专题02 数轴上动点问题的三种考法（解析版）

专题02 数轴上动点问题的三种考法 【知识点梳理】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后到 达点表示的数为－b 类型一、求值（速度、时间、距离） 例1．数轴上点表示的数为10，点M，分别以每秒个单位长度、每秒b 个单位长度的速度 沿数轴运动，，b 满足 ． (1)请直接写出 ______， ______； (2)如图1，点M 从出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点从原点出 发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P 为线段 的中点．若 ，求t 的值； (3)如图2，若点M 从原点向右运动，同时点从原点向左运动，运动时间为t．当以 M，，，为端点的所有线段的长度和为109 时，求出此时点M 对应的数． 【答】(1)5，6 (2) 或 (3)点M 对应的数为15 【分析】（1）根据非负数的性质解答； （2）分三种情况解答：①点 未到达 时 时）， ， ， ； ②点 到达 返回时当 时）， ， ；③点 到达 返回时，即 时，不成立； （3）根据两点间的距离公式列出方程并解答． 【详解】（1） ． ， ， 故答为：5，6． （2）①点 未到达 时 时）， ， ， ， 即 ，解得 ； ②点 到达 返回时 时）， ， ， 即 ，解得 ； ③当点 到达 返回，且到 右侧时，即 时，不成立； （3）①依题意，当M 在 之间时， ， 解得 ，不符合题意，舍去； ②当M 在右侧时， ， 解得 ，点M 对应的数为15 答：此时点M 对应的数为15． 【点睛】本题考查学生对数轴相关知识的掌握情况及利用一元一次解决实际问题的能力． 本题涉及数轴即路程为题，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路 程相等的几种情况． 例2．如图，点为数轴原点，点、B、都在数轴上， ．已知点表示的数为 ． (1)直接写出点B 表示的数； (2)一动点P 从点出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点Q 同时 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q 两点恰好在点 相遇，求点表示的数． (3)在（2）的条件下，当点P 分别到、B、三点的距离之和为68 个单位长度时，求点P 的 运动时间． 【答】(1)15；(2) ；(3) 秒 【分析】（1）根据 以及点表示的数可得 ，继而得解； （2）用路程和除以速度和可得运动时间，结合点表示的数和点P 的运动速度可得结果； （3）设点P 运动时间为t，分点P 在 之间，点P 在 之间和点P 在点B 右侧三种情况， 分别求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为 ， ， ∴ ， ∴点B 表示的数为15； （2） ， ∴相遇时运动了5 秒， ∴点表示的数为 ； （3）设点P 运动时间为t，当点P 在 之间时， ，解得： ，不符合； 当点P 在 之间时， ， ，解得： ，符合； 当点P 在点B 右侧时， ， ，解得： ，而 ，故不符合； 综上：点P 的运动时间为 秒． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了两点间的距离，一元一次方程，关键是注 意分情况进行讨论． 例3．如图1，点 在射线 上， ， ，点 从点 出发，沿 方向以 的速度向右匀速运动，点 从点 出发，在线段 上向左匀速运动，两点 同时出发． (1)若点 运动速度为 ，当点 和点 都运动到线段 上，且点 恰好为线段 的 中点时，求点 运动的时间； (2)如图2，若点 也为射线 上一点，且 ，当 时，点 运动到线段 上且恰好满足 ，求点 的运动速度． 【答】(1) (2) 或 【分析】（1）设运动时间为t 秒，表示出 和 ，根据 列出方程，解之即可； （2）设点 的运动速度为 ，运动时间为t 秒，分P 在线段 上和P 在射线 上 两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：设运动时间为t 秒， 由题意可得： ， ， 则 ， ， ∴ ，即 ， 解得： ， 即点 运动的时间为 ； （2）设点 的运动速度为 ，运动时间为t 秒， 当P 在线段 上时， ， 解得： ， ∵ ， ∴ ， 解得： ； 当P 在射线 上时， ，解得： ， ∵ ，∴ ，解得： ； 综上：点 的运动速度为 或 ． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解题的 关键是能用未知数表示出相应线段的长度． 例4．如图将一条数轴在原点 ，点 ，点 ，点 处各折一下，得到一条“折线数 轴”．图中点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，我 们称点 和点 在数轴上相距 个长度单位．