第26讲 圆的相关概念及性质（讲义）（原卷版）

第26 讲 圆的相关概念及性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 圆的相关概念 题型01 理解圆的相关概念 题型02 圆的周长与面积相关计算 题型03 圆中的角度计算 题型04 圆中线段长度的计算 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 考点二 圆的性质 题型01 由垂径定理及推论判断正误 题型02 利用垂径定理求解 题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解 题型04 根据垂径定理与相似三角形综合求解 题型05 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 题型06 利用垂径定理求平行弦问题 题型07 利用垂径定理求同心圆问题 题型08 垂径定理在格点中的应用 题型09 利用垂径定理的推论求解 题型10 垂径定理的实际应用 题型11 利用垂径定理求取值范围 题型12 利用弧、弦、圆心角关系判断正误 题型13 利用弧、弦、圆心角关系求角度 题型14 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 题型15 利用弧、弦、圆心角关系求周长 题型16 利用弧、弦、圆心角关系求面积 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 题型18 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 题型19 利用弧、弦、圆心角关系求最值 题型20 利用弧、弦、圆心角关系证明 题型21 利用圆周角定理求解 题型22 利用圆周角定理推论求解 题型23 已知圆内接四边形求角度 题型24 利用圆的有关性质求值 题型25 利用圆的有关性质证明 题型26 利用圆的有关性质解决翻折问题 题型27 利用圆的有关性质解决最值问题 题型28 利用圆的有关性质求取值范围 题型29 利用圆的有关性质解决多结论问题 题型30 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距 题型31 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角 考点要求 新课标要求 命题预测 圆的相关概念  ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周 角的概念  了解等圆、等弧的概念 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通 常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定 理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中 档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可 以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出 题，难度中等或偏上在整个中考中的占比也不 是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在 3-13 分左右，属于中考中的中档考题 所以， 考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的 基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在 后续的结合问题中更好的举一反三 圆 的 性 质 圆的对称性  理解圆既是轴对称图形，也是中心 对称图形 垂径定理及推论  探索并证明垂径定理:垂直于弦的 直径平分弦以及弦所对的两条弧 弧、弦、圆心角 的关系  探索圆周角与圆心角及其所对弧的 关系，知道同弧(或等弧)所对的圆 周角相等 圆周角定理及推 论  了解并证明圆周角定理及其推论 圆内接四边形的 性质  理解圆内接四边形的对角互补 考点一 圆的相关概念 定义内容 补充说明 圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫圆以O点为圆心的圆记作⊙，读作圆 由圆的定义可知，确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置 ②半径，它确定圆的大小 圆心为、半径为r 的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长r 的点组成的图形 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦 ①在一个圆上可以画无数条弦和直径 ②直径是弦，但弦不一定是直径 ③直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧用符号：“❑ ⏜”表 示 以A 、B为端点的弧记作AB ⏜ ，读作：“圆弧B”或“弧B” ①半圆是弧,但弧不一定是半圆 ②弧有长度和度数, 规定半圆的度数为 180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大 于 180° 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆 优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 同圆 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆 ①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等 弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧 ②同圆或等圆的半径相同 等圆 半径相等的圆叫做等圆 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和 圆相交，二者缺一不可． 圆内接 四边形 如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内 接四边形这个圆叫做这个四边形的外接圆 题型01 理解圆的相关概念 【例1】（2023·广东湛江·统考二模）下列说法中，正确的是（ ） ①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相 等；④弧分为优弧和劣弧． ．① B．①③ ．①③④ D．②③④ 【变式1-1】（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ） ．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 ．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴 【变式1-2】（2021·河南南阳·校联考一模）下列关于圆的说法，正确的是（ ） ．弦是直径，直径也是弦 B．半圆是圆中最长的弧 ．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆 【变式1-3】（2022·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ） ①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形． ．①② B．②③ ．②④ D．④ 题型02 圆的周长与面积相关计算 【例2】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的 仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那 么周围圆环面积约为（ ） ．40000 π B．1600 π ．64000 π D．160000 π 【变式2-1】（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公计划砌一个形状如图（1）所示的喷 水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌 喷水池的边沿（ ） ．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多 ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定 【变式2-2】（2021·河南南阳·校联考一模）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所 示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式2-3】（2022·山东济宁·统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与 正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位） 【变式2-4】（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为，半径为r 的小圆面积增加 一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到 大顺序排列）是 ． 题型03 圆中的角度计算 【例3】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点在弦AB上，连接 并延长交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【变式3-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，B 是⊙的弦，⊥B，垂足为，OD∥AB，＝1 2D，则∠BD 的度数为（ ） ．90° B．95° ．100° D．105° 【变式3-2】（2022·河北廊坊·统考模拟预测）如图，CD是⊙O的直径，弦DE ∥AO，若∠A=25°， 则∠D的度数为（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【变式3-3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在扇形AOB中，D为´ AB上的点， 连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（ ） ．35° B．52.5° ．70° D．72° 题型04 圆中线段长度的计算 【例4】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，点D 在斜边AB上，以BD为直 径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的 长为（ ） ．40 3 B．8 ．24 5 D．6 【变式4-1】（2023·云南临沧·统考一模）已知AB=12，、D 是以AB为直径的⊙O上的任意两点，连接 CD，且AB⊥CD，垂足为M，∠OCD=30°，则线段MB的长为 ． 【变式4-2】（2023·广东·统考一模）已知、B 是圆上的点，以为圆心作弧，交OA、OB于点、D．