专题1.1 有理数与数轴【八大题型】（原卷版）

专题11 有理数与数轴【八大题型】 【人版】 【题型1 正数与负数的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 相反意义量的表示】.................................................................................................................................2 【题型3 相反意义量的应用】.................................................................................................................................3 【题型4 有理数的概念辨析】.................................................................................................................................4 【题型5 有理数的分类】.........................................................................................................................................5 【题型6 数轴的画法及应用】.................................................................................................................................6 【题型7 数轴上的点所表示的数】.........................................................................................................................7 【题型8 数轴中点的规律问题】.............................................................................................................................8 【知识点1 正数和负数的概念】 大于 0 的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它 的符号．0 既不是正数也不是负数．0 是正负数的分界点，正数是大于0 的数，负数是小于 0 的数． 【题型1 正数与负数的概念】 【例1】（2021 秋•盐池县期末）在0，−1 7 ，03 ⋅，2π，﹣23%，2021 这六个数中，非正数 的有（ ）个． ．2 B．3 ．4 D．0 【变式1-1】（2021 秋•西城区校级期中）下列各数﹣5、+3、﹣02、1 2、0、−3 5 、﹣11、 24 中，负数有（ ）个． ．3 B．4 ．5 D．6 【变式1-2】（2021 秋•浑源县期中）﹣是（ ） ．负数 B．正数 ．0 D．正负无法确定 【变式1-3】（2021 秋•襄州区校级月考）下列判断正确的个数是（ ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“﹣”，就是 一个负数；③0 是最小的正数；④大于0 的数是正数；⑤字母既是正数，又是负数． ．0 B．1 ．2 D．3 1 【知识点2 具有相反意义的量】 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来 表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 【题型2 相反意义量的表示】 【例2】（2021 春•保山期末）云南省统计局3 月16 日发布，2021 年前两个月，云南省外 贸进出口总额54580 亿元，同比增长862%．其中，出口36357 亿元，同比增长 2756%，进口18227 亿元，同比下降71%．若出口同比增长率记作+2756%，则进口同比 增长率记作（ ） ．﹣71 B．﹣71% ．18227 D．+71% 【变式2-1】（2021 秋•渌口区期末）如表是某微信用户的零钱明细，按照这种表示方法， “+60”表示的是（ ） 零钱明细 （元） 扫二维码付款 20 ﹣ 微信红包收入 +200 微信红包发出 100 ﹣ ．微信红包发出60 元 B．微信红包收入60 元 ．微信余额60 元 D．微信扫描二维码付款60 元 【变式2-2】（2021 秋•湖里区期末）小明积极配合小区进行垃圾分类，并把可回收物拿到 废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．如表是他12 月份的部分收支情况（单位：元）． 日期 收入（+）或支出（﹣） 结余 备注 1 日 45 175 卖可回收物 5 日 20 ﹣ 25 ﹣ 买书，不足部分由妈妈代付 其中表格中“﹣25”表示的是（ ） ．卖可回收物换回的钱数 B．买书的钱数 ．买书时妈妈代付的钱数 D．买书的钱与妈妈代付的钱数之和 【变式2-3】（2021 秋•浑源县期中）某食品厂生产我市特产黄花菜，规定每袋黄花的标准 质量为15±0005kg，厂质检部门随机选取了10 袋黄花进行质量检测，结果如表所示： 1 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 （kg） 1503 1502 1499 1504 1496 1504 150 1503 1488 1499 则不符合要求的有（ ） ．1 袋 B．2 袋 ．3 袋 D．4 袋 【题型3 相反意义量的应用】 【例3】（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5 小时，例如，北京时间13：00，同一时刻 的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 9：00～17：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） ．10：00 B．12：00 ．15：00 D．18：00 【变式3-1】（2021 秋•玄武区期末）北京与伦敦的时差为8 小时，例如，北京时间13： 00，同一时刻的伦敦时间是5：00，小丽和小红分别在北京和伦敦，她们相约在各自当 地时间9：00～19：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） ．20：00 B．18：00 ．16：00 D．15：00 【变式3-2】（2022 秋•蒙自市期末）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市的时间 和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的国外城 市从左到右依次是（ ） 城市 时差/ 纽约 13 ﹣ 悉尼 +2 伦敦 8 ﹣ 罗马 7 ﹣ ．伦敦、纽约、罗马、悉尼 B．罗马、悉尼、伦敦、纽约 ．纽约、悉尼、伦敦、罗马 D．罗马、伦敦、悉尼、纽约 【变式3-3】（2021 秋•漳平市期中）下面的4 个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和 北京时间，根据下表给出的国外三个城市与北京的时差，下列时钟中表示悉尼时间的是 （ ）时钟． 1 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 8 ﹣ +2 13 ﹣ ． B． ． D． 【知识点3 有理数的概念】 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数． 【题型4 有理数的概念辨析】 【例4】（2021 秋•思明区校级期中）下列说法错误的是（ ） ．正有理数和负有理数统称有理数 B．负整数和负分数统称为负有理数 ．0 是整数，但不是分数 D．正整数、负整数和0 统称为整数 【变式4-1】（2021 秋•榆阳区校级月考）下列关于零的说法中，正确的个数是（ ） ①零是整数，也是有理数； ②零不是正数，也不是负数； ③零不是整数，但是有理数； ④零是整数，但不是自然数； ⑤零既不是整数，也不是分数． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【变式4-2】（2021 秋•旌阳区校级月考）下面是关于有理数的叙述：①有理数分为正有理 数和负有理数两部分；②有理数分为整数和分数两部分；③有理数分为正数、负数和 零三部分；④有理数分为正整数、负整数和零三部分；⑤有理数分为正分数、负分数、 正整数、负整数和零五部分，其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式4-3】（2021 秋•鼓楼区校级月考）下列说法中：①0 是最小的整数；②有理数不 是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是 正数；⑤−π 2 不仅是有理数，而且是分数；⑥22 7 是无限不循环小数，所以不是有理数． 其中错误的说法的个数为（ ） ．6 个 B．5 个 ．4 个 D．3 个 【知识点4 有理数的分类】 1 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 【题型5 有理数的分类】 【例5】（2021 秋•让胡路区校级期末）把下列各数填入相应的集合中： +6，075，﹣3，0，﹣12，+8，24 5 ，−1 3 ，9%，π，﹣02020020002…（每相邻两个2 之 间0 的个数逐次加1）． 正分数集合：{ …}； 正整数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}． 【变式5-1】（2021 秋•长汀县校级月考）将下列各数填在相应的圆圈里： +6，﹣8，75，﹣04，0，23%，3 7 ，﹣2006，﹣18，−3 4 ． 【变式5-2】（2021 秋•牡丹区月考）把下列各数填在相应的大括号里： +1 2 ，﹣6，054，7，0，314，20%，π，−12 4 ，34365，−4 13 ，﹣2543． 正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 负有理数集合{ …}； 正有理数集合{ …}． 【变式5-3】（2021 秋•恩施市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号内： −7，3.5，−3.1415，π ，0，13 17 ，0.03，−3 1 2 ，10，−0.2 ⋅ 3 ⋅ ，−4 2 自然数集合{ … }； 整数集合{ ⋯ }； 正分数集合{ … }； 非正数集合{ ⋯ }； 有理数集合{ ⋯ }． 1 【知识点5 数轴的概念与画法】 数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原 点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向 右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依 次表示-1，-2，-3，…… 【题型6 数轴的画法及应用】 【例6 】（2021 秋• 云梦县校级月考）画数轴，并在数轴上表示下列各数 −4，3 1 3 ，−2.5，3 2 ，−1 2 3． 【变式6-1】（2021 秋•上蔡县月考）下列六个数中：﹣25，31 2，0，+5，﹣4，−1 2 ． （1）整数有 个；负分数有 个；既不是正数也不是负数的是 ． （2）把所有数据分别在数轴上表示出来． 【变式6-2】（2021 秋•枣阳市期末）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km 到达村，继 续向西骑行3km 到达B 村，然后向东骑行9km 到达村，最后回到邮局． （1）以邮局为原点，向东方向为正方向，用1m 表示1km，画出数轴，并在该数轴上表 示、B、三个村庄的位置； （2）村离村有多远？ （3）邮递员一共骑行了多少千米？ 【变式6-3】（2021 秋•渑池县期中）快递员骑车从快递公司出发，先向北骑行200m 到达 小区，继续向北骑行400m 到达B 小区，然后向南骑行1000m 到达小区，最后回到快递 公司． （1）以快递公司为原点，以向南方向为正方向，用1m 表示100m 画出数轴，并在该数 轴上表示出、B、三个小区的位置； （2）小区离B 小区有多远； （3）快递员一共骑行了多少千米？ 1 【知识点6 数轴上的点与有理数之间的关系】 ①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长 度；表示-的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度 【题型7 数轴上的点所表示的数】 【例7】（2021 秋•正阳县期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3 表示的点 与1 表示的点重合，则与﹣5 表示的点对应的点表示的数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．﹣1 【变式7-1】（2021 秋•宣化区期末）如图，在数轴上有、B、、D 四个点，分别表示不同 的四个数，若从这四点中选一点做原点，使得其余三点表示的数中有两个正数和一个负 数，则这个点是（ ） ．点 B．点B ．点 D．点D 【变式7-2】（2021 秋•公安县期末）小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表 示﹣2 的点与表示5 的点重合，若数轴上，B 两点之间的距离为10，且，B 两点经上述 折叠后重合，则B 点表示的数为 ． 【变式7-3】（2022•路北区二模）如图1，点，B，是数轴上从左到右排列的三点，分别对 应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的数字0 对齐数轴上的 点，发现点B 对齐刻度尺15m 处，点对齐刻度尺45m 处． （1）在图1 的数轴上，＝ 个单位长度； （2）求数轴上点B 所对应的数b 为 ． 【题型8 数轴中点的规律问题】 【例8】（2021 秋•潍坊期中）如图所示，圆的周长为4 个单位长度，，B，，D 是圆周的4 1 等分点，其中点与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点，B，，D 能 与数轴上的数字2022 所对应的点重合的是 ． 【变式8-1】（2021 秋•广饶县期末）等边△B 在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分 别是0、﹣1，若△B 绕顶点沿顺时针方向连续翻转，第一次翻转后点B 所对应的数为 1，则翻转2022 次后点所对应的数为（ ） ．不对应任何数 B．2020 ．2021 D．2022 【变式8-2】（2021 秋•九龙坡区期末）如图所示，圆的周长为4 个单位长度，在圆的4 等 分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0 所对应的点与数轴上的数﹣2 所对 应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021 将与圆周上的哪个数字 重合（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【变式8-3】（2021 秋•长汀县期末）如图，把周长为3 个单位长度的圆放到数轴（单位长 度为1）上，，B，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1 的点重合，然后将圆沿着数轴 正方向滚动，依次为点B 与数轴上表示2 的点重合，点与数轴上表示3 的点重合，点与 数轴上表示4 的点重合，…，若当圆停止运动时点B 正好落到数轴上，则点B 对应的数 轴上的数可能为（ ） ．2020 B．2021 ．2022 D．2023 1