第28讲 与圆有关的计算（练习）（解析版）

第28 讲 与圆有关的计算 目 录 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求线段长 题型08 正多边形与圆的规律问题 题型09 求弧长 题型10 利用弧长及扇形面积公式求半径 题型11 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 题型12 求某点的弧形运动路径长度 题型13 求扇形面积 题型14 求图形旋转后扫过的面积 题型15 求圆锥侧面积 题型16 求圆锥底面半径 题型17 求圆锥的高 题型18 求圆锥侧面积展开图的圆心角 题型19 圆锥的实际问题 题型20 圆锥侧面上的最短路径问题 题型21 计算不规则面积 题型01 求正多边形中心角 1．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，边B 是⊙内接正六边形的一边，点在´ AB上，且B 是⊙内接正八 边形的一边，若是⊙内接正边形的一边，则的值是（ ） ．6 B．12 ．24 D．48 【答】 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠B，∠B 的度数，可得∠=15°，然后根据边数 =360°÷中心角即可求得答． 【详解】解：连接， ∵B 是⊙内接正六边形的一边， ∴∠B＝360°÷6＝60°， ∵B 是⊙内接正八边形的一边， ∴∠B＝360°÷8＝45°， ∴∠＝∠B－∠B＝60°－45°＝15° ∴＝360°÷15°＝24． 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中 心角的度数是解题的关键． 2．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，正五边形BDE 内接于⊙，点F 在´ DE上，则∠FD＝ 度． 【答】36． 【分析】连接，D．求出∠D 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】如图，连接，D． ∵五边形BDE 是正五边形， ∴∠D=360° 5 =72°， ∴∠FD=1 2∠D=36°， 故答为：36． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 3．（2022·江苏扬州·扬州育学院附中校考二模）如图，在正十边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10中，连 接A1 A4、A1 A7，则∠A4 A1 A7=¿ ° 【答】54 【分析】设正十边形的圆心，连接7、4，再求出∠74,最后运用圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图：设正十边形的圆心，连接7、4， ∵正十边形的各边都相等 ∴∠74= 3 10×360°=108° ∴∠A4 A1 A7=¿108°×1 2=54°． 故填54． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答 本题的关键． 题型02 求正多边的边数 4．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答】5 【详解】解：∵中心角的度数=360° n ， 72°=360° n ， n=5， 故答为：5． 5．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正边形的一个内角等于它的中心角的2 倍，则= ． 【答】6 【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程求 解即可． 【详解】∵正边形的一个内角和=（﹣2）•180°， ∴正边形的一个内角=180°×（n−2） n ． ∵正边形的中心角=360° n ， ∴180°×（n−2） n =360°×2 n ， 解得：=6． 故答为6． 【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法． 6．（2022·广东深圳·统考二模）一个正多边形内接于半径为4 的⊙，B 是它的一条边，扇形B 的面积为2π， 则这个正多边形的边数是 ． 【答】8 【分析】设∠B=°，利用扇形面积公式列方程nπ ×4 2 360 =2π，求出∠B 的度数，然后用360°÷45°计算即可． 【详解】解：设∠B=°， ∵扇形B 的面积为2π，半径为4， ∴nπ ×4 2 360 =2π， =45° ∴ ， 360°÷45°=8 ∴ ， ∴这个正多边形的边数是8， 故答为8． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形面积，圆心角，掌握正多边形与圆的性质，扇形面积公式，圆心角 是解题关键． 题型03 正多边形与圆中求角度 7．（2022·山东青岛·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙的内接正五边形，则∠EBC的度数为（ ） ．54° B．60° ．71° D．72° 【答】D 【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出∠BE=∠EB，然后利用三角形内 角和求出∠BE=1 2 (180°−∠A )=36°即可． 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙的内接正五边形， = ∴∠∠B=1 5 (5−2)×180°=108°，B=E， ∴∠BE=∠EB， ∴∠BE=1 2 (180°−∠A )=36°， ∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=108°−36°=72°． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握圆 内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键． 8．（2022·河北·模拟预测）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，连接BD．则∠BD 的度数是（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 【答】 【分析】根据正六边形的内角和求得∠BD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵在正六边形BDEF 中，∠BD＝(6−2)×180 ∘ 6 ＝120°，B＝D， ∴∠BD＝1 2（180° 120° ﹣ ）＝30°， 故选． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题 的关键． 