第27讲 与圆有关的位置关系（练习）（解析版）

第27 讲 与圆有关的位置关系 目 录 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线与圆的位置关系 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离 题型08 圆和圆的位置关系 题型09 判断或补全使直线成为切线的条件 题型10 利用切线的性质求线段长 题型11 利用切线的性质求角度 题型12 证明某条直线时圆的切线 题型13 利用切线的性质定理证明 题型14 切线的性质与判定的综合运用 题型15 作圆的切线 题型16 应用切线长定理求解 题型17 应用切线长定理求证 题型18 判断三角形外接圆圆心位置 题型19 求外心坐标 题型20 求特殊三角形外接圆的半径 题型21 由三角形的内切圆求长度 题型22 由三角形的内切圆求角度 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积 题型24 求三角形的内切圆半径 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型26 三角形内心有关的应用 题型27 三角形外接圆与内切圆综合 题型01 判断点和圆的位置关系 1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是 （ ） ．在圆上 B．在圆外 ．在圆内 D．不能确定 【答】B 【分析】根据点到圆心的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵OA=6>5， ∴点在圆外， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上， 小于半径时点在圆内是解题的关键． 2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙的半径是8，点P 到圆心的距离d 为方程 x 2−4 x−5=0的一个根，则点P 在（ ） ．⊙O的内部 B．⊙O的外部 ．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 【答】 【分析】先解一元二次方程，得到d 值，再比较d 与半径8 的大小，若d>8，则点P 在⊙O的外部，若 d<8，则点P 在⊙O的内部，若d=8，则点P 在⊙O上，即可解答． 【详解】解：解方程x 2−4 x−5=0可得，x1=5，x2=−1， ∵点P 到圆心的距离d 为方程x 2−4 x−5=0的一个根， ∴d=5<8， ∴点P 在⊙O的内部， 故选 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答 的关键． 3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在Rt △ABC中，∠C=90° ,BC=8,tan A=2，以点为圆心，半径 为8 的圆记作圆，那么下列说法正确的是（ ） ．点在圆内，点B 在圆外 B．点在圆上，点B 在圆外 ．点、B 都在圆内 D．点、B 都在圆外 【答】 【分析】由解直角三角形求出AC=4，由AC和AB与圆的半径的大小关系，即可判断出点和点B 与⊙A 的位置关系，即可得出答． 【详解】解：如图，在Rt △ABC中，∠C=90° ,BC=8,tan A=2， ∴BC AC =2，即8 AC =2， ∴AC=4， ∴AC<8， ∴点在⊙A的内部， ∵AB>BC， ∴AB>8， ∴点B 在⊙A的外部， 故选． 【点睛】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是 解决问题的关键． 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 4．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是 9cm，则⊙O的半径是 ． 【答】6.5cm或2.5cm 【分析】分点P在⊙O外和⊙O内两种情况分析；设⊙O的半径为xcm，根据圆的性质列一元一次方程并 求解，即可得到答． 【详解】设⊙O的半径为xcm 当点P在⊙O外时，根据题意得：4+2 x=9 ∴x=2.5cm 当点P在⊙O内时，根据题意得：2 x=9+4 ∴x=6.5cm 故答为：6.5cm或2.5cm． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 5．（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中， 最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程a x 2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为 ． 【答】12 【分析】根据题意知⊙O的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵P是⊙O内一点， ∴⊙O的直径为最小距离与最大距离的和， ∵最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程a x 2−12ax−20=0的两个实数根， ∴⊙O的直径为−−12a a =12， 故答为：12． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数 的关系． 6．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得 点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ． 【答】6<r<10 【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，利用以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆 外，得出r的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接AC， ∵矩形矩形ABCD中，AB=8，AD=6， ∴AC=10， ∵以以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外， ∴半径r的取值范围是：6<r<10， 故答为：6<r<10． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键． 题型03 判断直线与圆的位置关系 7．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P 的坐标为(0,2)， 将⊙P沿y 轴负方向平移1.5个单位长度，则x 轴与⊙P的位置关系是（ ） ．