第28讲 与圆有关的计算（练习）（原卷版）

第28 讲 与圆有关的计算 目 录 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求线段长 题型08 正多边形与圆的规律问题 题型09 求弧长 题型10 利用弧长及扇形面积公式求半径 题型11 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 题型12 求某点的弧形运动路径长度 题型13 求扇形面积 题型14 求图形旋转后扫过的面积 题型15 求圆锥侧面积 题型16 求圆锥底面半径 题型17 求圆锥的高 题型18 求圆锥侧面积展开图的圆心角 题型19 圆锥的实际问题 题型20 圆锥侧面上的最短路径问题 题型21 计算不规则面积 题型01 求正多边形中心角 1．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边B 是⊙内接正六边形的一边，点在´ AB上，且B 是⊙内接正八 边形的一边，若是⊙内接正边形的一边，则的值是（ ） ．6 B．12 ．24 D．48 2．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，正五边形BDE 内接于⊙，点F 在´ DE上，则∠FD＝ 度． 3．（2022·江苏扬州·扬州育学院附中校考二模）如图，在正十边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10中，连 接A1 A4、A1 A7，则∠A4 A1 A7=¿ ° 题型02 求正多边的边数 4．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ． 5．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正边形的一个内角等于它的中心角的2 倍，则= ． 6．（2022·广东深圳·统考二模）一个正多边形内接于半径为4 的⊙，B 是它的一条边，扇形B 的面积为2π， 则这个正多边形的边数是 ． 题型03 正多边形与圆中求角度 7．（2022·山东青岛·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙的内接正五边形，则∠EBC的度数为（ ） ．54° B．60° ．71° D．72° 8．（2022·河北·模拟预测）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，连接BD．则∠BD 的度数是（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 9．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，∠GOK的两边OG ,OK， 分别与AB ,CB，相交于点M，N，当∠GOK +∠ABC=180 ∘时，下列说法错误的是（ ） ．∠GOK=60° B．MB+NB=DC ．S四边形OMBN= 1 12 S正六边形ABCDEF D．∠OMA与∠ONB相等 10．（2022·广西梧州·统考一模）如图，在正五边形BDE 中，与BE 相交于点F，则∠FE 的度数为 ． 题型04 正多边形与圆中求面积 11．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一 张保持不动，将上面一张纸片六边形A ' B 'C ' D ' E ' F '沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形 纸片面积与折线A '−B '−C '扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ） ．3:1 B．4:1 ．5:2 D．2:1 12．（2022·浙江宁波·统考二模）如图，正六边形ABCDEF中，点P 是边AF上的点，记图中各三角形的 面积依次为S1,S2,S3,S4,S5，则下列判断正确的是（ ） ．S1+S2=2S3 B．S1+S4=S3 ．S2+S4=2S3 D．S1+S5=S3 13．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）边长为的正方形的对称轴有 条，这个正方形的 外接圆的面积是 ． 14．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是❑ √3，则阴影 部分的面积是 ． 15．（2022·四川成都·校考模拟预测）求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积 题型05 正多边形与圆中求周长 16．（2022·河北唐山·统考二模）如图，有公共顶点的两个边长为5 的正五边形（不重叠），以点为圆心， 5 为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图（阴影部分），则这个“蘑菇”形图的周长为（ ） ．4π B．4 π +20 ．10π D．10 π +20 17．（2022·江西吉安·统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金 分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用 时一般取0618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接B，，∠ACB的角平分线交边B 于点D， 则点D 就是线段B 的一个黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为（ ） ．191m B．25m ．309m D．40m 18．（2022·云南昆明·统考二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始， 每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形 的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为 R，图1 中圆内接正六边形的周长l6=6 R，则π ≈l6 2 R =3．再利用图2 圆的内接正十二边形计算圆周率， 首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） ．l12=24 R sin15° B．l12=24 R cos15° ．l12=24 R sin30° D．l12=24 R cos30° 19．（2022·浙江·统考二模）如图1 是学生常用的一种圆规，其手柄B=8mm，两脚B=BD=56mm，如图2 所示．当∠CBD=74°时： (1)求离纸面D 的距离． (2)用该圆规作如图3 所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：s37°≈060，s37°≈080， s74°≈096，s74°≈028，结果精确到01） 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 20．