专题1.9 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】（原卷版）

专题19 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】 【人版】 【题型1 利用绝对值性质化简或求值】................................................................................................................. 1 【题型2 根据绝对值的非负性求值】.....................................................................................................................1 【题型3 根据绝对值的定义判断正误】................................................................................................................. 2 【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】.............................................................................................................2 【题型5 绝对值中的分类讨论之 a ¿a∨¿¿类型问题】...........................................................................................3 【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】.................................................................................................. 3 【题型7 绝对值中的最值问题】.............................................................................................................................4 【题型1 利用绝对值性质化简或求值】 【例1】（2022•博湖县校级期中）已知实数，b 满足||＝b，|b|+b＝0，化简||+| 2 ﹣b| |3 ﹣b﹣ 2|． 【变式1-1】如图表示在数轴上四个点p，q，r，s 位置关系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q ﹣s|＝9，则|q﹣r|＝ ． 【变式1-2】已知，b，，d 满足＜﹣1＜b＜0＜＜1＜d，且|+1|＝|b+1|，|1 | ﹣＝|1﹣d|，那么 +b++d＝ ． 【变式1-3】化简： （1）|2x 1| ﹣；（2）|x 1|+| ﹣ x 3| ﹣；（3）||x 1| 2|+| ﹣﹣ x+1|． 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【例2】（2022 春•诸暨市月考）已知| 3|+|2 ﹣ b 8|+| 2| ﹣ ﹣＝0，求+3b﹣的值． 【变式2-1】（2022 秋•梅州校级月考）若|x 2|+| ﹣ y+3|＝0，计算： （1）x，y 的值． （2）求|x|+|y|的值． 【变式2-2】（2022 秋•南江县校级期中）已知|﹣x+7|与| 2 ﹣y 1| ﹣互为相反数，求2 y−2 7 x 的值． 【变式2-3】（2022•涞水县期末）已知x 为实数，且|3x 1|+|4 ﹣ x 1|+|5 ﹣ x 1|+…+|17 ﹣ x 1| ﹣的 值是一个确定的常数，则这个常数是（ ） ．5 B．10 ．15 D．75 1 【题型3 根据绝对值的定义判断正误】 【例3】（2022 春•肇源县期末）下面四个式子中，正确的是（ ） ．若≠b，那么2≠b2 B．若＞|b|，那么2＞b2 ．若||＞|b|，那么＞b D．若2＞b2那么＞b 【变式3-1】（2022 秋•全椒县期中）已知 a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿0，有以下结论： ①，b 一定互为相反数； ②b＜0； ③+b＜0； ④ ab ¿ab∨¿=−¿¿1 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 【变式3-2】（2022 秋•和平区期中）设y＝|x 1|+| ﹣ x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ） ．y 没有最小值 B．只有一个x 使y 取最小值 ．有限个x（不止一个）y 取最小值 D．有无穷多个x 使y 取最小值 【变式3-3】（2022 秋•青山区期中）若，b 为有理数，下列判断：（1）若||＝b，则一定有 ＝b；（2）若||＞|b|，则一定有＞b；（3）若||＞b，则一定有||＞|b|；（4）若||＝b，则一 定有2＝（﹣b）2．其中正确的是（ ） ．（1）（2） B．（2）（3） ．（3）（4） D．（4） 【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】 【例4】（2022 秋•海淀区校级期中）若不等式|x 2|+| ﹣ x+3|+|x 1|+| ﹣ x+1|≥对一切数x 都成立， 则的取值范围是 ． 【变式4-1】（2021 秋•长春期中）如果| 2| ﹣＝﹣2，则的取值范围是（ ） ．＞0 B．≥0 ．≤0 D．