动点 从点 出发，以 单位/秒的速度 沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出发，以 单位/秒的速度沿着 数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度 的两倍，平地则保持初始速度不变．当点 运动至点 时则两点停止运动，设运动的时 间为 秒．问： (1)动点 从点 运动至 点需要 秒，此时点 对应的点是 ． (2) ， 两点在点 处相遇，求出相遇点 所对应的数是多少？ (3)求当 为何值时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长度 相等． 【答】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，分成三部分进行求解即可； （2）先求出点 到达点 时， 的位置，再求出两者还需要经过多长时间相遇，以及这段 时间点 的的路程，即可得出结论； （3）分点 分别在 段时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点 上坡时速度为 单位/秒，下坡时速度为单位/秒， 点 上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为 单位/秒， ， ， ， ， ， ∴点 从点 运动至 点需要 （秒）； 点 从点 运动到点 需要 （秒），从点 运动到点 需要： （秒） ∴当点 从点 运动至 点时，点 运动到点 ； 故答为： ； （2）由（）可知， ， 两点在 处相遇时，点 在 段， 点 由 到 点用时为 秒， 点 从 到 用时为 秒， 从 又运动了： 秒， 当点 到达点 时，点 距离 点 单位长度， 再经过 秒， 相遇， 点经过的的路程为： 单位长度， 点 为 ，故点 对应数为 ． （3）当点 在 段时，点 在 段，此时 大于 ， 小于 ； 当点 在 段时，点 在 段， 若 ，则 ， ， ，解得： 秒； 当点 在 段时，点 在 段， ， ， ，解得： 秒； 当点 在 段或 段时， 大于 ， 小于 ． 综上所述，当 或 秒时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴 上相距的长度相等． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握时间等于路程除以速度，正确 的列出方程． 【变式训练1】已知多项式 的常数项是，次数是b，若、b 两数在数轴上所对 应的点为、B，点位于点B 的左边． (1)数轴上点表示的数为______，B 点表示的数为______． (2)数轴上在B 点右边有一点，点到、B 两点的距离和为13，求点在数轴上所对应的数． (3)若P、Q 两点分别从、B 出发，同时沿数轴正方向运动，为数轴原点，P 点的速度是Q 点速度的2 倍，且3 秒后， ，求点Q 运动的速度． 【答】(1) ，3；(2)6；(3) 或 【分析】（1）根据多项式的常数和次数，即可得出，b 的值，从而得到结果； （2）根据两点间的距离得到关于 的方程，从而可以得到点 在数轴上所对应的数； （3）设点Q 运动的速度为x，分别表示出点P 和点Q 对应的数，再列出绝对值方程，解之 即可． 【详解】（1）解： 的常数项是 ，次数是， ∴ ， ， ∴点表示的数为 ，B 点表示的数为3； （2）由题意可得： ， 解得： ， 即点在数轴上所对应的数为6； （3）设点Q 运动的速度为x，则P 点的速度为 ， 3 ∴秒后，点P 表示的数为 ，点Q 表示的数为 ， ∵ ， ∴ ， 解得： 或 ， 即点Q 运动的速度为 或 ． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、多项式，解答本题的关键是明确题意，求 出 、 的值，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 【变式训练2】 ， 分别是数轴上两个不同点， 所表示的有理数，且 ， ，， 两点在数轴上的位置始图所示： (1)直接写出数 ， 的值； (2)， 两点相距多少个单位长度？ (3)若 点在数轴上， 点到 点的距离是 点到点距离的 ，求 点考示的数； (4)点 从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2 个单位长度，再向左移动3 个 单位长度，再向右移动4 个单位长度，依次操作2022 次后，求 点表示的数． 【答】(1) ， (2) (3) 或 (4) 【分析】（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出 、 的符号即可得； （2）根据数轴上两点间的距离公式即可得 ； （3）设 点表示的数为 ，分以下两种情况：点 在 、 之间、点 在点 左侧，利用 两点间距离公式列方程求解； （4）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 或 ， 或 ， 由数轴可知， ， ， ； （2）解：表示 、 两点之间的距离为 ， （3）解：设 点表示的数为 ， 当点 在 、 之间时，根据题意有： ， 解得： 当点 在点 左侧时，根据题意有： ， 解得： （舍弃）； 当点 在点 的右侧时， ， 解得 ， 点表示的数为 或 ． （4）解：由题意得： ， 点表示的数是 ． 