专题1.8 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】（解析版）

专题18 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】 【人版】 【题型1 数轴上点的平移】.....................................................................................................................................1 【题型2 数轴上点表示的数】.................................................................................................................................4 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】.........................................................................................................6 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】.........................................................................................................9 【题型6 数轴与方程思想的运算】.......................................................................................................................18 【题型7 数轴上的动点定值问题】.......................................................................................................................20 【题型8 数轴上的折叠问题】...............................................................................................................................25 【题型9 数轴上点的规律问题】...........................................................................................................................29 【题型1 数轴上点的平移】 【例1】（2022•惠安县校级月考）在数轴上有三个点、B、，如图所示． （1）将点B 向左平移4 个单位，此时该点表示的数是 ﹣ 3 ； （2）将点向左平移3 个单位得到数m，再向右平移2 个单位得到数，则m，分别是多少？ （3）怎样移动、B、中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？ 【分析】（1）B 点表示的数是1，再向左移动4 个单位可得到表示的数是﹣3； （2）点表示的数是3，向左移动3 个单位得到数m＝3 3 ﹣，再向右移2 个单位得到数＝ 0+2； （3）移动方法有3 种，①把、B 两点移到点处；②把、两点移到B 点处；③把、B 两点 移到点处． 【解答】解：（1）点B 表示的数是1，向左平移4 个单位是1 4 ﹣＝﹣3，即该点表示的 数是﹣3； （2）点表示的数是3，所以m＝3 3 ﹣＝0，＝0+2＝2； （3）有三种方法：①是不动，将点向右平移5 个单位，将B 向右平移2 个单位； ②是B 不动，将向右平移3 个单位，将向左平移2 个单位； ③是不动，将B 向左平移3 个单位，将向左平移5 个单位． 故答为：﹣3 【变式1-1】（2022•沂水县一模）在数轴上，点，B 在原点的两侧，分别表示数，1，将点 1 向右平移2 个单位长度，得到点（点不与点B 重合），若＝B，则的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．﹣2 D．﹣3 【分析】根据＝B 且点不与点B 重合可得点表示的数为﹣1，据此可得＝﹣1 2 ﹣＝﹣3． 【解答】解：∵点在原点的左侧，且＝B， ∴点表示的数为﹣1， ∴＝﹣1 2 ﹣＝﹣3． 故选：D． 