， 5 为半径作⊙，则下列说法正确的是（ ） ．点，点B 都在⊙上 B．点在⊙上，点B 在⊙外 ．点在⊙内，点B 在⊙上 D．点，点B 都在⊙外 【变式1-2】（2022·江苏扬州·校联考一模）若⊙的半径为5m，点到圆心的距离为4m，那么点与⊙的位置 关系是：点在⊙ ．（填“上”、“内”、“外”） 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 【例2】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆 心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，矩形BD 中，AB=3，BC=4，点P 是平面内一点，以 P、B、为顶点的三角形是等腰三角形，则PD 的最小值为（ ） ．4 5 B．1 ．7 5 D．25 【变式2-2】（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最 大距离是9cm，则⊙O的半径是 ． 【变式2-3】（2022·上海静安·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点为圆心作 圆，如果B、、D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r 的取值范围是 ． 题型03 判断直线与圆的位置关系 【例3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cos A= 4 5 ， 以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ） ．相离 B．相切 ．相交 D．无法确定 【变式3-1】（2023·江西南昌·统考一模）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和 圆的位置关系是（ ） ．相切 B．相交 ．相离 D．平行 【变式3-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知Rt △ABC中，∠C=90°，tan A= 3 4 ．D、E 分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与 直线AC的位置关系是（ ） ．相离 B．相切 ．相交 D．不能确定 【变式3-3】（2023·四川内江·威远中学校校考一模）已知平面直角坐标系中，点P（x0, y0）和直线x＋ By＋＝0（其中，B 不全为0），则点P 到直线x＋By＋＝0 的距离d可用公式d=|A x0+B y0+C| ❑ √A 2+B 2 来计算． 例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1 的距离，因为直线y＝2x＋1 可化为2x－y＋1＝0，其中＝2，B＝－ 1，＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1 的距离为： d=|A x0+B y0+C| ❑ √A 2+B 2 =|2×1+（−1）×2+1| ❑ √2 2+(−1) 2 = 1 ❑ √5= ❑ √5 5 ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线y=❑ √3 x+9的距离； （2）在（1）的条件下，⊙M 的半径r ＝ 4，判断⊙M 与直线y=❑ √3 x+9的位置关系，若相交，设其弦长 为，求的值；若不相交，说明理由． 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 【例4】（2023·重庆开州·统考一模）如图，是⊙О 的一条半径，点P 是延长线上一点，过点P 作⊙的切线 PB，点B 为切点． 若P=1，PB=2，则半径的长为（ ） ．4 3 B．3 2 ．8 5 D．3 【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，以点A (4,3)为圆心、以R 为半径作圆 与x 轴相交，且原点在圆的外部，那么半径R 的取值范围是（ ） ．0<R<5 B．3<R<4 ．3<R<5 D．4<R<5 【变式4-2】（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=13， sin A= 5 13， 以点为圆心，R 为半径作圆，使、B 两点一点在圆内，一点在圆外，那么R 的取值范围是 ． 【变式4-3】（2020·河北石家庄·石家庄市第五十中学校考模拟预测）在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝ 4．点为边B 上一点（不与重合）⊙是以点为圆心，为半径的圆．当⊙与三角形边的交点个数为3 时，则 的范围（ ） ．0＜≤15 8 或25≤＜5 B．0＜¿ 15 8 或＝25 ．＝25 D．＝25 或15 8 【变式4-4】（2020·江苏盐城·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6点O为对角线AC上一点 （不与A重合），⊙是以点O为圆心，AO为半径的圆当⊙与矩形各边的交点个数为5 个时，半径OA的范 围是 【变式4-5】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90° ,∠B=30° , AC=2，以C为 圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【变式4-6】（2020·上海金山·统考一模）如图，已知RtΔABC中，∠C=90 ∘，AC=3，BC=4，如果以 点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ） ．0≤r ≤12 5 B．12 5 ≤r ≤3 ．12 5 ≤r ≤4 D．3≤r ≤4 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 【例5】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，⊙C的圆心C的坐标为(1,1)，半径为1，直线l的表达式为 y=−2 x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（ ） ．3 ❑ √5 5 −1 B．6 ❑ √5 5 −1 ．3 ❑ √5 5 D．6 ❑ √5 5 【变式5-1】（2020·福建福州·校考模拟预测）已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与 ⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ） ．0 B．3 ．35 D．4 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 【例6】（2023·山东日照·日照市田家炳实验中学校考一模）如图，已知⊙P 的半径为1，圆心P 在抛物线 y＝1 2x2﹣1 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ． 【变式6-1】（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=2❑ √2的⊙M 在x轴上平移，且圆心M 在x 轴上， 当⊙M 与直线y=x+2相切时，圆心M 的坐标为（ ） ．(0，0) B．(2，0) ．