专题1.8 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】（原卷版）

专题18 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】 【人版】 【题型1 数轴上点的平移】.....................................................................................................................................1 【题型2 数轴上点表示的数】.................................................................................................................................3 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】.........................................................................................................4 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】.........................................................................................................5 【题型6 数轴与方程思想的运算】.......................................................................................................................12 【题型7 数轴上的动点定值问题】.......................................................................................................................13 【题型8 数轴上的折叠问题】...............................................................................................................................17 【题型9 数轴上点的规律问题】...........................................................................................................................20 【题型1 数轴上点的平移】 【例1】（2022•惠安县校级月考）在数轴上有三个点、B、，如图所示． （1）将点B 向左平移4 个单位，此时该点表示的数是 ； （2）将点向左平移3 个单位得到数m，再向右平移2 个单位得到数，则m，分别是多少？ （3）怎样移动、B、中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？ 【变式1-1】（2022•沂水县一模）在数轴上，点，B 在原点的两侧，分别表示数，1，将点 向右平移2 个单位长度，得到点（点不与点B 重合），若＝B，则的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．﹣2 D．﹣3 【变式1-2】（2022•乳山市期中）已知点，B 在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列 问题： （1）将点在数轴上向左平移1 3个单位长度后记为1，1表示的数是 ，将点B 在数轴 上向右平移1 个单位长度后记为B1，B1表示的数是 ； （2）在（1）的条件下，将点B1向 移动 个单位长度后记为B2，则B2表示的数 与1表示的数互为相反数； （3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5 个单位长度，则点B2表示的数是多少？ 1 【变式1-3】（2022•工业区期末）【理解概念】 对数轴上的点P 按照如下方式进行操作：先把点P 表示的数乘以2，再把表示得到的这 个数的点沿数轴向右平移3 个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P 的“倍移”， 数轴上的点、B、、D、E、F 经过“倍移”后，得到的点分别为′、B′、′、D′、E′、F′． 【巩固新知】 （1）若点表示的数为﹣1，则点′表示的数为 ． （2）若点B′表示的数为9，则点B 表示的数为 ． 【应用拓展】 （3）若点表示的数为5，且D′＝3D，求点D 表示的数； （4）已知点E 在点F 的左侧，将点E′、F′再次进行“倍移”后，得到的点分别为E″、 F″，若E″F″＝2020，求EF 的长． 【题型2 数轴上点表示的数】 【例2】（2022 秋•三元区期中）如图，半径为1 个单位的圆片上有一点Q 与数轴上的原点 重合（提示：圆的周长＝2πr，本题中π 的取值为314） （1）把圆片沿数轴向右滚动1 周，点Q 到达数轴上点的位置，点表示的数是 ； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数， 依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2 ①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？ 1 【变式2-1】（2022 秋•德惠市校级月考）东方红中学位于东西方向的一条路上，一天我们 学校的李老师出校门去家访，他先向西走100 米到聪聪家，再向东走150 米到青青家， 再向西走200 米到刚刚家，请问： （1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数 轴上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50 米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？ （3）聪聪家向西20 米所表示的数是多少？ （4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？ 【变式2-2】（2022 春•海淀区校级月考）直径为1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动 一周，圆上的一点由原点到达'点，点'对应的数是（ ） ．3 B．31 ．π D．32 【变式2-3】（2022•南安市模拟）如图，数轴上点D 对应的数为d，则数轴上与数﹣3d 对 应的点可能是（ ） ．点 B．点B ．点D D．