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）半径为2的圆内接正六角形的边长是（ ） ．1 B．2 ．❑ √3 D．2❑ √3 21．（2022·河南信阳·统考三模）如图1，动点P 从正六边形的点出发，沿→F→E→D→以1 m/s 的速度匀 速运动到点，图2 是点P 运动时，△P 的面积y（m2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边 长为（ ） ．2 m B．❑ √3m ．1 m D．3 m 22．（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）如图，⊙的内接正六边形的边长是6，则弦心距是 ． 23．（2022·陕西西安·校考模拟预测）某正多边形的边心距❑ √3，半径为2，则该正多边形的面积为 ． 24．（2022·辽宁沈阳·统考二模）半径为6 的圆内接正三角形的边心距为 ． 题型07 正多边形与圆中求线段长 25．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为 （ ） ．2❑ √2+2 B．4 ．2+❑ √2 D．6 26．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB 的延长线于点F，则下列结论不成立的是（ ） ．AE∥BF B．AF ∥CD ．DF=AF D．AB=BF 27．（2022·贵州贵阳·统考一模）如图，点P 是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当∠APB=90°时， 连接PD，则线段PD的最小值是（ ） ．2❑ √11−2 B．2❑ √13−2 ．6 D．4 ❑ √3 28．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在正六边形BDEF 中，对角线，BD 相交于点M，则 AM CM 的值为 ． 题型08 正多边形与圆的规律问题 29．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的 边长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，，重复上述过程，经过2018 次后， 所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ） ．(❑ √2) 2016倍 B．(❑ √3) 2017倍 ．(❑ √3) 2018倍 D．(❑ √2) 2019倍 30．（2022·广东湛江·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正六边形ABCDEF的中心与原 点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束 时，点的坐标为 ． 31．（2022·广东·模拟预测）如图，边长为1 的正六边形BDEF 放置于平面直角坐标系中，边B 在x 轴正半 轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形BDEF 绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第 2025 次旋转后，顶点D 的坐标为（ ） ．（−3 2 ，−❑ √3） B．（3 2 ，−3 ❑ √3 2 ） ．（−❑ √3，❑ √3） D．（−3 2 ，−3 2 ） 题型09 求弧长 32．（2022·山东枣庄·统考三模）一根钢管放在V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24m，若 ∠ACB=60°，则劣弧B 的长是（ ） ．8 πcm B．16 πcm ．32πcm D．192πcm 33．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（´ AB）， 点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（´ AB）的长度为 （ ） ．20 π m B．30 π m ．40 π m D．50 π m 34．（2022·广东中山·统考一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，P，PB 分别与 ´ AMB所在圆相 切于点，B．若该圆半径是9m，∠P＝40°，则 ´ AMB的长是（ ） ．11πm B．11 2 πm ．7 πm D．7 2 πm 35．（2023·湖北武汉·校考一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆 弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2❑ √3m，则改建后门洞的圆弧长是（ ） ．5π 3 m B．8π 3 m ．10π 3 m D．( 5π 3 +2)m 36．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点，B，，D 在半径为5 的⊙O上，连接AB，BC，CD，AD． 若∠ABC=108°，则劣弧AC的长为 ． 37．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为O的 弓形AMB，与桌面CD相切于点M，开口部分AB与桌面CD平行，测得开口部分AB=40cm， MB=20 ❑ √5cm．（参考数据：tan 26.5°≈1 2 ，sin30°=1 2 ） (1)求弓形AMB的半径； (2)求优弧 ´ AMB的长． 题型10 利用弧长及扇形面积公式求半径 38．（2021·安徽·统考三模）如图，B 是⊙的弦，点是劣弧´ AB的中点，若∠B＝30°，劣弧´ AB的长为2 3 π， 则⊙的半径为 ． 39．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的弧长是4 π cm，面积是12π cm 2，则此扇形的半径是 cm． 40．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥 底面圆的半径为2cm，则这个扇形的半径是 cm． 41．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，点C为 ´ AmB的中点，现有以下 信息： ①AB为直径；②∠ACD=60°；③∠CEB=105°． (1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题． 你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由． (2)在（1）的条件下，若´ AD的长为4 3 π，求⊙O半径． 题型11 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 42．