【变式1-2】（2022•乳山市期中）已知点，B 在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列 问题： （1）将点在数轴上向左平移1 3个单位长度后记为1，1表示的数是 ﹣ 2 1 3 ，将点B 在 数轴上向右平移1 个单位长度后记为B1，B1表示的数是 4 ； （2）在（1）的条件下，将点B1向 左 移动 1 2 3 个单位长度后记为B2，则B2表示 的数与1表示的数互为相反数； （3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5 个单位长度，则点B2表示的数是多少？ 【分析】（1）把点表示的数减1 3得到1表示的数，把点B 表示的数加上1 得到B1表示的 数； （2）若B2表示的数与1表示的数互为相反数，则B2表示的数为21 3，然后确定平移的方 法与距离； （3）讨论：若将原点在数轴上向右移动5 个单位长度，相当于把点B2向左平移5 个单 位，从而得到B2表示的数；若将原点在数轴上向左移动5 个单位长度，相当于把点B2 向右平移5 个单位，从而得到B2表示的数． 【解答】解：（1）1表示的数为﹣2−1 3 =−¿21 3；B1表示的数是4； （2）在（1）的条件下，将点B1向左移动12 3个单位长度后记为B2，则B2表示的数与1 表示的数互为相反数； （3）在（2）的条件下，若将原点在数轴上向右移动5 个单位长度，则点B2表示的数是 ﹣22 3；若将原点在数轴上向左移动5 个单位长度，则点B2表示的数是71 3； 故答为﹣21 3；4；左，12 3． 【变式1-3】（2022•工业区期末）【理解概念】 1 对数轴上的点P 按照如下方式进行操作：先把点P 表示的数乘以2，再把表示得到的这 个数的点沿数轴向右平移3 个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P 的“倍移”， 数轴上的点、B、、D、E、F 经过“倍移”后，得到的点分别为′、B′、′、D′、E′、F′． 【巩固新知】 （1）若点表示的数为﹣1，则点′表示的数为 1 ． （2）若点B′表示的数为9，则点B 表示的数为 3 ． 【应用拓展】 （3）若点表示的数为5，且D′＝3D，求点D 表示的数； （4）已知点E 在点F 的左侧，将点E′、F′再次进行“倍移”后，得到的点分别为E″、 F″，若E″F″＝2020，求EF 的长． 【分析】（1）由﹣1×2+3＝1，即可得出对应点'表示的数为1； （2）设点B 表示的数为x，2x+3＝9，即可得出结论； （3）设点D 表示的数为d，则D′表示的数为 2d+3，由|2d+3 5| ﹣＝3|d 5| ﹣，即可得出结 论17 5 ； （4）设点E 表示的数为e，点F 表示的数为f，则e＜f，则点E′表示的数为2e+3，点F′ 表示的数为2f+3，进而可表达E′′和F′′，再根据条件列等式求解． 【解答】解：（1）∵点表示的数为﹣1， 1×2+3 ∴﹣ ＝1， ∴点'表示的数为1， 故答为：1． （2）设点B 表示的数为x， ∵点B'表示的数是9， 2 ∴x+3＝9， 解得：x＝3， 故答为：3． （3）设点D 表示的数为d，D′表示的数为 2d+3， ∵D′＝3D， |2 ∴d+3 5| ﹣＝3|d 5| ﹣， 解得：d＝13 或d¿ 17 5 ． ∴点D 表示的数为13 或17 5 ． （4）设点E 表示的数为e，点F 表示的数为f，则e＜f， 1 ∴EF＝f﹣e， ∴点E′表示的数为2e+3，点F′表示的数为2f+3， ∴点E′′表示的数为2（2e+3）+3＝4e+9，点F′′表示的数为2（2f+3）+3＝4f+9， ∴E′′F′′＝4f+9﹣（4e+9）＝4（f﹣e）＝2020， ∴f﹣e＝505， 即EF 的长为505． 【题型2 数轴上点表示的数】 【例2】（2022 秋•三元区期中）如图，半径为1 个单位的圆片上有一点Q 与数轴上的原点 重合（提示：圆的周长＝2πr，本题中π 的取值为314） （1）把圆片沿数轴向右滚动1 周，点Q 到达数轴上点的位置，点表示的数是 628 ； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数， 依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2 ①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？ 【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离； （2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q 点移动距离变化； ②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q 表示的数即可． 【解答】解：（1）∵2πr＝2×314×1＝628， ∴点表示的数是628， 故答为：628； （2）①∵+2 1 5+4 ﹣﹣ ＝0， ∴第4 次滚动后，Q 点距离原点最近； ∵（+2）+（﹣1）+（﹣5）＝﹣4， ∴第3 次滚动后，Q 点距离原点最远； |+2|+| 1|+| 5|+|+4|+|+3|+| 2| ②∵ ﹣ ﹣ ﹣＝17， 17×2π×1 ∴ ＝10676， ∴当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有10676， 2 1 5+4+3 2 ∵﹣﹣ ﹣＝1， 1×2π×1≈628 ∴ ， 1 ∴此时点Q 所表示的数是628． 