第27讲 与圆有关的位置关系（练习）（原卷版）

第27 讲 与圆有关的位置关系 目 录 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线与圆的位置关系 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离 题型08 圆和圆的位置关系 题型09 判断或补全使直线成为切线的条件 题型10 利用切线的性质求线段长 题型11 利用切线的性质求角度 题型12 证明某条直线时圆的切线 题型13 利用切线的性质定理证明 题型14 切线的性质与判定的综合运用 题型15 作圆的切线 题型16 应用切线长定理求解 题型17 应用切线长定理求证 题型18 判断三角形外接圆圆心位置 题型19 求外心坐标 题型20 求特殊三角形外接圆的半径 题型21 由三角形的内切圆求长度 题型22 由三角形的内切圆求角度 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积 题型24 求三角形的内切圆半径 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型26 三角形内心有关的应用 题型27 三角形外接圆与内切圆综合 题型01 判断点和圆的位置关系 1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是 （ ） ．在圆上 B．在圆外 ．在圆内 D．不能确定 2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙的半径是8，点P 到圆心的距离d 为方程 x 2−4 x−5=0的一个根，则点P 在（ ） ．⊙O的内部 B．⊙O的外部 ．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在Rt △ABC中，∠C=90° ,BC=8,tan A=2，以点为圆心，半径 为8 的圆记作圆，那么下列说法正确的是（ ） ．点在圆内，点B 在圆外 B．点在圆上，点B 在圆外 ．点、B 都在圆内 D．点、B 都在圆外 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 4．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是 9cm，则⊙O的半径是 ． 5．（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中， 最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程a x 2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为 ． 6．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得 点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ． 题型03 判断直线与圆的位置关系 7．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P 的坐标为(0,2)， 将⊙P沿y 轴负方向平移1.5个单位长度，则x 轴与⊙P的位置关系是（ ） ．相交 B．相切 ．相离 D．无法确定 8．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，sin B= 4 5 ，AC=5cm，以点C为 圆心，以2m 的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ） ．相离 B．相交 ．相切 D．相切或相交 9．（2021·上海崇明·统考二模）已知同一平面内有⊙和点与点B，如果的半径为3m，线段＝5m，线段B ＝3m，那么直线B 与⊙的位置关系为（ ） ．相离 B．相交 ．相切 D．相交或相切 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 10．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5， BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切， 那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ） ．1 2 <r<4 B．5 2 <r<6 ．9<r< 25 2 D．9<r<13 11．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90° ,∠B=30° , AC=2，以C为圆心，r 为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ． 12．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为(3,1)，若⊙A与坐标轴有三个公 共点，则⊙A的半径为 ． 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2 个公共点，则点O到直线l的距离 可能是（ ） ．3 B．5 ．7 D．9 14．（2020·河北唐山·统考二模）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的 距离不可能为（ ） ．5 B．55 ．45 D．1 15．（2022·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M , N的“近距离”，记为d( M , N )．特 别地，当图形M与图形N有公共点时，d( M , N )=0． 已知（－4，0），B（0，4），（4，0），D（0，－4）， （1）d（点，点）＝________，d（点，线段BD）＝________； （2）⊙半径为r， ①当r ＝ 1 时，求 ⊙与正方形BD 的“近距离”d（⊙，正方形BD）； ②若d（⊙，正方形BD）＝1，则r ＝___________． （3）M 为x 轴上一点，⊙M 的半径为1，⊙M 与正方形BD 的“近距离”d（⊙M，正方形BD）＜1，请 直接写出圆心M 的横坐标 m 的取值范围． 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 16．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=2❑ √2的⊙M 在x轴上平移，且圆心M 在x 轴上，当⊙M 与 直线y=x+2相切时，圆心M 的坐标为（ ） ．(0，0) B．(2，0) ．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 17．（2022·河南南阳·统考一模）如图，直线y=−3 4 x−3交x 轴于点，交y 轴于点B，点P 是x 轴上一动 点，以点P 为圆心，以1 个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线B 相切时，点P 的坐标是（） ．( −7 3 ,0) B．( −7 3 ,0)或( −17 3 ,0) ．( −3 7 ,0) D．( −3 7 ,0)或( −3 17 ,0) 18．