相交 B．相切 ．相离 D．无法确定 【答】 【分析】根据题意，将圆心点向下平移15 个单位，即可判断圆与x 轴的位置关系． 【详解】解：如图，∵圆心P 的坐标为(0,2)，将⊙P沿y 轴负方向平移1.5个单位长度， ∴平移后的点P 的坐标为(0,0.5)， ∴OP=0.5， ∵半径为1.5， ∴PO<r， ∴圆P 与x 轴相交， 故选A . 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x 轴的位置关系是解题的关键． 8．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，sin B= 4 5 ，AC=5cm，以点C为 圆心，以2m 的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ） ．相离 B．相交 ．相切 D．相切或相交 【答】 【分析】计算点到B 上的高即可判断； 【详解】解：如图，过作D⊥B 于D， 由题意得：B×4 5 =5，B=25 4 m， 由勾股定理得：B= ❑ √A B 2−A C 2=15 4 m， Rt△BD 中，D=Bs∠B=3m， 2m ∵ ＜3m， ∴圆与B 相离， 故选： ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关键． 9．（2021·上海崇明·统考二模）已知同一平面内有⊙和点与点B，如果的半径为3m，线段＝5m，线段B ＝3m，那么直线B 与⊙的位置关系为（ ） ．相离 B．相交 ．相切 D．相交或相切 【答】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直 线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相 离． 【详解】∵⊙的半径为3m，线段＝5m，线段B＝3m ∴点在以为圆心5m 长为半径的圆上，点B 在以圆心3m 长为半径的⊙上 当B⊥B 时，如左图所示，由B=3m 知，直线B 与⊙相切； 当B 与B 不垂直时，如右图所示，过点作D⊥B 于点D，则D<B，所以直线B 与⊙相交； ∴直线B 与⊙的位置关系为相交或相切 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与 半径的大小，从而可确定位置关系． 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 10．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5， BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切， 那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ） ．1 2 <r<4 B．5 2 <r<6 ．9<r< 25 2 D．9<r<13 【答】 【分析】过点O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13，进而根据平行线分线段成比例得出 OE=1 2 AB ,OF=1 2 AD，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆与AD相切时，过点O作OE⊥AD， ∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12． ∴AD⊥CD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD= ❑ √A B 2+ A D 2=13， ∴OE∥DC ∴OE=1 2 AB=5 2， 则r=OD+ 5 2=13 2 + 5 2=9； 当圆与CD相切时，过点O作OF ⊥CD于点F，如图所示， 则OF=1 2 AD=6 则r=13 2 +6=25 2 ∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切时，9<r< 25 2 ， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置 关系，根据题意画出图形是解题的关键． 11．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90° ,∠B=30° , AC=2，以C为圆心，r 为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答】r=❑ √3或2<r ≤2❑ √3 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出B，即可得出答． 【详解】解：过作D⊥B 于D， 在Rt△B 中， ∵∠B=90°，=2，∠B=30°， ∴B=4， ∴BC= ❑ √A B 2−A C 2= ❑ √4 2−2 2=2❑ √3， 根据三角形的面积公式得：B•D=•B， ∴CD= AC ⋅BC AB =2×2❑ √3 4 =❑ √3， 当圆与时B 相切时，r=❑ √3， 当点在圆内，点B 在圆外或圆上时，r 的范围是2＜r≤2❑ √3， 综上所述：r 的取值范围是r=❑ √3或2＜r≤2❑ √3， 故答为：r=❑ √3或2＜r≤2❑ √3． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是 解此题的关键，用了分类讨论思想． 12．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为(3,1)，若⊙A与坐标轴有三个公 共点，则⊙A的半径为 ． 【答】❑ √10或3 【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可． 【详解】 ∵点的坐标为(3,1) ∴如图1，当⊙A经过原点时，半径为OA= ❑ √3 2+1 2=❑ √10 如图2，当⊙A与y 轴相切时，半径为点到y 轴的距离为3 故答为：❑ √10或3 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心 到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交 点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d<r，直线和圆相交，有两个交点． 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2 个公共点，则点O到直线l的距离 可能是（ ） ．3 B．5 ．7 D．9 【答】 【分析】根据题意得点O到直线l的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2 个公共点， ∴点O到直线l的距离0≤d<5． 