点E 1 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】 【例3】（2022 秋•岳池县期中）有理数、b、在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下 列四个结论：①（+b）（b+）（+）＞0；②b＜b2＜1 b ；③||＜1﹣b；④|﹣b| | |+| ﹣﹣ b | ﹣ || ﹣＝．其中正确的结论有（ ）个． ．4 B．3 ．2 D．1 【变式3-1】（2022 秋•新郑市期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在 同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是（ ） ．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 ．小刚所在的位置对应的数有可能是−5 3 D．小刚在小颖的南边 【变式3-2】（2022 秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点，M，B 分别表示数，+b，b，那 么原点的位置可能是（ ） ．线段M 上，且靠近点 B．线段B 上，且靠近点B ．线段BM 上，且靠近点B D．线段BM 上，且靠近点M 【变式3-3】（2022 秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M，表示的数分别是m，，点 M 在表示0，1 的两点（不包括这两点）之间移动，点在表示﹣1，﹣2 的两点（不包括 这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ） ．m2 2 ﹣的值一定小于0 B．|3m+|的值一定小于2 ． 1 m−n的值可能比2000 大 D．1 m + 1 n的值不可能比2000 大 1 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】 【例4】（2022 秋•盱眙县期中）已知数轴上两点、B，其中表示的数为﹣2，B 表示的数为 2，若在数轴上存在一点，使得+B＝，则称点叫做点、B 的“节点”，例如图1 所示， 若点表示的数为0，有+B＝2+2＝4，则称点为点、B 的“4 节点”． 请根据上述规定回答下列问题： （1）若点为点、B 的“节点”，且点在数轴上表示的数为﹣3，则＝ ． （2）若点D 是数轴上点、B 的“5 节点”，请你直接写出点D 表示的数为 ； （3）若点E 在数轴上（不与、B 重合），满足B、E 之间的距离是、E 之间距离的一半， 且此时点E 为点、B 的“节点”，求出的值． 【变式4-1】（2022 秋•江夏区校级月考）在数轴上，点代表的数是﹣12，点B 代表的数是 2，B 代表点与点B 之间的距离． （1）①B＝ ； ②若点P 为数轴上点与B 之间的一个点，且P＝6，则BP＝ ； ③若点P 为数轴上一点，且BP＝2，则P＝ ． （2）若点为数轴上一点，且点到点点的距离与点到点B 的距离的和是35，求点表示的 数． （3）若P 从点出发，Q 从原点出发，M 从点B 出发，且P、Q、M 同时向数轴负方向运 动，P 点的运动速度是每秒6 个单位长度，Q 点的运动速度是每秒8 个单位长度，M 点 的运动速度是每秒2 个单位长度，当P、Q、M 同时向数轴负方向运动过程中，当其中 一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 1 【变式4-2】（2022•长汀县期中）点、B、为数轴上三点，如果点在、B 之间且到的距离是 点到B 的距离3 倍，那么我们就称点是{，B}的奇点． 例如，如图1，点表示的数为﹣3，点B 表示的数为1．表示0 的点到点的距离是3，到 点B 的距离是1，那么点是{，B}的奇点；又如，表示﹣2 的点D 到点的距离是1，到点 B 的距离是3，那么点D 就不是{，B}的奇点，但点D 是{B，}的奇点． 如图2，M、为数轴上两点，点M 所表示的数为﹣3，点所表示的数为5． （1）数 所表示的点是{M，}的奇点；数 所表示的点是{，M}的奇点； （2）如图3，、B 为数轴上两点，点所表示的数为﹣50，点B 所表示的数为30．现有一 动点P 从点B 出发向左运动，到达点停止．P 点运动到数轴上的什么位置时，P、和B 中恰有一个点为其余两点的奇点？ 1 【变式4-3】（2022•湖里区校级期中）已知数轴上两点．B 对应的数分别为﹣2 和7，点M 为数轴上一动点． （1）请画出数轴，并在数轴上标出点、点B； （2）若点M 到的距离是点M 到B 的距离的两倍，我们就称点M 是【，B】的好点． ①若点M 运动到原点时，此时点M 【，B】的好点（填是或者不是） ②若点M 以每秒1 个单位的速度从原点开始运动，当M 是【B，】的好点时，求点M 的运动方向和运动时间 （3）试探究线段BM 和M 的差即BM﹣M 的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由： 若不变，请求其值． 1 【题型5 数轴上的行程问题】 【例5】（2022 秋•东阿县期末）如图，三点、B、P 在数轴上，点、B 在数轴上表示的数 分别是﹣4，12（B 两点间的距离用B 表示） （1）在B 之间且＝B，对应的数为 ； （2）在数轴上，且+B＝20，求对应的数； （3）P 从点出发以1 个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q 从B 点同时出发，以2 个单 位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q 相遇时求P 对应的数 ②P、Q 运动的同时M 以3 个单位长度/秒的速度从点向左运动．当遇到P 时，点M 立即 以同样的速度（3 个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P 与点Q 之间，求当点P 与 点Q 相遇时，点M 所经过的总路程是多少？ 1 【变式5-1】（2022 秋•市中区校级期中）如图，、B 分别为数轴上的两点，点对应的数为 ﹣20，B 点对应的数为100． （1）请写出与、B 两点距离相等的点M 所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电 子蚂蚁Q 恰好从点出发，以4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子 蚂蚁Q 恰好从点出发，以4 个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间 时，两只蚂蚁间的距离为20 个单位长度？ 【变式5-2】（2022•越秀区二模）甲、乙两个昆虫分别在数轴原点和+8 的处，分别以1 单 位长度/s，15 单位长度/s 速度同时相向而行． （1）第一次相遇在数轴上何处； （2）若同时沿数轴的负方向而行，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？ （3）在（1）的条件下，两个昆虫分别到达点和处后迅速返回第二次相遇于数轴何处？ 