第27讲 与圆有关的位置关系（讲义）（解析版）

第27 讲 与圆有关的位置关系 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 点、直线与圆的位置关系 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线与圆的位置关系 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离 题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数 题型09 圆和圆的位置关系 考点二 切线的性质与判定 题型01 判断或补全使直线成为切线的条件 题型02 利用切线的性质求线段长 题型03 利用切线的性质求角度 题型04 证明某条直线时圆的切线 类型一 由公共点：连半径，证垂直 类型二 无公共点：作垂直，证半径 题型05 利用切线的性质定理证明 题型06 切线的性质与判定的综合运用 题型07 作圆的切线 题型08 应用切线长定理求解 题型09 应用切线长定理求证 考点三 三角形内切圆与外接圆 题型01 判断三角形外接圆圆心位置 题型02 求外心坐标 题型03 已知外心的位置判断三角形形状 题型04 求特殊三角形外接圆的半径 题型05 由三角形的内切圆求长度 题型06 由三角形的内切圆求角度 题型07 由三角形的内切圆求周长、面积 题型08 求三角形的内切圆半径 题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系 题型10 圆外切四边形模型 题型11 三角形内心有关的应用 题型12 三角形外接圆与内切圆综合 考点要求 新课标要求 命题预测 点、直线与圆 的位置关系  探索并掌握点与圆的位置关系  能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作 圆  了解直线与圆的位置关系 本专题内容也是各地中考数学中的必考 考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位 置关系、切线的性质和判定、三角形的内切 圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查 切线的性质和判定，和直角三角形结合的求 线段长的问题和三角函数结合的求角度的问 题等知识点综合，考查形式多样，多以动 点、动图的形式给出，难度较大关键是掌握 基础知识、基本方法，力争拿到全分． 切线的性质与 判定  掌握切线的概念  探索并证明切线长定理 三角形内切圆 与外接圆  了解三角形的内心与外心  通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆 考点一 点、直线与圆的位置关系 1 点和圆的位置关系 已知⊙的半径为r，点P 到圆心的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 r d P 点在圆的外部 d > r 点P 在圆外 点在圆上 r d P 点在圆周上 d = r 点P 在圆上 点在圆内 r d P 点在圆的内部 d < r 点P 在圆内 【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半 径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 2 直线和圆的位置关系 设⊙的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 r d 没有公共点 d > r直线l 与⊙相离 相切 r d 有唯一公共点 d = r直线l 与⊙相切 相交 r d 有两个公共点 d < r直线l 与⊙相交 【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 3 圆和圆之间的位置关系 设⊙1、⊙2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 d r R O1 O2 无 d>R+r ⇔两圆外离 外切 1 个切点 d=R+r ⇔两圆外切 相交 d r R O1 O2 两个交点 R−r<d<R+r ⇔两圆相交 内切 d r R O2 O1 1 个切点 d=R−r ⇔两圆内切 内含 d r R O2 O1 无 0≤d<R−r ⇔两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴 是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 1 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形， 并进行分类讨论，否则比较容易漏解． 2 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两 点连线的垂直平分线上 3 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的 4 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或 内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧． d r R O1 O2 题型01 判断点和圆的位置关系 【例1】（2022·广东广州·统考一模）平面直角坐标系中，⊙的圆心在原点，半径为5，则点P (0,4 )与⊙的 位置关系是（ ） ．点P在⊙内 B．点P在⊙上 ．点P在⊙外 D．无法确定 【答】 【分析】本题根据题意可作图可知d<r，即可判定点P与⊙O的位置关系 【详解】解：由题意可作图，如下图所示： ∵d=4<5， ∴点P在⊙O内 故正确，B、、D 错误， 故选： 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟记d，r 法则是解题的关键． 【变式1-1】（2022·广东广州·统考一模），B 两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点为圆心， 5 为半径作⊙，则下列说法正确的是（ ） ．点，点B 都在⊙上 B．点在⊙上，点B 在⊙外 ．点在⊙内，点B 在⊙上 D．点，点B 都在⊙外 【答】B 【分析】根据勾股定理，可得、B 的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在 圆上；当d＜r 时，点在圆内． 【详解】解： ＝ ∵ ❑ √3 2+4 2＝5， B＝❑ √5 2+1 2＝❑ √26＞5， ∴点在⊙上，点B 在⊙外． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有： 当d＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d＜r 时，点在圆内． 