＜0 【变式4-2】（2022•吉首市校级月考）若m 是有理数，则|m|+m 的值（ ） ．不可能是正数 B．一定是正数 ．不可能是负数 D．可能是正数，也可能是负数 【变式4-3】（2022 秋•长沙校级期中）（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或＝连接） | 2|+|3| ①﹣ | 2+3| ﹣ ； | 2|+| 3| ②﹣ ﹣ | 2 3| ﹣﹣； | 2|+|0| ③﹣ | 2+0| ﹣ ； 1 （2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当、b 为有理数时，||+|b|与|+b|的 大小关系； （3）根据上述结论，求当|x|+2015＝|x 2015| ﹣ 时，x 的取值范围． 【题型5 绝对值中的分类讨论之 a ¿a∨¿¿类型问题】 【例5】（2022 秋•江阳区校级期中）有理数、b 在数轴上的对应点位置如图所示 （1）用“＜”连接0、﹣、﹣b、﹣1 （2）化简：|| 2|+ ﹣ b 1| ﹣−1 3 |b 1| ﹣﹣ （ 3 ） 若 • （ 2+1 ） ＜ 0 ， 且 +b ＞ 0 ， 求 ¿c+1∨¿ c+1 +¿c−1∨ ¿ c−1−¿a−b+c∨ ¿ a−b+c ¿¿¿的值． 【变式5-1】（2022 秋•顺平县期中）设、b、、d 为有理数，且¿abcd∨ ¿ abcd =1¿，则 ¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c +¿d∨¿ d ¿¿¿¿的值为 ． 【变式5-2 】（2022 秋• 鄂州校级月考）若0 ＜＜1 ，﹣2 ＜b ＜﹣1 ，则 ¿a−1∨ ¿ a−1−¿b+2∨¿ b+2 +¿a+b∨¿ a+b ¿¿¿的值是 ． 【变式5-3 】（2022 秋• 西城区校级期中）有理数，b ，均不为0 ，且+b+ ＝0 ．设 x=¿¿a∨¿ b+c +¿b∨¿ c+a +¿c∨¿ a+b∨¿¿¿¿，试求代数式x19+99x+2000 之值． 【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是、b，求这两点之间的距离； （2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x 3| ﹣＝x？ （3）是否存在整数x，使|x 4|+| ﹣ x 3|+| ﹣ x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x； 如果不存在，说明理由． 【变式6-1】（2022 春•宝山区校级月考）已知| 1|+| 4| ﹣ ﹣＝3，则的取值范围为 ． 【变式6-2】（2022 秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数、b、、d，若|﹣b| +|b | ﹣＝﹣，设d 在、之间，则|﹣d|+|d |+| ﹣ ﹣b| | | ﹣﹣＝（ ） ．d﹣b B．﹣b ．d﹣ D．d﹣ 【变式6-3】（2022 秋•顺平县期中）已知，b，，d 都是整数，且|+b|+|b+|+|+d|+|d+|＝2，则 |+d|＝ ． 【题型7 绝对值中的最值问题】 【例7】（2022 秋•鼓楼区校级月考）已知（|x+1|+|x 2| ﹣）（|y 2|+| ﹣ y+1|）（|z 3|+| ﹣ z+1|） 1 ＝36，求2016x+2017y+2018z 的最大值和最小值 【变式7-1】当|x 2|+| ﹣ x 3| ﹣的值最小时，|x 2|+| ﹣ x 3| | ﹣﹣x 1| ﹣的值最大是 ，最小是 ． 【变式7-2】（2022 秋•海安市月考）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道¿ x∨¿{ x( x＞0) 0( x=0) −x( x＜0) ，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式|x+1|+|x 2| ﹣时，可令x+1＝0 和x 2 ﹣＝0，分别求得x＝﹣1 和x＝2 （称﹣1，2 分别为|x+1|与|x 2| ﹣的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1 和x＝2 可 将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3 种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在 化简|x+1|+|x 2| ﹣时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1 时，原式＝﹣（x+1）﹣（x 2 ﹣） ＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2 时，原式＝（x+1）﹣（x 2 ﹣）＝3；③当x≥2 时，原式＝ （x+1）+（x 2 ﹣）＝2x 1 ﹣．通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x 3|+| ﹣ x+4|的零点值是 ； （2）化简代数式|x 3|+| ﹣ x+4|； （3）解方程|x 3|+| ﹣ x+4|＝9； （4）|x 3|+| ﹣ x+4|+|x 2|+| ﹣ x 2000| ﹣ 的最小值为 ，此时x 的取值范围为 ． 【变式7-3】（2022 秋•泉州期末）四个数分别是，b，，d，满足|﹣b|+|﹣d|¿ 1 n|﹣d|，（≥3 且为正整数，＜b＜＜d）． （1）若＝3． ①当d﹣＝6 时，求﹣b 的值； ②对于给定的有理数e（b＜e＜），满足|b﹣e|¿ 4 9 |﹣d|，请用含b，的代数式表示e； （2）若e¿ 1 2|b | ﹣，f¿ 1 2|﹣d|，且|e﹣f|＞1 10|﹣d|，试求的最大值． 1