（2022·湖南长沙·一模）已知扇形半径是3m，弧长为3 2 πcm，则扇形的圆心角为 度． 43．（2021·新疆乌鲁木齐·新疆农业大学附属中学校考一模）已知扇形面积为24π，弧长为8π，则此扇形 的圆心角为 度． 44．（2022·河南驻马店·校联考二模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．将扇形 AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小 （2）若圆锥底面圆的直径ED为5m，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π） 题型12 求某点的弧形运动路径长度 45．（2023·贵州贵阳·统考三模）长为30 cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁 钉的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C 的位置，则点B旋转的路径´ BC长为（ ） ．450 π cm B．225 π cm ．15 π cm D．7.5 π cm 46．（2022·福建厦门·统考二模）如图，用一个半径为6 m 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假 设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 m．（结果保留π） 47．（2022·山东滨州·校考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=❑ √3，将 △ABC绕点A逆时针旋转角α（0°<α<180°）得到△A B 'C '，并使点C '落在AB边上，则点B所经过的 路径长为 ．（结果保留π） 48．（2021·广西河池·统考二模）如图所示，将一个半径OA=10cm，圆心角∠AOB=90°的扇形纸板放 置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上 时，则半径OA的中点P 运动的路线长为 cm． 49．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A (−1,0)，B (−2,−1)， C (0,−3)． (1)以原点O为位似中心，相似比为2，作△ABC的位似图形，得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1 （点A1，B1，C1分别为点A，B，C的对应点）； (2)若将△ABC绕原点O逆时针旋转90 ∘，得到△A2B2C2，请在图中作出△A2B2C2（点A2，B2，C2分别 为点A，B，C的对应点）；旋转过程中，点B经过的路径长为____________． 题型13 求扇形面积 50．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=❑ √3，以点B为圆心， BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ） ．π 3 B．3 π 5 ．2π 3 D．3 π 4 51．（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B 为圆心，BC的长 为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 52．（2022·湖北十堰·统考一模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90° ,BC=4．分别以点B、点 为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ． 53．（2023·江苏徐州·一模）如图，C ，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结 BC ，CD． (1)求证：CD∥AB． (2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积． 题型14 求图形旋转后扫过的面积 54．（2017·山东淄博·统考一模）如图，将△ABC绕点C旋转60 ∘得到△A ' B 'C，已知AC=6，BC=4， 则线段AB扫过的图形面积为（ ） ．3 π 2 B．8 π 3 ．6 π D．10 π 3 55．（2020·广东深圳·统考三模）如图，Rt △ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，，分别 为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B 逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） ．7 3 π−7 8 ❑ √3 B．4 3 π+ 7 8 ❑ √3 ．π D．4 3 π+❑ √3 56．（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点在y 轴的正半轴上，OA=1， 将OA绕点顺时针旋转45 °到O A1，扫过的面积记为S1，A1 A2⊥O A1交x 轴于点A2；将O A2绕点顺时针 旋转45 °到O A3，扫过的面积记为S2，A3 A4⊥O A3交y 轴于点A4；将O A4绕点顺时针旋转45 °到O A5， 扫过的面积记为S3，A5 A6⊥O A5交x 轴于点A6；…；按此规律，则S2022的值为 ． 57．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图，在边长为1 的正方形格中，△B 的顶点均在格点上，点，B 的坐 标分别是(2,2)，B(1,3)，把△B 绕点逆时针旋转90°后得到△A1B1O． (1)画出△A1B1O，直接写出点A1，B1的坐标； (2)计算在旋转过程中，△B 所扫过的面积． (3)以原点为位似中心，位似比为2，在第三象限画出△B 放大后的△A2B2O． 题型15 求圆锥侧面积 58．（2023·浙江宁波·统考二模）已知圆锥的母线长8m，底面圆的直径6m，则这个圆锥的侧面积是（ ） ．96πm2 B．48πm2 ．33πm2 D．24πm2 59．（2023·广东广州·统考一模）如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角 形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（ ） ．24 π B．21π ．15 π D．12π 60．（2023·广东汕头·校考一模）圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ） ．36 π B．52π ．100 π D．136π 61．（2023·山东东营·东营市东营区实验中学校考一模）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆 心角为120°，则它的侧面展开图面积为 ． 题型16 求圆锥