【变式2-1】（2022 秋•德惠市校级月考）东方红中学位于东西方向的一条路上，一天我们 学校的李老师出校门去家访，他先向西走100 米到聪聪家，再向东走150 米到青青家， 再向西走200 米到刚刚家，请问： （1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数 轴上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50 米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？ （3）聪聪家向西20 米所表示的数是多少？ （4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？ 【分析】画数轴要注意正方向，原点和单位长度；数轴上两点间的距离公式是|﹣b|＝|﹣ 100+150|＝50；聪聪家向西20 米所表示的数是﹣120；求数轴上两点间的距离可用右边 的点表示的数减去左边的点表示的数． 【解答】解：（1）依题意可知图为： （2）∵| 100 ﹣ ﹣（﹣150）|＝50（m）， ∴聪聪家与刚刚家相距50 米． （3）聪聪家向西20 米所表示的数是﹣100 20 ﹣ ＝﹣120． （4）求数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【变式2-2】（2022 春•海淀区校级月考）直径为1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动 一周，圆上的一点由原点到达'点，点'对应的数是（ ） ．3 B．31 ．π D．32 【分析】计算出圆的周长即可知道点′所表示的数，而圆的周长＝π×直径． 【解答】解：圆的周长＝π×1＝π， 所以′对应的数是π， 故选：． 【变式2-3】（2022•南安市模拟）如图，数轴上点D 对应的数为d，则数轴上与数﹣3d 对 1 应的点可能是（ ） ．点 B．点B ．点D D．点E 【分析】根据1 2 ＜d＜1，得到﹣3＜﹣3d＜−3 2，对照数轴即可得出答． 【解答】解：∵1 2 ＜d＜1， 3 ∴﹣＜﹣3d＜−3 2， 故选：B． 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】 【例3】（2022 秋•岳池县期中）有理数、b、在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下 列四个结论：①（+b）（b+）（+）＞0；②b＜b2＜1 b ；③||＜1﹣b；④|﹣b| | |+| ﹣﹣ b | ﹣ || ﹣＝．其中正确的结论有（ ）个． ．4 B．3 ．2 D．1 【分析】根据数轴上各数的位置得出＜﹣1＜0＜b＜＜1，依此即可得出结论． 【解答】解：由数轴上、b、的位置关系可知： ①＜0＜b＜， + ∵b＜0，b+＞0，+＜0， ∴（+b）（b+）（+）＞0，故①正确； 0 ②∵＜b＜1， ∴b2＜b，b＜1 b ， ∴b2＜b＜1 b，故②错误； || ③∵＞1，1﹣b＜1， || ∴＞1﹣b；故③错误； ∵＜b，＞，＞b，＜0， ∴﹣b＜0，﹣＞0，b﹣＜0， | ∴﹣b| | |+| ﹣﹣ b | || ﹣﹣＝b﹣﹣（﹣）+（﹣b）﹣（﹣）＝b ++ ﹣﹣ ﹣b+＝．故④正确． 故正确的结论有①④，一共2 个． 1 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•新郑市期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在 同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是（ ） ．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 ．小刚所在的位置对应的数有可能是−5 3 D．小刚在小颖的南边 【分析】根据数轴上四人的位置判断即可． 【解答】解：、数轴以小明所在的位置为原点，说法正确，不符合题意； B、数轴采用向北为正方向，说法正确，不符合题意； 、小刚所在的位置的数可能为﹣24，说法不正确，符合题意； D、小刚在小颖的南边，说法正确，不符合题意． 故选：． 【变式3-2】（2022 秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点，M，B 分别表示数，+b，b，那 么原点的位置可能是（ ） ．线段M 上，且靠近点 B．线段B 上，且靠近点B ．线段BM 上，且靠近点B D．线段BM 上，且靠近点M 【分析】由点，B，M 的位置可知，和b 的符号相反，则＜0＜b，且||＜|b|，结合数轴的 定义，可知原点一定在B 上，且靠近点． 