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，直线l 与x 轴、y 轴分别相交于点、B，已知B（0，❑ √3）， ∠BAO=30°，点P 的坐标为(1,0)，⊙P与y 轴相切于点，若将⊙P沿x 轴向左移动，当⊙P与该直线 相交时，横坐标为整数的点P 的坐标 ． 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离 19．（2021 上·吉林四平·九年级统考期末）如图，⊙的半径=10m，直线l⊥，垂足为，且l 交⊙于，B 两点， B=16m，则l 沿所在直线向下平移 m 时与⊙相切． 20．（2020·九年级单元测试）已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B， 点P (x ,0)在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 21．（2020 上·全国·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xy 中，半径为2 的⊙P 的圆心P 的坐标为 （-3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，求平移的距离． 题型08 圆和圆的位置关系 22．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形ABCD中，AB=4 , AD=3，圆B 的半径为1，圆 与圆B 内切，则点C , D与圆的位置关系是（ ） ．点在圆外，点D 在圆内 B．点在圆外，点D 在圆外 ．点在圆上，点D 在圆内 D．点在圆内，点D 在圆外 23．（2022·上海徐汇·统考二模）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆 的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2 和5，则圆心距的取值可以是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 24．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙1的直径B 长度为12，⊙2的直径为8，∠12＝30°，⊙2沿直线12平移， 当⊙2平移到与⊙1和B 所在直线都有公共点时，令圆心距12＝x，则x 的取值范围是（ ） ．2≤x≤10 B．4≤x≤16 ．4≤x≤4❑ √3 D．2≤x≤8 25．（2021·山东青岛·统考一模）【问题提出】用个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次 递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2 个区域． 探究二：用2 个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1 个圆有2 个交点，将新增加 的圆分成2 部分，从而增加2 个区域，所以，用2 个圆最多能把平面分成4 个区域． 探究三：用3 个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2 个圆分别有2 个交点，将新 增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4 个区域，所以，用3 个圆最多能把平面分成8 个区域． （1）用4 个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2）【一般结论】用个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n−1)个圆分别有2 个交点，将新增加的圆分成__________ ____部分，从而增加___________________个区域，所以，用个圆最多能把平面分成__________________ 个区域．（将结果进行化简） （3）【结论应用】 ①用10 个圆最多能把平面分成_________个区域； ②用___________个圆最多能把平面分成422 个区域． 题型09 判断或补全使直线成为切线的条件 26．（2020·安徽芜湖·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点，B，作一圆弧，点B 与下列格点 的连线中，能够与该圆弧相切的是( ) ．点(0，3) B．点(1，3) ．点(6，0) D．点(6，1) 27．（2019 下·九年级课时练习）在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以为圆心作⊙C与B 相切，则⊙C的半径长为（ ） ．8 B．4 ．96 D．48 28．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，已知∠AOB=30°，M 为B 边上任意一点，以 M 为圆心，2m 为半径作⊙M，当OM=¿ m 时，⊙M与相切 29．（2019 下·九年级课时练习）Rt △ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=3cm，圆心为，半径为2m 和 3m 的两个圆⊙C1和⊙C2与直线B 有怎样的位置关系？半径为多少时，B 与⊙C相切？ 题型10 利用切线的性质求线段长 30．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，为⊙O上一点，过点的切线与AB的延长线交 于点P，若AC=PC=3 ❑ √3，则PB的长为（ ） ．❑ √3 B．3 2 ．2❑ √3 D．3 31．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）在Rt △ABC中，∠C=90°，点是斜边AB边上一点， 以为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD．若AD=BD，⊙O的半径为3，则 CD的长度为（ ） ．9 4 B．3 ❑ √3 2 ．3 D．2❑ √3 32．（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，在半径为10m 和6m 的两个同心圆中，大圆的弦B 与 小圆相切于点，则弦B 的长为 m． 33．（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在矩形BD 中，AB=6，BC=8，E为D 上一点，且AE=2，F 为B 边上的动点，以为EF 直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF 的长为 ． 题型11 利用切线的性质求角度 34．（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE ,CD相切于A ,C两点，则 ∠AOC的度数是（ ） ．144° B．130° ．129° D．108° 35．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点的切线交CB的延长线于点D，若 ∠BAD=35°，则∠C=¿ °． 36．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点、，与AB交于点D，与BC 相切于点，若∠A=32°，则∠ADO=¿ 37．