9．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，∠GOK的两边OG ,OK， 分别与AB ,CB，相交于点M，N，当∠GOK +∠ABC=180 ∘时，下列说法错误的是（ ） ．∠GOK=60° B．MB+NB=DC ．S四边形OMBN= 1 12 S正六边形ABCDEF D．∠OMA与∠ONB相等 【答】 【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可． 【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB，OC． ∵点是正六边形ABCDEF的中心， ∴ OA=OB=OC，∠FAB=∠ABC=180°× (6−2) 6 =120 ∘，∠AOB=∠BOC=360 ∘ 6 =60 ∘， AB=DC，S△OAB=1 6 S正六边形ABCDEF． ∴ ∠OAM=180 ∘−∠AOB 2 =60 ∘，∠OBN=180 ∘−∠BOC 2 =60 ∘． ∴ ∠OAM=∠OBN． ∵ ∠GOK +∠ABC=180 ∘， ∴ ∠OMB+∠ONB=360 ∘−(∠GOK +∠ABC )=180 ∘，∠GOK=180 ∘−∠ABC=60 ∘． 故选项不符合题意． ∵ ∠OMA+∠OMB=180 ∘， ∴ ∠OMA=∠ONB． ∴ △OAM ≌△OBN（S）． ∴ ∠OMA=∠ONB，MA=NB，S△OAM=S△OBN． 故D 选项不符合题意． ∴MB+NB=MB+MA=AB=DC． 故B 选项不符合题意． ∴ S四边形OMBN =S△OMB+S△OBN=S△OMB+S△OAM=S△OAB． ∴ S四边形OMBN =S△OAB=1 6 S正六边形ABCDEF． 故选项符合题意． 故选： 【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关 键． 10．（2022·广西梧州·统考一模）如图，在正五边形BDE 中，与BE 相交于点F，则∠FE 的度数为 ． 【答】72° 【分析】首先根据正五边形的性质得到B=B=E，∠B= BE=108° ∠ ，然后利用三角形内角和定理得 ∠B= B= BE= EB= ∠ ∠ ∠ （180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠FE= B+ BE=72° ∠ ∠ ． 【详解】∵五边形BDE 为正五边形， B=B=E ∴ ，∠B= BE=108° ∠ ， B= B= BE= EB= ∴∠ ∠ ∠ ∠ （180°−108°）÷2=36°， FE= B+ BE=72° ∴∠ ∠ ∠ ， 故答为72°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键． 题型04 正多边形与圆中求面积 11．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一 张保持不动，将上面一张纸片六边形A ' B 'C ' D ' E ' F '沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形 纸片面积与折线A '−B '−C '扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ） ．3:1 B．4:1 ．5:2 D．2:1 【答】 【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题． 【详解】解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点O作OH ⊥CD于点H，OG⊥AF于点G， 根据题意，正六边形纸片边长为2a，即CD=2a， ∴OC=OD=CD=2a， ∵OH ⊥CD， ∴CH=DH=1 2 CD=a， ∴在Rt △OCH中，OH= ❑ √OC 2−C H 2= ❑ √(2a) 2−a 2=❑ √3a， 同理，OG=❑ √3a， ∴S△OCD=1 2 CD⋅OH=1 2 ×2a×❑ √3a=❑ √3a 2， ∴正六边形的面积¿6× ❑ √3 4 ×(2a) 2=6 ❑ √3a 2， ∵将上面一张纸片六边形A ' B 'C ' D ' E ' F '沿水平方向向左平移a个单位长度， 又∵GH=OG+OH=2❑ √3a， ∴阴影部分的面积¿a×2❑ √3a=2❑ √3a 2， ∴空白部分与阴影部分面积之比是¿6 ❑ √3a 2:2❑ √3a 2=3:1． 故选：． 【点睛】本题主要考查了多边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平移变换等知识，解题关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（2022·浙江宁波·统考二模）如图，正六边形ABCDEF中，点P 是边AF上的点，记图中各三角形的 面积依次为S1,S2,S3,S4,S5，则下列判断正确的是（ ） ．S1+S2=2S3 B．S1+S4=S3 ．S2+S4=2S3 D．S1+S5=S3 【答】B 【分析】正六边形ABCDEF中，点P 是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1,S2,S3,S4,S5， 则有S3=1 3 S正六边形ABCDEF，S1+S4=S2+S5=1 3 S正六边形ABCDEF，由此即可判断． 【详解】解：正六边形ABCDEF中，点P 是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为 S1,S2,S3,S4,S5， 则有S3=1 3 S正六边形ABCDEF，S1+S4=S2+S5=1 3 S正六边形ABCDEF， ∴S3=S1+S4=S2+S5， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决 问题． 13．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）边长为的正方形的对称轴有 条，这个正方形的 外接圆的面积是 ． 【答】 4 1 2 π a 2 【分析】正方形的对称轴有4 条，然后根据正方形的对角线长就是外接圆的直径求得外接圆的半径，从而 计算面积即可． 【详解】任何正方形的对称轴都有4 条； ∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为：❑ √2a， ∵正方形的对角线是正方形的外接圆的半径， ∴正方形的外接圆的半径为 ❑ √2 2 a， ∴正方形的外接圆的面积为：π r 2=π( ❑ √2 2 a) 2 =1 2 πa ❑ ❑ 2 ． 故答为：4，1 2 πa ❑ ❑ 2 ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是弄清正多边形的有关元素与圆的关系，如本题中 的外接圆的半径就是正方形对角线长的一半． 