【点睛】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用 是解题的关键． 【变式训练3】已知数轴上的、B 两点分别对应的数字为、b，且、b 满足 ． (1)求、b 的值； (2)点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t 秒钟， P、、B 三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t 值； (3)数轴上还有一点对应的数为40，若点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度向点运动， 同时，点Q 从B 点出发，以每秒 个单位长度的速度向正方向运动，点P 运动到点后立即 返回再沿数轴向左运动．当 时，求点P 运动的时间． 【答】(1) ， (2)点 的运动时间为3 秒或12 秒 (3)当 时，点 运动的时间为： 秒或 秒或 秒或 秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据点P 运动时间设未知数列方程即可求解； （3）利用点P 和点Q 的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解． 【详解】（1） ， 又 ， ， ， ， ； （2）当点 是线段 的中点，即 ， 此时 点表示的数为： ， 点 的运动时间为： （秒）； 当点 是线段 的中点，即 ， 此时 ， ， ， 点 的运动时间为： （秒）， 综上，点 的运动时间为3 秒或12 秒； （3）设点 运动秒时， ，分四种情况讨论如下： ①点 、点 向右运动，点 在点 左侧时， ，解得： ； ②点 、点 向右运动，点 在点 右侧时， ，解得： ， 又点 到达点 的时间为： ， 符合题意； ③点 向左运动，点 在点 右侧时， ，解得： ， 又 ， 符合题意； ④点 向左运动，点 在点 左侧时， ，解得： ， ，符合题意； 综上所述，当 时，点 运动的时间为： 秒或 秒或 秒或 秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，解决本 题的关键是根据两点间的距离找等量关系． 【变式训练4】已知：b 是最小的正整数，且、b、满足 ，请回答问题． (1)请直接写出、b、的值． ______， ______， ______； (2)、b、所对应的点分别为、B、，点P 为一动点，其对应的数为x，点P 在0 到2 之间运 动时即（ 时），请化简式子： （请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1 个单位长度的速度 向左运动，同时，点B 和点分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度也向左运动， 运动时间为t，是否存在t，使、B、中一点是其它两点的中点，若存在，求t 的值，若不存 在，说明理由． 【答】(1) ，1，5 (2)见解析 (3)存在，t 的值是 或1 或 【分析】（1）根据b 是最小的正整数，以及偶次方和绝对值的非负性进行求解即可； （2）分 ， 两种情况进行讨论，化简即可； （3）分是 的中点，B 是 中点，是 中点三种情况，进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵b 是最小的正整数， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， 故答为： ，1，5； （2）当 时， ； 当 时， ； （3）存在t，使、B、中一点是其它两点的中点，理由如下： 根据题意，运动后表示的数是 ，B 表示的数是 ，表示的数是 ， ①是 的中点时， ，解得 ， ②B 是 中点时， ，解得 ， ③是 中点时， ，解得 ， 综上所述，t 的值是 或1 或 ． 【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的意义，以及数轴 上两点间的距离公式，是解题的关键． 类型二、定值问题 例．已知M，两点在数轴上所表示的数分别为m，，且m，满足： ． (1)求m、的值； (2)①情境：有一个玩具火车 如图1 所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动， 当点移动到点B 时，点B 所对应的数为m，当点B 移动到点时，点所对应的数为．则玩具 火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1 所示，当火车 匀速向右运动时，若火车完全经过点M 需要2 秒，则火 车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车 匀速向右运动，同时点P 和点Q 从、M 出发，分别以每秒 1 个单位长度和2 个单位长度的速度向左和向右运动，记火车 运动后对应的位置为 ． 