分别以 点和点D 为圆心，大于1 2 CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点 G．若OF=3cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为 cm． 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 【例5】（2023·山东德州·统考三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P 是线段BC上一 动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ） ．5 2 B．12 5 ． ❑ √13−3 2 D．❑ √13−2 【变式5-1】（2021·山东临沂·统考模拟预测）如图，在Rt Δ ABC中，∠ACB=90°，AC=10， BC=12，点D是Δ ABC内的一点，连接AD，CD，BD，满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（ ） ．5 B．6 ．8 D．13 【变式5-2】（2022·山东临沂·统考一模）如图，△B 中，B=，B=24，D⊥B 于点D，D=5，P 是半径为3的 ⊙A上一动点，连结P，若E 是P 的中点，连结DE，则DE 长的最大值为（ ） ．8 B．8.5 ．9 D．9.5 【变式5-3】（2022·江苏徐州·统考二模）如图，点，B 的坐标分别为(3，0)、B(0，3)，点为坐标平面内的 一点，且B=2，点M 为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ） ．3 2 ❑ √2+1 B．3 ❑ √2+2 ．3 2 ❑ √2 D．2 考点二 圆的性质 1 圆的对称性 内容 补充 圆的轴对 称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部 分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的 直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图 形所没有的性质 ②圆的对称轴不是直径，而是直径所 在的直线 ③圆是一个特殊的对称图形，它的许 多性质都可以由它的对称性推出 圆的中心 对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图 形，它的对称中心是圆心 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自 身重合，这说明圆具有旋转不变性 2 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理模型（知二得三） 如图，可得①B 过圆心 ②B D E=DE ⊥③ ④AC ⏜ =AD ⏜⑤ BC ⏜ =BD ⏜ A E D O B C 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分 的弦不是直径）（）平分弦所对的优弧（）平分弦所对的劣弧 若已知五个条件中的两个 那么可 【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的 异侧． 3 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也 都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 4 圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（即：圆周角=1 2 圆心角） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两 个度数和为180° 【解题思路】 1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以 利用圆周角定理进行角的转化 2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角” 3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． 4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧 的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5 圆内接四边形 性质：1）圆内接四边形对角互补 1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化 2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化 3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对 的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角 2) 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 题型01 由垂径定理及推论判断正误 【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，CD是⊙O是直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论 不一定正确的是（ ） ．AE=BE B．OE=DE ．AO=CO D．´ AD= ´ BD 【变式1-1】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，点F是⊙O直径AB上一个动点（不与点A，B重合）， 过点F作弦CD⊥AB，点E是´ AD上不与点D重合的一个动点，则下列结论中不一定正确的是（ ） ．CF=DF B．´ AC= ´ AD ．∠BAC=∠BED D．∠ABC>∠BED 【变式1-2】（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E，连 接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（ ） ．CE=EO B．OC=❑ √2CD ．∠OCE=45° D．∠BOC=2∠BAD 题型02 利用垂径定理求解 【例2】（2023·广东佛山·校考一模）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16， OE长为6，则⊙O半径是（ ） ．5 B．6 ．8 D．10 【变式2-1】（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，B 是⊙的直径，弦D⊥B 于点E，＝D，⊙的半径为2 ❑ √2，则△的面积为（ ） ．❑ √3 B．2 ．2❑ √3 D．4 【变式2-2】（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠BAC=60°，若 ⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ） ．4 B．2❑ √3 ．3 D．❑ √3 【变式2-3】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD， 垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） ．2❑ √5cm B．4 ❑ √3cm ．2❑ √5cm或4 ❑ √5cm D．2❑ √3cm或4 ❑ √3cm 题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解 【例3】（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点， CD⊥AB，垂足为D，AE=8，DB=2，则⊙O的半径为（ ） ．6 B．5 ．4 ❑ √2 D．4 ❑ √3 【变式3-1】（2020·湖北武汉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为´ BD的中点，CF为⊙O的弦， 且CF ⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． (1)求证：ΔBFG≅ΔCDG； (2)若AD=BE=2，求BF的长． 【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图AB为圆的直径，AE为圆的弦，为上一点，´ AC= ´ CE， CD⊥AB，垂足为D． (1)连接CO，判断CO与AE的位置关系，并证明； (2)若AE=8，BD=2，求圆的半径； 题型04 根据垂径定理与相似三角形综合求解 【例4】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，点E 是⊙中弦B 的中点，过点E 作⊙的直径 D，P 是⊙上一点，过点P 作⊙的切线与B 延长线交于点F，与D 延长线交于点G，若点P 为FG 中点， cos F=3 5，⊙的半径长为3 则E 的长为（ ） ．7 5 B．8 5 ．3 2 D．4 3 【变式4-1】（2022·四川泸州·校考一模）如图，B 为⊙的直径，弦D⊥ B 于点F，E⊥ 于点E，若E＝3，B ＝5，则D 的长度是（ ） ．96 B．4❑ √5 ．5❑ √3 D．10 【变式4-2】（2019·新疆阿克苏·模拟预测）如图，是⊙的直径，弦BD⊥ 于E，连接B，过点作F B ⊥于 F，若BD=8m，E=2m，则F 的长度是（ ） ．3m B．❑ √6 m ．25m D．❑ √5 m 【变式4-3】（2023·河南周口·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点． (1)过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD=2，PC=9，求PB的长． 题型05 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 【例5】（2021·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P 与x 轴、y 轴都 相切，且经过矩形AOBC的顶点，与B 相交于点D，若⊙P 的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D 的坐 标是（ ） ．(9,2) B．(9,3) ．(10,2) D．(10,3) 【变式5-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与y 轴相切于点，与x 轴 相交于，B 两点，假设点P 的坐标为（5，3），点M 是⊙P 上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（ ） ．64 B．48 ．32 D．24 【变式5-2】（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M (3,5)为圆心，AB为直径 的圆与x轴相切，与y轴交于、两点，则点B的坐标是 ． 【变式5-3】（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于、 B、、D 四点．