【解答】解：由点，B，M 的位置可知，＜0＜b，且BM＜M， ∴b﹣（+b）＜（+b）﹣，即﹣＜b， || ∴＜|b|， + ∴b＞0， ∴原点一定在M 上，且靠近点． 故选：． 【变式3-3】（2022 秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M，表示的数分别是m，，点 M 在表示0，1 的两点（不包括这两点）之间移动，点在表示﹣1，﹣2 的两点（不包括 这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ） 1 ．m2 2 ﹣的值一定小于0 B．|3m+|的值一定小于2 ． 1 m−n的值可能比2000 大 D．1 m + 1 n的值不可能比2000 大 【分析】根据m、的取值范围，这个选项进行判断即可． 【解答】解：由题意得，0＜m＜1，﹣2＜＜﹣1， ∴m2＞0，﹣2＞0， ∴m2 2 ﹣＞0，因此选项不符合题意； 0 ∵＜m＜1，﹣2＜＜﹣1， 2 ∴﹣＜m+＜0，0＜2m＜2， 2 ∴﹣＜3m+＜2，因此选项B 符合题意； m﹣＝m+（﹣）＞1，∴ 1 m−n ＜1，因此选项不符合题意； 1 m的值无穷大，而﹣1＜1 n ＜−1 2，因此1 m + 1 n可能大于2000，因此选项D 不符合题意， 故选：B． 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】 【例4】（2022 秋•盱眙县期中）已知数轴上两点、B，其中表示的数为﹣2，B 表示的数为 2，若在数轴上存在一点，使得+B＝，则称点叫做点、B 的“节点”，例如图1 所示， 若点表示的数为0，有+B＝2+2＝4，则称点为点、B 的“4 节点”． 请根据上述规定回答下列问题： （1）若点为点、B 的“节点”，且点在数轴上表示的数为﹣3，则＝ 6 ． （2）若点D 是数轴上点、B 的“5 节点”，请你直接写出点D 表示的数为 ﹣ 25 或 25 ； （3）若点E 在数轴上（不与、B 重合），满足B、E 之间的距离是、E 之间距离的一半， 且此时点E 为点、B 的“节点”，求出的值． 1 【分析】（1）根据“节点”的概念解答； （2）设点D 表示的数为x，根据“5 节点”的定义列出方程分情况，并解答； （3）需要分类讨论：①当点E 在B 延长线上时，②当点E 在线段B 上时，③当点E 在 B 延长线上时，根据BE¿ 1 2E，先求点E 表示的数，再根据+B＝，列方程可得结论． 【解答】解：（1）∵表示的数为﹣2，B 表示的数为2，点在数轴上表示的数为﹣3， ∴＝1，B＝5， ∴＝+B＝1+5＝6． 故答为：6． （2）如图所示： ∵点D 是数轴上点、B 的“5 节点”， ∴D+BD＝5， ∵B＝4， ∴D 在点的左侧或在点的右侧， 设点D 表示的数为x，则D+BD＝5， 2 ∴﹣﹣x+2﹣x＝5 或x 2+ ﹣ x﹣（﹣2）＝5， x＝﹣25 或25， ∴点D 表示的数为25 或﹣25； 故答为：﹣25 或25； （3）分三种情况： ①当点E 在B 延长线上时， ∵不能满足BE¿ 1 2E， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当点E 在线段B 上时，可以满足BE¿ 1 2E，如下图， ＝E+BE＝B＝4； ③当点E 在B 延长线上时， 1 ∵BE¿ 1 2E， ∴BE＝B＝4， ∴点E 表示的数为6， ∴＝E+BE＝8+4＝12， 综上所述：＝4 或＝12． 【变式4-1】（2022 秋•江夏区校级月考）在数轴上，点代表的数是﹣12，点B 代表的数是 2，B 代表点与点B 之间的距离． （1）①B＝ 14 ； ②若点P 为数轴上点与B 之间的一个点，且P＝6，则BP＝ 8 ； ③若点P 为数轴上一点，且BP＝2，则P＝ 12 或 16 ． （2）若点为数轴上一点，且点到点点的距离与点到点B 的距离的和是35，求点表示的 数． （3）若P 从点出发，Q 从原点出发，M 从点B 出发，且P、Q、M 同时向数轴负方向运 动，P 点的运动速度是每秒6 个单位长度，Q 点的运动速度是每秒8 个单位长度，M 点 的运动速度是每秒2 个单位长度，当P、Q、M 同时向数轴负方向运动过程中，当其中 一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．（1）①根据距离定义可直接求得答 14．②根据题目要求，P 在数轴上点与B 之间，所以根据BP＝B﹣P 进行求解．③需要 考虑两种情况，即P 在数轴上点与B 之间时和当P 不在数轴上点与B 之间时．当P 在数 轴上点与B 之间时，P＝B﹣BP．当P 不在数轴上点与B 之间时，此时有两种情况，一 种是超越点，在点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P 在B 点右侧， 此时根据P＝B+BP 作答．（2）根据前面分析，不可能在B 之间，所以，要么在左侧， 要么在B 右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．（3）因为M 点的速度为每秒2 个 单位长度，远小于P、Q 的速度，因此M 点