是否存在常数k 使得 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k 和这个定值： 若不存在，请说明理由． 【答】(1)7， (2)①3 个单位长度；② 个单位长度/秒 (3)存在， ， 【分析】（1）根据 得 ，计算即可． （2）①设表示的数为 , B 表示的数为 ,小火车的长度为,根据题意 ， ， ，建立方程计算即可． ②根据①得 ，火车完全经过点M 需要2 秒，点运动路程为单位长度，利用速 度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t 秒，则点B 运动到点 的距离为 个单位长度，此时点 表示的数是 ，继而得到 ，根据题意，得到点 表示的数是 ，点表示的数是 ，继而表示 ，代入 化简， 令t 的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）①设表示的数为 , B 表示的数为 ，小火车的长度为, 根据题意，得 ， ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 即玩具火车长3 个单位长度， 故答为：3． ②根据①得 ，火车完全经过点M 需要2 秒， 故点运动路程为３单位长度， ∴玩具火车的速度为： （单位长度/秒） 故答为： ． （3）存在， ， 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t 秒，则点B 运动到点 的距离为 个单位长度，此时点 表示 的数是 ， ∴ ， 根据题意，得到点 表示的数是 ，点表示的数是 ， ∴ ， ∴ ， ∵常数k 使得 的值与它们的运动时间无关， ∴ ， 解得 ， 故 ， 故当 时，常数k 使得 的值与它们的运动时间无关，此时值为 ． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的 无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 【变式训练1】如图，数轴上有三个点 ， ， ，表示的数分别是 ， ，． (1)若使 、 两点的距离是 、 两点的距离的3 倍，则需将点 向右移动________个单 位： (2)点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时， 点 和点 分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒： ①点 、 、 表示的数分别是_______、_______、_______（用含 、的代数式表示）： ②若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，当 为何值时， 的值不会随着时间的变化而改变． 【答】(1)1 (2)① ， ， ；② 【分析】（1）由 ，结合数轴即可得出点 向左移动的距离； （2）①结合路程 时间速度写出答； ②先求出 的值，进一步根据题意即可求出结果． 【详解】（1）解：由数轴可知： 、 两点的距离为 ， 点、 点表示的数分别为： ， ， 所以当 、 两点的距离是 、 两点的距离的倍时， 即 、 两点的距离是 ， 则点 表示的数为 或 ， ∵ ， ∴需将点 向右移动 的单位； 故答是：1． （2）①∵点 以每秒 个单位的速度向左运动，点 与点 分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴点 表示的数是 ；点 表示的数是 ；点 所表示的数是 ． 故答是： ， ， ； ②∵点 与点 之间的距离表示为 ，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ； ∴ ； ∵点 与点 之间的距离表示为 ，点 表示的数是 ，点 所表示的数是 ； ∴ ； ∴ ， 故当 时， ，此时 的值不会随着时间的变化而改变． 故当 时， 的值不会随着时间的变化而改变． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，整式的加减运算等，解题 的关键是根据点的运动方向和速度求得动点表示的数． 【变式训练2】如图，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，且 (1)填空， _______________， _______________； (2)若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，已知点 为数 轴上一动点，且满足 ，求出点 表示的数； (3)若点 以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度向右 运动，动点 从原点开始以每秒 个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点 始终在 、 两点之间上，且 的值始终是一个定值，求 点运动的方向及 的 值， 【答】(1) ， (2) 或 (3)从原点向左运动， 的值为 【分析】（1）利用非负数的意义即可求得结论； （2）分两种情况讨论解答