【变式1-2】（2022·江苏扬州·校联考一模）若⊙的半径为5m，点到圆心的距离为4m，那么点与⊙的位置 关系是：点在⊙ ．（填“上”、“内”、“外”） 【答】内 【分析】点与圆心的距离d，则d＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d＜r 时，点在圆内．据此作 答． 【详解】解： ⊙的半径为 ∵ 5m，点到圆心的距离为4m， 即点到圆心的距离小于圆的半径， ∴点在⊙内． 故答为：内． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当 d＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d＜r 时，点在圆内． 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 【例2】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆 心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】 【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C在⊙A内且点B在⊙A外”可得3<r<5，由此即可得 出答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4， ∴AC= ❑ √A B 2−BC 2=3， ∵点C在⊙A内且点B在⊙A外， ∴AC<r< AB，即3<r<5， 观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，矩形BD 中，AB=3，BC=4，点P 是平面内一点，以 P、B、为顶点的三角形是等腰三角形，则PD 的最小值为（ ） ．4 5 B．1 ．7 5 D．25 【答】B 【分析】根据题意，分别以B ,C为圆心BC的长为半径，作⊙B ,⊙C，作BC的垂直平分线，则符合题意 的点P，在⊙B ,⊙C以及BC的垂直平分线上，根据点到圆的距离即可求得PD的最小值 【详解】如图，分别以B ,C为圆心BC的长为半径，作⊙B ,⊙C，作BC的垂直平分线，则符合题意的点 P，在⊙B ,⊙C以及BC的垂直平分线上， 当P位于CD的延长线与⊙C的交点时，取得最小值， ∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4， ∴BC=4 , DC=3 ∴ PD≥PC−DC=4−3=1，则最小值为1 故选B 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，根据题意作出两圆一线是解题的关键． 【变式2-2】（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最 大距离是9cm，则⊙O的半径是 ． 【答】6.5cm或2.5cm 【分析】分点P在⊙O外和⊙O内两种情况分析；设⊙O的半径为xcm，根据圆的性质列一元一次方程并 求解，即可得到答． 【详解】设⊙O的半径为xcm 当点P在⊙O外时，根据题意得：4+2 x=9 ∴x=2.5cm 当点P在⊙O内时，根据题意得：2 x=9+4 ∴x=6.5cm 故答为：6.5cm或2.5cm． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 【变式2-3】（2022·上海静安·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点为圆心作 圆，如果B、、D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r 的取值范围是 ． 【答】6<r<10 【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B、、D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定 ⊙A半径r 的取值范围． 【详解】解：连接，如图， ∵AB=6，BC=8， 由勾股定理可得：AC= ❑ √A B 2+BC 2= ❑ √6 2+8 2=10， ∵AB=6，BC=8，=10， 又∵B、、D 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴点B 在⊙A内，点在⊙A外， 6< ∴ r<10． 故答为：6<r<10． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理、点与圆的位置关系． 题型03 判断直线与圆的位置关系 【例3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cos A= 4 5 ， 以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ） ．相离 B．相切 ．相交 D．无法确定 【答】B 【分析】根据RtΔABC中，∠C=90°， cos A= 4 5 ，求出的值，再根据勾股定理求出B 的值，比较B 与 半径r 的大小，即可得出⊙B与AC的位置关系． 【详解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°， cos A= 4 5 ， s= ∴ AC AB = 4 5 ∵AB=5， =4 ∴ B= ∴ ❑ √BC 2−A C 2=3 当r=3时，⊙B与AC的位置关系是：相切 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理 解求出B 是解题的关键． 【变式3-1】（2023·江西南昌·统考一模）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和 圆的位置关系是（ ） ．相切 B．相交 ．相离 D．平行 【答】B 【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可． 【详解】解： 餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线 ∵ l的距离为d ∴d¿r， ∴直线和圆相交． 故选：B 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙的半径为r，如果圆心到直线l 的距离是 d，当d>r 时，直线和圆相离，当d=r 时，直线和圆相切，当d<r 时，直线和圆相交． 【变式3-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知Rt △ABC中，∠C=90°，tan A= 3 4 ．D、E 分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与 直线AC的位置关系是（ ） ．