1 【变式5-3】（2022 春•南关区校级月考）一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数 形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，开始时所表示的数分别为 ﹣10，5，M，两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M 点的运动速度为2 个单位长 度/s． （1）M，两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求点的运动速度． （2）M，两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6 个单 位长度？ （3）M，两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点 出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有：M＝1：2．若干秒后，点在﹣12 处，求 此时点在数轴上的位置． 1 【题型6 数轴与方程思想的运算】 【例6】（2022 秋•越秀区校级期中）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1 个单位长度，有理数，b，，d 表示的点是这些点中的4 个，且在数轴上的位置如图所示． 已知3＝4b 3 ﹣，则代数式﹣5d 的值是（ ） ．﹣20 B．﹣16 ．﹣12 D．﹣8 【变式6-1】（2022 秋•余姚市期末）数轴上有6 个点．每相邻两个点之间的距离是1 个单 位长，有理数，b，，d 所对应的点是这些点中的4 个，位置如图所示： （1）完成填空：﹣＝ ，d﹣＝ ，d﹣＝ ； （2）比较+d 和b+的大小； （3）如果4＝+2b，求+b + ﹣d 的值． 【变式6-2】（2022 秋•武昌区校级月考）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1 个单位，点、B、、D 对应的数分别是、b、、d，且b 2 ﹣＝9，请在图中标出原点，并求 出3+d 2 ﹣的值． 【变式6-3】（2022•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相 邻两点相距一个单位长度，点，B，，D 对应的数分别是，b，，d，且有一个点表示的 是原点．若d+2+5＝0，则表示原点的应是点 ． 1 【题型7 数轴上的动点定值问题】 【例7】（2022 秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有，B 两点，所表示的数分别为﹣ 10，﹣4，点以每秒5 个单位长度的速度向右运动，同时点B 以每秒3 个单位长度的速 度也向右运动，如果设运动时间为t 秒，解答下列问题： （1）运动前线段B 的长为 ； 运动1 秒后线段B 的长为 ； （2）运动t 秒后，点，点B 运动的距离分别为 和 ； （3）求t 为何值时，点与点B 恰好重合； （4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段B 的长为5，若存在，求t 的值； 若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（2022 秋•绥宁县期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上点所示的数为，B 点表示的数为b，则点到点B 的距离记为B．线段B 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即B＝b﹣． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1m 到达点，再向左移动2m 到达B 点， 然后向右移动7m 到达点，用1 个单位长度表示1m． （1）请你在数轴上表示出．B．三点的位置： （2）点到点的距离＝ m；若数轴上有一点D，且D＝4，则点D 表示的数为 ； （3）若将点向右移动xm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示） （4）若点B 以每秒2m 的速度向左移动，同时．点分别以每秒1m、4m 的速度向右移动． 设移动时间为t 秒， 1 试探索：﹣B 的值是否会随着t 的变化而改变？请说明理由． 【变式7-2】（2022 秋•黄陂区期末）数轴上，B，三点对应的数，b，满足（+40）2+|b+10| ＝0，B 为线段的中点． （1）直接写出，B，对应的数，b，的值． （2）如图1，点D 表示的数为10，点P，Q 分别从，D 同时出发匀速相向运动，点P 的 速度为6 个单位/秒，点Q 的速度为1 个单位/秒．当点P 运动到后迅速以原速返回到又 折返向点运动；点Q 运动至B 点后停止运动，同时P 点也停止运动．求在此运动过程中 P，Q 两点相遇点在数轴上对应的数． （3）如图2，M，为，之间两点（点M 在左边，且它们不与，重合），E，F 分别为， M 的中点，求AC−MN EF 的值． 1 【变式7-3】（2022•荔湾区期末）数轴上有两点，B，点，D 分别从原点与点B 出发，沿B 方向同时向左运动． （1）如图，若点为线段B 上一点，B＝16，＝2，当点，D 分别运动到，B 的中点时， 求D 的长； （2）若点在线段上运动，点D 在线段B 上运动，速度分别为每秒1m，4m，在点，D 运 动的过程中，满足D＝4，若点M 为直线B 上一点，且M﹣BM＝M，求AB OM 的值． 1 【题型8 数轴上的折叠问题】 【例8】（2022 秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 （1）平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3 个单位长度，再向正方向移动2 个单位 长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 ．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点开始，第1 次向左跳1 个单位，紧接着第2 次向右跳2 个单位，第3 次向左跳3 个单位，第4 次向右跳4 个单位，…，依次规律跳，当它跳2017 次时，落在 数轴上的点表示的数是 ． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1 的点与表示3 的点重合，则表示2017 的点与表示 的点重合； ②若数轴上、B 两点之间的距离为2018（在B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且、B 两点经折叠后重合，则点表示 B 点表示 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有，b 的式子表示） 1 【变式8-1】（2022 秋•苏州期末）一条数轴上有点、B、，其中点、B 表示的数分别是﹣ 16、9，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点′落在点B 的右边，并且′B＝3， 则点表示的数是 ． 【变式8-2】（2022 秋•丰城市期中）操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴 （如图所示）， 操