专题04 有理数混合运算的四种考法（解析版）

专题04 有理数混合运算的四种考法 类型一、含乘方与绝对值的混合运算 例1． 【答】 【分析】先计算乘方，再进行加减运算． 【详解】解： 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算． 例2．计算： ． 【答】 【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式训练1】计算： 【答】 【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关 键． 【变式训练2】计算： 【答】 【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减，按这个运算顺序计算即可 【详解】解： 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则 是解题的关键 【变式训练3】计算： ． 【答】 【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【变式训练4】计算： 【答】 【分析】先根据平方运算、绝对值运算、 计算，再由有理数加减运算法则求解即可得 到答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、 计算，熟练掌 握相关运算法则是解决问题的关键． 类型二、简便运算问题 例1．用简便算法计算： (1) (2) 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）将 改写为 ，再用乘法分配律进行计算即可； （2）将 改写为 ，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺 序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用． 例2 计算： 【答】15 【分析】根据有理数的混合运算法则，通过有理数的简便计算即可求出答 【详解】解：原式 故答为：15 【点睛】本题考查了用有理数的乘法分配律的简便运算解出答是否能熟练掌握分配律的简 便计算是解这题的技巧 【变式训练1】用简便方法计算下列各题： (1) ． (2) ． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）根据题意 ，再根据乘法分配律 即可解答； （2）先将 ，再利用乘法分配律即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律，熟记有理数乘法的分 配律是解题的关键． 【变式训练2】计算： 【答】26 【分析】先将除法转换成乘法，然后根据利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键． 【变式训练3】简便计算 (1) (2) (3) (4) 【答】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混 合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号， 先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改 变运算的顺序． 类型三、实际应用 例．2019 年国庆，全国从1 日到7 日放假七天，各地景区游人如织，其中大同云冈石窟景 区，在9 月30 日的游客人数为09 万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表 （正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10 月1 日 10 月2 日 10 月3 日 10 月4 日 10 月5 日 10 月6 日 10 月7 日 人数变化（万 人） （1）10 月3 日的人数为__________万人． （2）七天假期里，游客人数最多的是哪天，多少万人？ （3）请问大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了多少游客？ 【答】（1）52；（2）人数最多的是10 月2 日，达到578 万人；（3）2523 万人 【分析】（1）将09 加上10 月1，2，3 的变化量可求解； （2）分别计算每天的游客数量即可求解； （3）将每天的变化量的绝对值相加可求解总游客数． 【详解】解：（1）09+31+178-058=52（万人）， 故10 月3 日的人数为52 万人； 故答为52； （2）10 月1 日游客人数为：09+31=4（万人）； 10 月2 日游客人数为：4+178=578（万人）； 10 月3 日游客人数为：578-058=52（万人）； 10 月4 日游客人数为：52-08=44（万人）； 10 月5 日游客人数为：44-1=34（万人）； 10 月6 日游客人数为：34-16=18（万人）； 10 月7 日游客人数为：18-115=065（万人）； 故七天假期里，游客人数最多的是10 月2 日，达到578 万人； （3）4+578+52+44+34+18+065=2523（万人）， 答：大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了2523 万游客． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法混合运算，读懂题意是解题的关键． 【变式训练1】小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具 个， 平均每天生产 个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明 妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 （1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个． （2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则 超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣 元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少 元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他 条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答】（1） ； ；（2） 元；（3）每日计件工资更多，理由见解析． 【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天 增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量． （２）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实 际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额． （3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计 件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得——每日计件工资更多． 【详解】（1） 小明妈妈星期三生产玩具 个， （个）， 故本周实际生产玩具 个， 故答为： ， ． （2） （元） 答：小明妈妈这一周的工资总额是 元 （3） 元， 每周计件一周得 元， 因为 ，所以每日计件工资更多． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用．其关键是审清题意，弄准确其中正负 数及0 的含义，才能列出正确算式． 【变式训练2】杭州市出租车的收费标准如下：3 千米以内（含3 千米）收费11 元，超过3 千米的部分每千米收费2 元．超过起步里程10 千米以上的部分加收50%，即每千米3 元 （不足1 千米以1 千米计算）． （1）小明有一次乘坐出租车行驶41 千米，他应付车费多少元？ （2）若小明乘坐出租车行驶149 千米，他应付车费多少元？ （3）小明家距离学校131 千米，他带了31 元钱，则他从学校坐出租车到家，钱够吗？如 果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米的路？ 【答】（1）15；（2）37；（3）小明带的钱不够乘坐131 千米，他至少先走01 千米再乘 坐出租车． 【分析】（1） 由题意可知: 3<41<10，所以车费=3 千米以内的收费+超过3 千米的部分×2； （2）由于149>13，所以应付车费由三部分组成，即3 千米以内的收费十超过起步里程的 部分10 千米×2 +超过起步里程13 千米的里程数×3； (3) 车费=基础车费+超过起步里程10 千米的车费+超过13 千米的车费，再比较应付车费和 他所带的钱数． 【详解】解：(1) 不足1 千米以1 千米计算，41≈5，又3 千米以内(含3 千米) 收费11 元，超 过3 千米的部分每千米收费2 元， 故车费为：11+ (5-3) ×2=15(元)， ∴小明乘坐出租车行驶41 千米应付车费15 元； (2)不足1 千米以1 千米计算，149≈15， 又3 千米以内(含3 千米)收费11 元，超过3 千米的部分每千米收费2 元，超过起步里程10 千米以上的部分加收50%，即每千米3 元， 故车费为：11+10×2+ (15-13) ×3=37 (元)， ∴小明乘坐出租车行驶149 千米应付车费37 元； (3)∵不足1 千米以1 千米计算，131 千米≈14 千米， ∴小明应付的车费是: 11+10×2+3 (14-13) ×3= 34 元， ∵小明带了31 元钱，应付34 元，34＞31， ∴小明带的钱不够， 11+10×2=31 ∵ ， ∴小明可以乘坐13 千米的车，131-13=01(千米)， 答：小明带的钱不够乘坐131 千米，他至少先走01 千米再乘坐出租车． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，在计算时一定要弄清题意，特别是“不足1 千米以 1 千米计算”这句话． 类型三四、24 点 例．小明有5 张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少? 答：我抽取的2 张卡片是 、 ，乘积的最小值为 ． （2）从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最大，如何抽取？最大值是多少? 答：我抽取的2 张卡片是 、 ，商的最大值为 ． （3）从中取出4 张卡片，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算使其 结果等于24，如何抽取？写出运算式子（写出一种即可）． 答：我抽取的4 张卡片是 、 、 、 ， 算24 的式子为 ． 【答】（1）-6、10、-60；（2）3、10、 ；（3）例如：选-6、0、3、4；算式是-6× （0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0 或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3 或4- 10×（-6）÷3 等等． 【详解】试题分析：（1）观察这五个数，要找乘积最小的就要找符号相反且数值最大的数， 所以选﹣6 和10； （2）2 张卡片上数字相除的商最大就要找符号相同，且分母越小越好，分子越大越好，所 以就要选10 和3，且3 为分母； （3）从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只 要答数是24 即可，选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0 或 选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3 或4-10×（-6）÷3 等等． 试题解析：（1）﹣6×10=－60；我抽取的2 张卡片是）-6、10，乘积的最大值为－60； （2）10÷3= ；我抽取的2 张卡片是3、10，商的最大值为 ； （3）方法不唯一，如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0 或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3 或4-10×（-6）÷3 等等． 考点：1．有理数的混合运算；2．图表型． 【变式训练1】如图所示，小明有标注①~⑤号的5 张写着不同有理数的卡片，请你按要 求选出卡片，完成下列各题． （1）从中选出1 张卡片，且这张卡片的有理数在全部有理数大小排列里居中，应选取____ ______号卡片，这张卡片上的有理数是_________； （2）从中选出2 张卡片，且这2 张卡片的有理数差最大，应选取_________号卡片，差的 最大值是_________； （3）从中选出3 张卡片，且这3 张卡片的有理数积最小，应选取_________号卡片，积的 最小值是_________； （4）从中选出4 张卡片，且将这4 张卡片的有理数运用加、减、乘和除四则运算及括号列 出一个算式，使得该算式的计算结果为24，请你写出算式（只需写出1 种即可）． 【答】（1）②， ；（2）④⑤，14；（3）①④⑤， ；（4） 或 等． 【分析】（1）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题； （2）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题； （3）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题； （4）根据题意可以写出相应的算式，本题答不唯一，主要符合题意即可 【详解】（1）因为-1 在全部有理数大小排列里居中，所以选②卡片， 故答为：②，-1； (2)由已知可得， 当选取卡片6 和−8 时，差值最大，差的最大值是6−(−8)=14； 故答为：④⑤，最大值是14 (3)由已知可得， 当选取卡片3、6 和−8 时，乘积最小，积的最小值是：(−8)×6×3=−144； 故答为：①④⑤，最小值是 (4) [−1−(6÷3)]×(−8)=(−1−2)×(−8)=(−3)×(−8)=24 ∵ ， ∴算式[−1−(6÷3)]×(−8)的计算结果为24（答不唯一） 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注 意第（4）问答不唯一 【变式训练2】小强有5 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ (3)从中取出2 张卡片，利用这2 张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽 取？最大的数是多少？ (4)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种 即可）． 【答】(1)抽取 与 ，积为24 (2)抽取 与，商为 (3)抽取 与 ，进行乘方运算得到最大为 (4) （答不唯一） 【分析】（1）要使2 张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张， 据此可求解； （2）要使2 张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值 最小，据此可求解 （3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取 与4，据此可求解； （4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可． 【详解】（1）抽取 与 ，则其乘积为： ； （2）抽取 与，则其商为： ； （3）抽取 与 ，则有： ； （4） ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 课后训练 1．计算： ． 【答】 【分析】根据有理数的四则混合运算的法则先计算括号里面的，再计算除法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意不要将乘法分配律运用到除法运算中， 除法没有分配律，正确运用有理数的运算法则是解答本题的关键． 2．计算下面各题，能简便运算的要用简便方法算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答】(1) (2)88 (3)249 【分析】（1）先计算乘法再计算除法即可；（2）提公因数即可；（3）改变计算顺序，结 合乘法结合律即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算．观察式子形式，合理使用运算法则是解题的关键． 3．计算（能简算的要简算） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答】（1）－3；（2） ；（3） ；（4）－1；（5）2；（6） 【分析】（1）根据加法结合律直接求解即可； （2）根据有理数的加法交换律及结合律进行运算即可； （3）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可； （4）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可； （5）根据乘法交换律及结合律进行运算即可； （6）先对带分数进行拆解，然后根据有理数的乘法分配律进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握利用运算律进行有理数的简便运算是 解题的关键． 4．计算： ． 【答】 【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 5．计算： ． 【答】1 【分析】先计算绝对值，乘方运算和小括号里面的，再进行乘除运算，最后再加减即可 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则且准确的计算 是解题的关键 6．出租车司机李师傅从上午 在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载 十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米） （1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少 千米？ （2）上午 李师傅开车的平均速度是多少？ （3）若出租车的收费标准为：起步价8 元（不超过3 千米），超过3 千米，超过部分每千 米2 元．则李师傅在上午 一共收入多少元？ 【答】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6 千米；（2）432 千米/小时；（3） 128 元 【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断； （2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得 出答； （3）分别计算起步价，及超过3 公里的收入，然后相加即可． 【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”， 则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为： （+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米）， 所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6 千米； （2）上午8：00～9：15 李师傅开车的距离是： |+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米）， 上午8：00～9：15 李师傅开车的时间是：1 小时15 分=125 小时； 所以，上午8：00～9：15 李师傅开车的平均速度是：54÷125=432（千米/小时）； （3）一共有10 位乘客，则起步费为：8×10=80（元）． 超过3 千米的收费总额为： [（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4- 3）]×2=48（元）． 则李师傅在上午8：00～9：15 一共收入：80+48=128（元）． 【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，