（2023·江苏连云港·校考一模）如图，射线B 与⊙相切于点B，经过圆心的射线与⊙相交于点D、，连 接B，若∠=40°，则∠B= °． 题型12 证明某条直线时圆的切线 38．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在△ ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边 BC交于点D． (1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB=4，求图中阴影部分的面积． 39．（2023·云南昆明·校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上 一点，且∠DEC=∠ABC． (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若DE=4 ❑ √5，AC=2BC，求线段CE的长． 40．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点在B 边上，⊙O经 过点和点B，且与B 边相交于点E． (1)试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若CE=3，求⊙O的半径． 41．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的 ⊙O交AB于点D，E是AC的中点． (1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若∠BCD=30°，AE=5 ❑ √3，求阴影部分的面积； 题型13 利用切线的性质定理证明 42．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）AB是⊙O的直径，是⊙O上一点，OD⊥BC， 垂足为D，过点作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E． (1)如图1，求证∠B=∠E； (2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长． 43．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且 CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P． (1)求证：∠CAB=∠APB； (2)若⊙O的半径r=5, AC=8，求线段PD的长． 44．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，B 是⊙O的直径，是⊙O的弦，D 平分∠B 交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线EF，交B 的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：AF ⊥EF； (2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE 的长． 45．（2020·北京·统考模拟预测）如图，B 为⊙的直径，为B 延长线上一点，D 是⊙的切线，D 为切点， F D ⊥ 于点E，交D 于点F． （1）求证：∠D= F ∠； （2）若s=1 3，BD=8，求EF 的长． 题型14 切线的性质与判定的综合运用 46．（2020·山东德州·统考二模）如图，B 是△B 外接圆的直径，为圆心，⏊B，垂足为，且∠P=∠， D 平 分∠B，交⊙于点D，连接BD，P=2． （1）判断直线P 是否为⊙的切线，并说明理由； （2）若∠P=30°，求、B、BD 的长． （3）若t P= ∠ 1 2，求⊙半径． 47．（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为 AC的中点，连接CD，DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD=4，CD=3，求AC的长． 48．（2023·云南楚雄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以为直径作⊙O交B 于点D，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，延长B 交⊙O于点F． (1)求证：DE 是⊙O的切线 (2)若AE DE =2 3 , AF=10，求⊙O的半径． 49．（2021·广东韶关·统考一模）如图，为⊙的直径，B 为延长线上一点，且∠BD＝∠BD＝30°，B＝1，D 为⊙的弦，连接BD，连接D 并延长交⊙于点E，连接BE 交⊙于点M． (1)求证：直线BD 是⊙的切线； (2)求⊙的半径D 的长； (3)求线段BM 的长． 题型15 作圆的切线 50．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP； ②分别以O，P为圆心，大于1 2 OP长为半径画弧，两弧交于M ，N两点，连接MN，交OP于点C． ③以C为圆心，OC长为半径作⊙C，交⊙O于点A ，B； ④作直线PA ，PB． 所以直线PA ，PB为⊙O的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接MP，MO，NP，NO，OA ，OB． ∵ MP=MO，NP=NO， ∴MN是线段OP的______（______）（填推理的依据）． ∴ CP=CO． ∵OP为⊙O的直径，A ，B在⊙C上 ∴ ∠OAP=∠OBP=90°（______）（填推理的依据）． ∴半径OA ⊥AP，半径OB⊥BP． ∴直线PA ，PB为⊙O的切线（______）（填推理的依据）． 51．（2023·山东青岛·统考三模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圆心在斜 边AB上，经过点B 且与边AC相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 52．（2023·江苏南京·统考二模）如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切要 求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 53．（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt △ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于 点O，以OB为半径作⊙O．判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如图2，某湿地公内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道， 要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹） 题型16 应用切线长定理求解 54．（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、 D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．3