故选：． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径， 是解题的关键． 14．（2020·河北唐山·统考二模）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的 距离不可能为（ ） ．5 B．55 ．45 D．1 【答】B 【分析】直线AB与⊙O应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断． 【详解】∵直线AB与⊙O有公共点 ∴直线AB与⊙O应是相交或相切的位置关系 ∴圆心距小于等于半径 55>5 ∵ B ∴ 选项错误 故选B． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当圆心距大于半径时直线和圆相离，当圆心距等于半径时直线 和圆相切，当圆心距小于半径时直线和圆相交． 15．（2022·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M , N的“近距离”，记为d( M , N )．特 别地，当图形M与图形N有公共点时，d( M , N )=0． 已知（－4，0），B（0，4），（4，0），D（0，－4）， （1）d（点，点）＝________，d（点，线段BD）＝________； （2）⊙半径为r， ①当r ＝ 1 时，求 ⊙与正方形BD 的“近距离”d（⊙，正方形BD）； ②若d（⊙，正方形BD）＝1，则r ＝___________． （3）M 为x 轴上一点，⊙M 的半径为1，⊙M 与正方形BD 的“近距离”d（⊙M，正方形BD）＜1，请 直接写出圆心M 的横坐标 m 的取值范围． 【答】（1）8；4；（2）①2❑ √2-1 ；②2❑ √2-1 或5；（3）−6<m<2❑ √2−4或4−2❑ √2<m<6． 【分析】（1）图形M，的“近距离”的定义可求解； （2）①根据题意作图，根据“近距离”的定义即可求解； ②根据题意分圆在正方形BD 内部和外部分别作图求解； （3）由题意可求∠B＝45°，分点M 在x 轴正半轴且⊙M 在正方形BD 的外面与内部，及点M 在x 轴负半 轴且⊙M 在正方形BD 的外面与内部，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）∵（－4，0），（4，0）， d（点，点）＝8； B ∵（0，4），D（0，－4）， ∴线段BD 在y 轴上 d ∴（点，线段BD）为点到y 轴的距离，即4 故答为：8；4； （2）①如图，当r ＝ 1 时， 过点作E B ⊥ 于E 点，E 与⊙交于点， 则E=1 2B=1 2×❑ √4 2+4 2=2❑ √2 ∴⊙与正方形BD 的“近距离”d（⊙，正方形BD）=E=E-=2❑ √2-1； ②如图，当⊙在正方形BD 内部时，d（⊙，正方形BD）＝1 即E=E-=1 则=E-E=2❑ √2-1 当⊙在正方形BD 外部时，d（⊙，正方形BD）＝1 即BG=1 则G=B+BG=5 故答为：2❑ √2-1 或5； （3）如图，∵B=， B ∴∠＝45°， 当点M 在x 轴正半轴且⊙M 在正方形BD 的外面时，⊙M 的半径为1 d ∵（⊙M，正方形BD）＜1 由图可得M2--1＜1 即M2-4-1＜1 M ∴ 2＜6 即m＜6； 当点M 在x 轴正半轴且⊙M 在正方形BD 的内部时，⊙M 的半径为1， 过点M1作M1G B ⊥， d ∵（⊙M，正方形BD）＜1 M ∴ 1G-r＜1 M ∵ 1G=M1·s45°= ❑ √2 2 (4−m) ∴ ❑ √2 2 (4−m)-1＜1 解得m＞4−2❑ √2 ∴4−2❑ √2<m<6 当点M 在x 轴负半轴且⊙M 在正方形BD 的外面与内部时，同理可得−6<m<2❑ √2−4 综上，m 的取值范围为−6<m<2❑ √2−4或4−2❑ √2<m<6． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角函数的运用等知识， 解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 16．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=2❑ √2的⊙M 在x轴上平移，且圆心M 在x 轴上，当⊙M 与 直线y=x+2相切时，圆心M 的坐标为（ ） ．(0，0) B．(2，0) ．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切 两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接M，如下图所示： ∵y=x+2 ∴A(0,2)，B(−2,0)，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45° ∴AB=2❑ √2 ∵r=2❑ √2 ∴△ABM是等腰直角三角形，∠BAM=90° ∴⊙M 与直线B 相切于点 ∵AO⊥BM ∴OB=OM=2 ∴圆心M 的坐标为(2,0)； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M 作MC ⊥AB于点，如下图所示： ∵⊙M 与直线B 相切，MC ⊥AB ∴MC=r=2❑ √2 根据直线B 的解析式：y=x+2可知∠ABO=∠MBC=45° ∴△BCM是等腰直角三角形 ∴MB=❑ √2 MC=4 ∵B(−2,0) ∴圆心M 的坐标为(−6,0)， 综上所述：圆心M 的坐标为(2,0)或(−6,0)， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并 进行分类讨论是解决本题的关键． 17．（2022·河南南阳·统考一模）如图，直线y=−3 4 x−3交x 轴于点，交y 轴于点B，点P 是x 轴上一动 点，以点P 为圆心，以1 个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线B 相切时，点P 的坐标是（） ．( −7 3 ,0) B．( −7 3 ,0)或( −17 3 ,0) ．( −3 7 ,0) D．( −3 7 ,0)或( −3 17 ,0) 【答】B 【分析】由题意根据函数解析式求得（-4，0），B（0，-3），得到=4，B=3，根据勾股定理得到B=5，设 ⊙P 与直线B 相切于D，连接PD，则PD⊥B，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线y=−3 4 x−3交x 轴于点，交y 轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴（-4，0），B（0，-3）， =4 ∴ ，B=3， ∴B=5， 设⊙P 与直线B 相切于D， 连接PD， 则PD⊥B，PD=1， ∵∠DP=∠B