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离 【例7】（2020·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5m 的⊙中，直线l 交⊙于、B 两点，且弦B＝ 8m，要使直线l 与⊙相切，则需要将直线l 向下平移( ) ．1m B．2m ．3m D．4m 【变式7-1】（2022 上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2 的圆P的圆心P 的坐标为（-3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ） ．1 B．3 或6 ．3 D．1 或5 【变式7-2】（2022 上·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O， ∠AOC=30°，半径为1cm的圆的圆心P 在直线AB上，且与点O的距离为8cm，若点P以1cm/s的速度 由向B 的方向运动，当运动时间t为 时，⊙P与直线CD相切． 【变式7-3】（2020·江苏扬州·统考二模）直线l 经过点 (4，0)，B(0，2)，若⊙M 的半径为1，圆心M 在y 在轴上，当⊙M 与直线l 相切时，则点M 的坐标 ． 【变式7-4】（2018·吉林·统考一模）等腰Rt△B 和⊙如图放置，已知B=B=1，∠B=90°，⊙的半径为1， 圆心与直线B 的距离为5． （1）若△B 以每秒2 个单位的速度向右移动，⊙不动，则经过多少时间△B 的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△B 的速度为每秒2 个单位，⊙的速度为每秒1 个单位，则经过多少时间 △B 的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△B 的速度为每秒2 个单位，⊙的速度为每秒1 个单位，同时△B 的边长 B、B 都以每秒05 个单位沿B、B 方向增大．△B 的边与圆第一次相切时，点B 运动了多少距离？ 题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数 【例8】（2020·广东·统考一模）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内 作圆， （1）当r 时，圆与坐标轴有1 个交点； （2）当r 时，圆与坐标轴有2 个交点； （3）当r 时，圆与坐标轴有3 个交点； （4）当r 时，圆与坐标轴有4 个交点； 题型09 圆和圆的位置关系 【例9】（2022·上海崇明·统考二模）Rt △ABC中，已知∠C=90° ,BC=3, AC=4，以点、B、为圆心 的圆分别记作圆、圆B、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ） ．圆与圆相交 B．圆B 与圆外切 ．圆与圆B 外切 D．圆与圆B 外离． 【变式9-1】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知在Rt △ABC中，∠C=90°，cot A=6 5 ，那么以边 AC长的3 2倍为半径的圆与以BC为直径的圆的位置关系是（ ） ．外切 B．相交 ．内切 D．内含 【变式9-2】（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在平面内⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，其中⊙O1的半 径为8，⊙O2，⊙O3的半径都为5．用一张半径为R 的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R 的最小值为 （ ） ．40 3 B．10 ．13 D．15 【变式9-3】（2021·上海松江·统考二模）已知⊙的半径长为3，点B 在线段上，且B＝2，如果⊙B 与⊙有 公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围是（ ） ．r≥1 B．r≤5 ．1＜r＜5 D．1≤r≤5 【变式9-4】（2023·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点M (a,b)，将点P 向左(a≥0) 或向右(a<0)平移k|a|个单位长度，再向下(b≥0)或向上(b<0)平移k|b|个单位长度(k>0)，得到点P '，再将 点P 关于直线M P '对称得到点Q，称点Q 为点P 的k 倍“对应点”．特别地，当M 与P '重合时，点Q 为 点P 关于点M 的中心对称点． (1)已知点P (3，0)，k=2． ①若点M 的坐标为(0，1)，画出点P '，并直接写出点P 的2 倍“对应点”Q 的坐标； ②若OM=1，直线y=x+b上存在点P 的2 倍“对应点”，直接写出b 的取值范围； (2)半径为3 的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1 的⊙O上存在点P 的k 倍“对应点”，直接写出k 的取值范围． 考点二 切线的性质与判定 1 切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆 心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中 作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计 算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半 径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半 径，简称“作垂直，证半径”． 2 切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角 三角形来求解． 题型01 判断或补全使直线成为切线的条件 【例1】（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，点B 在⊙上，点在⊙外，以下条件不能判定B 是⊙切线的是 （ ） ．∠＝50°，∠＝40° B．∠B﹣ ∠＝∠ ．B2+B2＝2 D．⊙与的交点是中点 【变式1-1】（2021·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙的直径，BC交⊙于点D，DE⊥AC于点E，下 列说法不正确的是（ ） ．若DE=DO，则DE是⊙的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙的切线 ．若CD=DB，则DE是⊙的切线 D．若DE是⊙的切线，则AB=AC 【变式1-2】（2019·新疆·校考中考模拟）已知⊙ 的半径为 5，直线 EF 经过⊙ 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙ 相切的是（ ） ．P＝5 B．E＝F ． 到直线 EF 的距离是 4 D．P⊥EF 题型02 利用切线的性质求线段长 【例2】（2023·重庆巴南·统考一模）如图，已知△ABC，点D 在边AB上，以BD为直径的⊙O与边AC 相切于点，若AC=4 , AD=2，则线段BC的长为（ ） ．5 B．2❑ √5 ．11 5 ❑ √5 D．12 5 ❑ √5 【变式2-1】（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图，在△OAB