14．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是❑ √3，则阴影 部分的面积是 ． 【答】4 π−6 ❑ √3/−6 ❑ √3+4 π 【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出∠DOE=60 °，进而得出△DOE是正三角形，由圆内接正六 边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出半径OD，边长DE，再根据面积公式求出正六边形 ABCDEF的面积，最后由阴影部分的面积等于圆的面积减去正六边形ABCDEF，进行计算即可 【详解】解：如图，连接OD，OE， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠DOE=360 ° 6 =60 ° ∵OD=OE ∴△DOE是正三角形， ∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是❑ √3， ∴OD= OM sin60 ° =2，即DE=OE=2， ∴S ABCDEF=6×S△DOE=6× 1 2 ×2×❑ √3=6 ❑ √3 ∴S阴影部分=S圆−S ABCDEF=π×2 2−6 ❑ √3=4 π−6 ❑ √3 故答为4 π−6 ❑ √3 【点睛】本题考查正多边形面积与圆面积的计算，掌握圆内接正六边形的性质以及圆的面积的计算方法是 解决问题的关键 15．（2022·四川成都·校考模拟预测）求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积 【答】它的内接正三角形的边长为20 ❑ √3，面积为300 ❑ √3 【分析】作正三角形ABC关于⊙O的内接三角形，过点O作BC的垂线AD，垂足为D，连接OB，根据正 三角形的性质，得出∠OBD=30°，再根据锐角三角函数的定义，得出BD的长，再根据垂径定理，得出 BC=2BD，从而求正三角形的边长，再根据锐角三角函数的定义，求出AD的长，进而得出其面积． 【详解】解：如图，作正三角形ABC关于⊙O的内接三角形，过点O作BC的垂线AD，垂足为D，连接 OB， ∵半径为20的圆的内接正三角形， ∴ OB=20， ∵AD⊥BC， ∴ AD是∠BAC的角平分线， ∴ ∠BAD=30°， 又∵ BO=OA， ∴ ∠ABO=30°， ∴ ∠OBD=30°， 在Rt △OBD中， ∴BD=cos30°×OB= ❑ √3 2 ×20=10 ❑ √3， ∵BD=CD， ∴BC=2BD=20 ❑ √3， ∴AD=AB⋅sin 60°=20 ❑ √3× ❑ √3 2 =30， ∴S△ABC=1 2 BC ⋅AD=1 2 ×20 ❑ √3×30=300 ❑ √3， ∴它的内接正三角形的边长为20 ❑ √3，面积为300 ❑ √3． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，根据正三角形的性质得出∠OBD=30°是解题关 键． 题型05 正多边形与圆中求周长 16．（2022·河北唐山·统考二模）如图，有公共顶点的两个边长为5 的正五边形（不重叠），以点为圆心， 5 为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图（阴影部分），则这个“蘑菇”形图的周长为（ ） ．4π B．4 π +20 ．10π D．10 π +20 【答】B 【分析】根据多边形的内角和求出正五边形的内角和，可求得每个内角的度数，则可求得阴影部分的度数， 再利用圆弧的周长计算公式即可求得答． 【详解】解：正五边形的内角和为：(n−2)⋅180°=(5−2)×180°=540°， ∴每个角为540°÷5=108°， 则图中阴影部分的度数为：360°−2×108°=144°， 则圆弧的长：144 360 ×2πr=144 360 ×2×5⋅π=4 π， ∴“蘑菇”形图的周长为：4 π+4×5=4 π+20， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆弧的周长计算，解题的关键是熟练掌握圆弧的周长计算公式． 17．（2022·江西吉安·统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金 分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用 时一般取0618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接B，，∠ACB的角平分线交边B 于点D， 则点D 就是线段B 的一个黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为（ ） ．191m B．25m ．309m D．40m 【答】 【分析】证明B=D=D=618（m），可得结论． 【详解】解：由题意，点D 是线段B 的黄金分割点， ∴AD AB =0.618， ∵B==10m， ∴D=618（m）， ∵∠B=∠B=72°，D 平分∠B， ∴∠D=∠BD=∠D=36°，∠DB=∠BD=72°， ∴B=D=D=618（m）， ∴五边形的周长为618×5=3090（m）， 故选：． 【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题． 18．（2022·云南昆明·统考二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始， 每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形 的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为 R，图1 中圆内接正六边形的周长l6=6 R，则π ≈l6 2 R =3．再利用图2 圆的内接正十二边形计算圆周率， 首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） ．l12=24 R sin15° B．l12=24 R cos15° ．l12=24 R sin30° D．l12=24 R cos30° 【答】 【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵十二边形A1 A2⋯A12是正十二边形， ∴∠A6O A7=30°， ∵OM ⊥A1 A2于M，又O A6=O A7， ∴∠A6OM=15°， ∵正n边形的周长¿n⋅2 Rsin 180° n ， ∴圆内接正十二边形的周长l12=24 R sin15°， 故选：． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 19．（2022·浙江·统考二模）如图1 是学生常用的一种圆规，其手柄B=8mm，两脚B=B