相离 B．相切 ．相交 D．不能确定 【答】B 【分析】设圆E 交DE 于点F，则EF=E，设D=x，可得BD=2x，B=3x，再由tan A= 3 4 ．可得=4x，B=5x， 然后根据DE∥AC，可得DE=8 3 x，EF=E=5 3 x，从而得到⊙D的半径为x，即可求解． 【详解】解：如图，设圆E 交DE 于点F，则EF=E， 设D=x， ∵BD=2CD． ∴BD=2x，B=3x， ∵tan A= 3 4 ． =4 ∴ x， ∴B=5x， ∵DE∥AC， ∴BE AE = BD CD =2，tan∠BED= 3 4 ． ∴BE=2E，DE=8 3 x， ∴EF=E=5 3 x， ∴DE=DF−EF=x， ∴D=DE， ∵⊙E经过点A，且与⊙D外切， ∴⊙D的半径为x， ∵∠C=90°，即⊥B， ∴⊙D与直线AC相切． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握直角三角形的 性质，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识是解题的关键． 【变式3-3】（2023·四川内江·威远中学校校考一模）已知平面直角坐标系中，点P（x0, y0）和直线x＋ By＋＝0（其中，B 不全为0），则点P 到直线x＋By＋＝0 的距离d可用公式d=|A x0+B y0+C| ❑ √A 2+B 2 来计算． 例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1 的距离，因为直线y＝2x＋1 可化为2x－y＋1＝0，其中＝2，B＝－ 1，＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1 的距离为： d=|A x0+B y0+C| ❑ √A 2+B 2 =|2×1+（−1）×2+1| ❑ √2 2+(−1) 2 = 1 ❑ √5= ❑ √5 5 ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线y=❑ √3 x+9的距离； （2）在（1）的条件下，⊙M 的半径r ＝ 4，判断⊙M 与直线y=❑ √3 x+9的位置关系，若相交，设其弦长 为，求的值；若不相交，说明理由． 【答】（1）3；（2）直线与圆相交，n=2❑ √7 【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长． 【详解】解：（1）∵y＝❑ √3x＋9 可变形为❑ √3x－y＋9＝0，则其中＝❑ √3，B＝－1，＝9， 由公式可得d=|❑ √3×0−3+9| ❑ √(❑ √3) 2+(−1) 2 =3 ∴点M 到直线y＝❑ √3x＋9 的距离为3， （2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4， ∵d＜r ∴直线与圆相交， 则弦长n=2× ❑ √4 2−3 2=2❑ √7， 【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运 用圆的相关性质进行推理和计算． 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 【例4】（2023·重庆开州·统考一模）如图，是⊙О 的一条半径，点P 是延长线上一点，过点P 作⊙的切线 PB，点B 为切点． 若P=1，PB=2，则半径的长为（ ） ．4 3 B．3 2 ．8 5 D．3 【答】B 【分析】由题意得， △PBO是直角三角形，设=x，则B=x，在Rt △PBO中，PO=x+1，根据勾股定理 得，x 2+2 2=( x+1) 2，解得x=3 2，即可得． 【详解】解：由题意得，PA=1，PB=2，∠PBO=90°， ∴△PBO是直角三角形， 设=x，则B=x， 在Rt △PBO中，PO=x+1，根据勾股定理得， x 2+2 2=( x+1) 2 x 2+4=x 2+2 x+1 解得x=3 2， 则半径的长为3 2， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，以点A (4,3)为圆心、以R 为半径作圆 与x 轴相交，且原点在圆的外部，那么半径R 的取值范围是（ ） ．0<R<5 B．3<R<4 ．3<R<5 D．4<R<5 【答】 【分析】分别根据原点在圆的外部，圆与x 轴相交，可得半径R 的取值范围． 【详解】解：∵A (4,3)， ∴OA= ❑ √3 2+4 2=5， ∵原点在圆的外部， ∴R<OA，即R<5， ∵圆与x 轴相交， ∴R>3， ∴3<R<5， 故选． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与 圆的位置关系是解此题的关键． 【变式4-2】（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=13， sin A= 5 13， 以点为圆心，R 为半径作圆，使、B 两点一点在圆内，一点在圆外，那么R 的取值范围是 ． 【答】5<R<12/12>R>5 【分析】求出线段AC、BC，再根据点与圆得位置关系判断即可． 【详解】解： 在 ∵ Rt △ABC中，∠C=90°，AB=13， sin A= 5 13， ∴BC=AB×sin A=13× 5 13=5， ∴AC= ❑ √A B 2−BC 2=12， ∵以点为圆心，R 为半径作圆，使、B 两点一点在圆内，一点在圆外， ∴5<R<12． 故答为：5<R<12． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出 BC=5，AC=12． 【变式4-3】（2020·河北石家庄·石家庄市第五十中学校考模拟预测）在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝ 4．点为边B 上一点（不与重合）⊙是以点为圆心，为半径的圆．当⊙与三角形边的交点个数为3 时，则 的范围（ ） ．0＜≤15 8 或25≤＜5 B．0＜¿ 15 8 或＝25 ．＝25 D．＝25 或15 8 【答】B 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后即可得到的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：如右图所示， 当圆心从1到3的过程中，⊙与三角形边的交点个数为3，当恰好到达3时则变为4 个交点， 作3D B ⊥ 于点D， 则∠3BD＝∠B， ∵在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4， B ∴＝5， 设3＝，则3B＝5﹣ ， ∴a 5−a=3 5 ，得a=15 8 ， ∴当0<OA< 15 8 时，⊙与三角形边的交点个数为3， 当点为B 的中点时，⊙与三角形边的交点个数为3，此时＝25， 由上可得， 0<OA< 15 8 或＝25 时，⊙与三角形边的交点个数为3， 故选：B． 【